2018年4月份福建省龙岩市高三毕业班适应性练习文科数学试题及参考答案

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查
数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有
13.7 14.32 15.4- 16.(,2
3 三、解答题:本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由21n n S a n N =-∈（），可得1121S a =-，
∴1121a a =-，∴11a =. ……………………1分
又2221S a =-，∴12221a a a +=-，∴22a =.
∵数列{}n a 是等比数列，∴公比212a q a ==，…………3分
∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，lg (1)lg2n n b a n ==-，(6分)
∴数列{}n n b a +的前n 项和
1122()()()n n n T b a b a b a =++++
++ n-1=(0+1)+(lg2+2)+
+[(n-1)lg2+2] 1[lg22lg2(1)lg2](122)n n -=+++-++++
＝(1)lg 2212n n n -+-………………12分
(分组求和，求对一个和得3分)
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件M ，5名顾客中红包超过5元的两人分别记为12,A A ，不足5元的三人分别记为123,,B B B ，从这5名顾客中随机抽取3人，共有抽取情况如下:121122123112,,,,A A B A A B A A B A B B
113123212213223123,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B B B B ，共10种. ……………4分
其中至少有一人的红包超过5元的是前9种情况， 所以9()10P M =. ………………6分
(Ⅱ)(ⅰ)根据散点图可判断，选择y a bx =+作为每天的净利润的回归方程类型比较适合. ………………7分
(ⅱ)由最小二乘法求得系数
71721()()3484.2913268.86()i i
i i
i x x y y b x x ==--==≈-∑∑，(9分)
所以194.291322.86103a y bx =-=-⨯≈- ……………………10分
所以y 关于x 的回归方程为10313y x =-+.(11分)
当35x =时，商家当天的净利润352y =元，
故使用支付宝付款的人数增加到35分)
19.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)证明:∵PA ⊥平面ABD ，∴PA BD ⊥. 又PC ⊥平面BCD ，∴,PC BD PC EF ⊥⊥， …………2分
又PA PC P =，∴BD ⊥平面PAC .(3分)
又,EF AC AC PC C ⊥=，∴EF ⊥平面PAC ，
∴//EF BD ………………4分
∵EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，
∴//EF 平面ABD . ………………6分
(Ⅱ)取BD 的中点Q ，连接,AQ CQ .
∵ABD ∆为正三角形，∴AQ BD ⊥，
∵平面ABD ⊥平面CBD ，且平面ABD ∩平面CBD BD =，
∴AQ ⊥平面CBD .
又PC ⊥平面BCD ，∴//AQ PC .
又BC DC =，∴CQ BD ⊥，
∴CQ ⊥平面ABD ，即CQ AQ ⊥. ………………8分
∵PA ⊥平面ABD ，∴//PA CQ ，且PA AQ ⊥，
∴四边形APCQ 为矩形，∴3CQ PA ==， …………………10分
∴11123332A BCD
C AB
D ABD V V S CQ --∆===⨯⨯=，
故四面体ABCD
的体积为………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵椭圆C 的离心率c e a ==，又222c a b =-，
∴222
34a a b =-，∴224a b =. ……………………2分 又点(1,P 在椭圆上，∴221314a b +=， 即2213144b b +=，∴21b =，则24a =，
∴椭圆C 的方程为2
214x y +=. ………………4分
(Ⅱ)当直线OA 的斜率存在且不为0时，
设其方程为y kx =，
∵,A B 分别为椭圆上的两点，且0OA OB =，
即OA OB ⊥，∴直线OB 的方程为
1y x k =-. 设1122(,),(,)A x y B x y ，
把y kx =代入椭圆C :2
214x y +=，
得2
12414x k =+，∴2
212414k y k =+，………………6分 同理2
2
22444k x k =+，∴22244y k =+，………………8分
∴22222211221111||||OA OB x y x y +=+++
2
222221
1544444141444k k k k k k =+=++++++ ………………10分
当直线,OA OB 中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0， 此时
22221111151||||44OA OB a b +=+=+=. ………………11分 综上所述，2211||||OA OB +为定值54. ………………12分
21.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由()2ln ,m f x x x m R x =+-∈，得:22222()1,(0,)m x x m f x x x x x --'=--=∈+∞
设函数2()2,(0,)g x x x m x =--∈+∞
当1m ≤-时，即4+40m ∆=≤时，()0g x ≥，()0f x '≥，
所以函数()f x 在),0(+∞上单调递增.
当1m >-时，即4+40m ∆=>时，
令()0g x =
得11x =
21x =12x x <
当10m -<<时，即120x x <<时，在1(0,)x ⋃2(,)x +∞上，()0g x >，()0f x '>; 在12(,)x x 上，()0g x <，()0f x '<.
所以函数()f x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.
当0m ≥时，即120x x <<时，在2(0,)x 上，()0g x <，()0f x '<;
在2(,)x +∞上，()0g x >，()0f x '>.
所以函数()f x 在2(0,)x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增.
综上，当1m ≤-时，函数()f x 在),0(+∞上单调递增；
当10m -<<时，函数()f x
在(0,1
，)+∞上单调递增，
在(1上单调递减；
当0m ≥时，函数()f x 在上单调递减，
在)+∞上单调递增. ………………5分
(Ⅱ)证明:∵函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，
∴
2()20g x x x m =--=有两个不同的正根1211x x == ∴120,440,x x m m =->⎧⎨∆=+>⎩ ∴10m -<<. …………………………6分 欲证明
22222()2ln 1m f x x x x x =+
-<-，即证明222ln 1m x x ->，
∵2222m x x =-， ∴证明222ln 1m x x -
>成立，等价于证明222ln 1x x ->-成立. ……8分
∵22(2)(1,0)m x x =-∈-，∴21(1,2)x =. …………9分 设函数()2ln ,(1,2)h x x x x =-∈， 求导可得
2'()1h x x =-. ……………………10分 易知'()0h x >在(1,2)x ∈上恒成立，
即()h x 在(1,2)x ∈上单调递增，
∴()(1)1h x h >=-，即222ln 1x x ->-在2(1,2)x ∈上恒成立，
∴函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <时，22()1f x x <-. …………12分
22.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)将
222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，
得
2212110x y x +++=， 化为圆的标准方程为
22(6)25x y ++=. …………………………4分
(Ⅱ)将直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)
代入圆C 的直角坐标方程
22(6)25x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=， 设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，
由韦达定理知121214cos ,24t t t t α+=-=① ………………7分 ∴12,t t 同号 又∵3||||4PA PB =， ∴
1234t t =②
由①②可知12t t ⎧⎪⎨⎪
⎩
或12==t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩
∴14cos α-=
-
解得cos 2α=±，∴tan 1k α==±，(9分)
∴l 的普通方程为(1)y x =±-. ……………………10分
23.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵()5f x ≥，即|1|2|2|5x x -++≥， ……………………1分 ∴当2x <-时，1245x x -+--≥， 解得
83x ≤-， ∴83x ≤- …………………………2分 当21x -≤<时，1245x x -++≥，
解得0x ≥，∴01x ≤< …………3分
当1x ≥时，1245x x -++≥， 解得
2
3x ≥，∴1x ≥. ………………4分 综上所述，不等式()5f x ≥的解集为8|03x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩
⎭或. …………5分 (Ⅱ)由题意知|1||2|x m x x -++>恒成立， ……………………6分 ∴当2x <-时，12x mx m x -+-->， 变形得125222x m x x ->=-+++恒成立，
第11页，共11页 ∴2m ≥- ……………………7分
当2x =-时，m 可以取任意实数；
当21x -<<时，12x mx m x -++>， 变形得
215222x m x x ->=-++恒成立， ∴512123m ≥-=+ ……………………8分
当1x ≥时，12x mx m x -++>，变形得
1
2m x >+， ∴11123m >=+ ……………………9分
综上所述，实数m 的取值范围为1(,)3+∞. ………………10分。