1.1.1 正弦定理

已知两角和任意一边， 已知两角和任意一边， 求其他两边和一角 。 。 【例 1】 在△ABC 中，已知A = 45 ， C = 30 ， C c = 10，解三角形. 解： B =180° (A + C) =105° a b
定理的应用
c sin A 10×sin 45° ∴a = =10 2 = sinC sin30° b c = ∵ sin B sin C c sin B 10×sin 105° ∴ b= = = 5( 6 + 2 ) sin 30° sin C
a c = ∵ sin A sinC
A
c
B
【巩固练习】
6+ 2 sin 75 = 4
1.在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°， c= 3 2 ，解三角形.
答案：C = 60°, a = 3 + 3 , b = 2 3
2.在△ABC中，已知 A=30°，B=120°， b=12 ，解三角形.
答案：C = 30°, a = 4 3 , c = 4 3
回应情境 △ABC中，已知 ＝75，C＝60，AC＝100，求 中 已知A＝ ， ＝ ， ＝ ， B AB． ． c 解： = 180° (A + C) = 45° B
b c a ∵ = sin B sinC 60 b sinC 100× sin60° ∴c = = C sin B sin45° = 50 6
b
A
c
D
B
C
a
c
B
D
a b c b 同理可得 = = sin A sin B sinC sin B
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即
解三角形： 解三角形：
a b c = = sin A sin B sin C
一般地，把三角形的三个角A，B，C，及其对 一般地，把三角形的三个角 ， ， ， 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素 边a，b，c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素 ， ， 叫做三角形的元素 求其他元素的过程叫解三角形. 求其他元素的过程叫解三角形 正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ (1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； 已知两角和任意一边 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出其他两角和 已知两边和其中一边的对角 已知两边和其中一边的对角， 一边. 一边
要求详细写出解答过程） 课后作业 （要求详细写出解答过程）
∠ 1.（09广东文）已知 ABC 中， A, ∠B, ∠C的对边分别 （ 广东文 广东文）
∠A = 75o ，则b= 且 为a,b,c,若a=c= 6 + 2 ,且 若 A.2 B．4＋2 3 C．4－2 3 D． 6 2 ． ＋ ． － ．
75
A
b
100
已知a=16, b=16 3， A=30°,解三角形 解三角形. 已知 ° 解三角形 【例 2】 a b 已知两边和其中一边的 = 解：由正弦定理 sin A sin B对角 求其他两角和一边 对角,求其他两角和一边 得 sin B = b sin A = 16 3 sin 30 = 3
漠阳江
B A A a
60
c75Biblioteka Ab100
C
C
C
回忆一下直角三角形的边角关系? 回忆一下直角三角形的边角关系
A c B a b C
a + b = c A + B = 90°
2 2 2
a b = sin A = sin B 两等式间有联系吗？ 两等式间有联系吗？ c c
a b = =c sin A sin B
sin C = 1
a b c = = sin A sin B sinC
对一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？ 对一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： (1)如图，当△ABC是锐角三角形时，设 如图， 是锐角三角形时， 如图 是锐角三角形时 b 上的高是CD， 边AB上的高是 ，根据任意角三角函 上的高是 数的定义， 数的定义，有CD= a sin B = bsin A
思考： 思考：
＝？时 求角B 当b＝20，A＝60°，a＝？时，求角 ＝ ， ＝ ° ＝？ 有1解、2解、无解. 解 解 无解
C
20
B B B
A
600
B
温馨提示：想进一步了解这一问题， 温馨提示：想进一步了解这一问题，课后自己阅读 课本P8 P8探究与发现” 课本P8-9的“探究与发现”.
课堂小结
a b c = = 正弦定理： 正弦定理： sin A sin B sin C
一般解法
已知条件 一边和二角 (如a,B,C) 如 两边和其中一边 的对角(如 的对角 如a,b,A)
由A+B+C=180°求角 由正弦定 °求角A,由正弦定 理求出b与 理求出 与c 由正弦定理求出角B,再求角 再求角C,最后 由正弦定理求出角 再求角 最后 可有两解,一解或无解 求出 c边.可有两解 一解或无解 边 可有两解 一解或无解.
1.1.1 正弦定理
创设情境 如图，现要在漠阳江岸两侧A， 两点间建 如图，现要在漠阳江岸两侧 ，B两点间建 若已知桥与一侧河岸成75角 ＝75， 若已知桥与一侧河岸成 角，在这侧河岸上 已知A＝ △ABC中 间的距离 一座桥，需要知道A，B间的距离 一座桥，需要知道 中，已知 ．由于环境因 ， 间的距离． ， 取一点C，测得C＝ ， ＝ 取一点 ，测得 ＝60，AC＝100m．如何求出 ． 素不能直接测量A，B间的距离．你有办法间接 间的距离． ． 素不能直接测量 AC＝100，求AB． 间的距离 C＝60， ， ＝ ＝ ， ， A，B两点间的距离？ 两点间的距离？ ， 两点间的距离 测量A， 两点间的距离吗 两点间的距离吗？ 测量 ，B两点间的距离吗？ B B
C a
a b c b 则 同理可得 = = sin A sin B sinC sin B
(2)如图，当△ABC是钝角三角形时， 如图， 是钝角三角形时， 如图 是钝角三角形时 延长AB作 的高 的高CD， 延长 作AB的高 ，根据任意角三 角函数的定义， 角函数的定义，有CD=bsinA, A 在△BCD中，CD=asin(180°－B)=asinB. 中 ° 因此 a sin B = b sin A 则
a 16 2
C
16 3 16
16
所以Ｂ＝ 所以Ｂ＝ °, 或Ｂ＝ Ｂ＝60° Ｂ＝120°
A
300
B
2 2
B
当 Ｂ＝60° , C=90°, c = ° Ｂ＝60° 60 时 当Ｂ＝120°时, C=30°, c Ｂ＝120° 120 °
a + b = 32.
= 16 .
【变式练习】
在 ABC中， 中 （1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ，求B; ） ＝ ， ＝ ° ＝ （2） b＝20，A＝60°，a＝10√3， 求B; ） ＝ ， ＝ ° ＝ ， （3） b＝20，A＝60°，a＝15，求B. ） ＝ ， ＝ ° ＝ ， b sinA 1 ＝ 2 ， B＝30°或150°， ∴B＝30° 150° ：（1） sinB＝ 解：（1） sinB＝ a ∵ 150°＋60°> 180°， B＝30° ° ° ° ∴ ＝ ° b sinA ＝ ° ＝ ＝1 ， ∴ B＝90°. （2） sinB＝ ） a b sinA sinB＝ ＝ ＝ 2√3 （3） ） 3 a ∴无解. > 1， ，