2019-2020学年海淀教师进修学校附属实验学校八年级(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年海淀教师进修学校附属实验学校八年级(下)期末数学
试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列式子不一定是二次根式的是()
A. √a
B. √b2+1
C. √0
D. √(a+b)2
2.若实数a使得关于x的分式方程2
x+1+x−a
x+1
=−2的解为负数，且使得关于x的一次函数y=(a+
1)x−a+3过第一、二、三象限，则符合条件的所有整数a的和为()
A. 6
B. 5
C. 3
D. 2
3.如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC//BD，EF是△ODB
的中位线，且EF=2，则AC的长为()
A. 8
3
B. 7
3
C. 2
D. 5
3
4.一次函数y=kx+2(k≠0)的图象经过A(1,0)，则它的图象不经过()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5.在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是
()
A. AB//CD，AD=BC
B. ∠A=∠B，∠C=∠D
C. AB=AD，CB=CD
D. AO=OC，DO=OB
6.某校要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加演讲比赛，3人的平均成绩均为92分，甲的
方差为0.08，乙的方差为0.02，丙的方差为0.01，你认为应该选()参加比赛．
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 无法确定
7.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABOC是正方形，
其中，点A在第二象限，点B，C在x轴、y轴上，若正方形ABOC的面积
为36，则点A的坐标是()
A. (6,−6)
B. (−6,6)
C. (−√6,√6)
D. (√6,−√6)
8.已知直线y=−x+6交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段OA上，将△PAB沿BP翻折，
点A的对应点A′恰好落在y轴上，则PA
OP
的值为()
A. √2
2
B. 1
C. √2
D. √3
9.如图，在△ABC中，AB=AC=√3，∠BAC=120°，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径
作弧，两弧相交于M，N两点，连接MN交BC于点D，连接AD，AN，则△ADN的周长为()
A. 3+√2
B. 3−√2
C. 2−√3
D. 2+√3
10.如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运
动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y(cm2)，已知y与t的函数关系的图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：
①AD=BE=5cm；②当0<t≤5时，y=2
5t2；③直线NH的解析式为y=−2
5
t+27；④若△ABE
与△QBP相似，则t=29
4
秒，其中正确结论的个数为()
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.使二次根式√5x−2有意义的x的取值范围是______ ．
12.在平面直角坐标系中，将直线y=3x−2向上平移3个单位长度后，所得直线的关系式为______ ．
13.若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______．
14.菱形ABCD的边AB为5，对角线AC为8，则菱形ABCD的面积为
______．
15.如图，平行四边形钢板上有一圆洞，现需将该钢板(阴影部分)分成面积
相等的两部分，如果限定只能用一条直线，能否做到：______(选填“能”
或“不能”).若填“能”，请说明这条直线过哪两个点；若填“不能”，
请简要说明理由：______．
16.若y=kx−3的图象经过点P(1,3)和Q(3,m)，则m=______．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB的
中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则
∠A=____________°．
18.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是如表数据：
鸭的质量/千克0.51 1.52 2.53 3.5
烤制时间/分钟406080100120140160
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t，估计当x=2.2千克时，t的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共46.0分）
19. 已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项．求证：点(a,b)，(c,d)和坐标原点O在同一直
线上．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BD于M，CN⊥BD于N，连接CM、AN
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若∠CBD=30°，∠ABD=45°，AM=2.求平行四边形ABCD的周长．
21. 我们把每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．如图，在所给的8×6方格纸中，点A，B
均为格点，请画出符合要求的格点四边形．
(1)在图1中画出一个以AB为边的矩形ABCD，且它的面积为整数．
(2)在图2中画出一个以AB为对角线的菱形APBQ，且它的周长为整数．
22. 为了深入贯彻党的十九大精神，我县某中学开展了十九大精神进校园知识气赛活动，特对本校
部分学生(随机抽样)进行了一次相关知识的测试(成绩分为A，B，C，E五个组，x表示测试成绩)，通过对测试成绩的分析得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
A组：90≤x≤100
B组：80≤x<90
C组：70≤x<80
D组：60≤x<70
E组：x<60
(1)参加调查测试的学生共有______人，扇形C的圆心角的度数是；______．
(2)请将两幅统计图补充完整；
(3)本次调查测试成绩的中位数落在哪个小组内，说明理由；
(4)本次调查测试成绩在80分以上(含80分)为优秀，该中学共有3000人，请估计全校测试成绩为优
秀的学生有多少人？
23. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠CAD=
30°．
(1)AD是⊙O的切线吗？为什么？
(2)若OD⊥AB，BC=5，求⊙O的半径．
24. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如果|x1−x2|+|y1−y2|=m，
则称P1与P2互为“m−阳光点”．
例如：点P1(−1,2)，P2(3,4)，由于m=|−1−3|+|2−4|=6，则称P1与P2互为“6−阳光点”．(1)在点A(2,2)、B(0,−4)、C(6,2)中，原点O的“4−阳光点”是______；在图1中画出所有原点O
的“4−阳光点”所形成的图形．
(2)如图2，已知点M(2,1)，
①点N(0,n)是点M的“3−阳光点”，则n=______；
②若直线y=2x+b上存在两个点M的“3−阳光点”，求b的取值范围．
(3)已知点D(1,2)，E(3,2)，G(2,a)，S(1,a)，T(2,a+1)，若线段DE上存在点P，△GST上存在点
Q，使得点P与点Q互为“5−阳光点”，直接写出a的取值范围．
25. 已知：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，点F是线段OD的中点，
连接EF．
(1)如图1，若AB=2，∠CBD=30°，则线段EF的长为______ ．
(2)如图2，设EF与AC的交点为P，连接AF．
①求证：点P是线段EF的中点；
②若AF=EF，矩形ABCD的形状有怎样的变化？并证明你的结论．
26.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的BC边在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OB=a，
OA=√3a，△ABC的面积为36√3．
(1)求点A的坐标；
(2)动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，求t为何
值时，过O、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍；(3)设点D为AB的中点，连接CD，在x轴上是否存在点Q，使△DCQ是以CD为腰的等腰三角形？
如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：A．√a中a<0时式子无意义，不是二次根式；
B、2+1中b2+1≥1，是二次根式；
C、√0是二次根式；
D.√(a+b)2是二次根式；
故选：A．
根据二次根式的定义逐一判断可得答案．
本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式．
2.答案：D
解析：解：∵一次函数y=(a+1)x−a+3过第一、二、三象限，
∴a+1>0且−a+3>0．
∴−1<a<3．
解分式方程2
x+1+x−a
x+1
=−2得到：x=a−4
3
且a−4
3
≠−1．
∵关于y的分式方程2
x+1+x−a
x+1
=−2的解为负数，
∴x=a−4
3<0且a−4
3
≠−1．
∴a<4且a≠1．
综上所述，a的取值范围为−1<a<3且a≠1．
∴整数a的值为：0，2，共有2个，
∴0+2=2，
故选：D．
依据关于x的一次函数y=(a+1)x−a+3过第一、二、三象限，求得a的取值范围，依据关于y
的分式方程2
x+1+x−a
x+1
=−2的解为负数求得a的值，即可得到满足条件的整数a的个数，从而求得答
案．
此题考查了一次函数性质以及分式方程的解．注意根据题意求得使得关于x的分式方程有负数解，且关于x的一次函数y=(a+1)x−a+3的图象不经过第三象限的a的值是关键．
3.答案：A
解析：解：∵EF是△ODB的中位线，∴DB=2EF=2×2=4，
∵AC//BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴AC：BD=OC：OD，
即AC
4=2
3
，
解得AC=8
3
．
故选：A．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．
4.答案：C
解析：解：把A点的坐标(1,0)代入y=kx+2得：k+2=0，
解得：k=−2，
即函数的解析式是y=−2x+2，
所以函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
把A点的坐标(1,0)代入y=kx+2求出k，得出函数的解析式，再根据一次函数的性质得出即可．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．
5.答案：D
解析：解：A、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得答案．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
6.答案：C
解析：解：∵甲的方差为0.08，乙的方差为0.02，丙的方差为0.01，
∴S 甲2>S 乙2>S 丙2，
∴应该选丙参加比赛； 故选：C ．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.答案：B
解析：解：∵正方形ABOC 的面积为36， ∴正方形ABOC 的边长为6， ∵A 在第二象限， ∴A(−6,6)． 故选：B ．
根据正方形的面积确定其边长，再根据A 点所在象限确定其坐标．
本题主要考查了正方形的性质以及坐标与图形性质，由正方形面积得出其边长是解答本题的关键．
8.答案：C
解析：解：如图，y =−x +6，令x =0，则y =6，令y =0，则x =6，
故点A 、B 的坐标分别为(6,0)、(0,6)，则AB =6√2=A′B ， 设：PA =a =PA′，则OP =6−a ，OA′=6√2−6， 由勾股定理得：PA 2=OP 2+OA 2， 即(a)2=(6√2−6)2+(6−a)2， 解得：a =12−6√2，
则PA =12−√2，OP =6√2−6，
则PA
OP =√2，
故选：C ．
设：PA =a =PA′，则OP =6−a ，OA′=6√2−6，由勾股定理得：PA 2=OP 2+OA 2，即可求解． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，关键在于在画图的基础上，利用勾股定理：PA 2=OP 2+OA 2，从而求出PA 、OP 线段的长度，进而求解． 9.答案：D
解析：解：如图，
由作图可知，MN 垂直平分线段AB ，
∴AD =BD ， ∵AB =AC =√3，∠BAC =120°，
∴∠B =30°，AE =BE =√3
2
， ∴ED =12，BD =AD =2ED =1， Rt △AEN 中，AN =AB =√3，
∴EN =√AN 2−AE 2=√(√3)2−(√32)2=32， ∴DN =EN −ED =32−1
2=1， ∴△ADN 的周长为AD +AN +DN =1+1+√3=2+√3．
故选：D ．
先根据作图可知：MN 是AB 的垂直平分线，则AD =BD ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定
理得∠B =30°，依次利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得AD ，DN 的长，相加可得△ADN
的周长．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10.答案：B
解析：解：①根据图(2)可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，
∵点P 、Q 的运动的速度都是1cm/s ，
∴BC =BE =5cm ，
∴AD =BE =5(故①正确)；
②如图1，过点P 作PF ⊥BC 于点F ，
根据面积不变时△BPQ 的面积为10，可得AB =4，
∵AD//BC ，
∴∠AEB =∠PBF ，
∴sin∠PBF =sin∠AEB =AB BE =45， ∴PF =PBsin∠PBF =45t ， ∴当0<t ≤5时，y =12BQ ⋅PF =12t ⋅45t =25t 2(故②正确)；
③根据5−7秒面积不变，可得ED =2，
当点P 运动到点C 时，面积变为0，此时点P 走过的路程为BE +ED +DC =11，
故点H 的坐标为(11,0)，
设直线NH 的解析式为y =kx +b ，
将点H(11,0)，点N(7,10)代入可得：{11k +b =07k +b =10
， 解得：{k =−52b =552． 故直线NH 的解析式为：y =−52t +55
2，(故③错误)；
④当△ABE 与△QBP 相似时，点P 在DC 上，如图2所示：
∵tan∠PBQ =tan∠ABE =34，
∴PQ BQ =34，即
11−t 5=34， 解得：t =29
4.(故④正确)；
综上可得①②④正确，共3个．
据图(2)可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图(2)判断出点P到达点E时，点Q
到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．
11.答案：x≥2
5
解析：
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解：根据题意得：5x−2≥0，
．
解得x≥2
5
．
故答案为：x≥2
5
12.答案：y=3x+1
解析：解：将直线y=3x−2向上平移3个单位长度后，所得直线的关系式为y=3x−2+3=3x+1，故答案为：y=3x+1．
根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
13.答案：√3
解析：解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，
×360°=60°，OA=OB，
∴∠AOB=1
6
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴AM=BM=1，
在△OAM中，由勾股定理得：OM=√OA2−AM2=√3．
故答案为：√3．
根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．
本题主要考查正多边形的性质，能求出OA、AM的长是解此题的关键．
14.答案：24
解析：解：连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
AC=4，BO=DO，CA⊥BD，
∴AO=CO=1
2
∵AB=5，
∴BO=√AB2−AO2=3，
∴BD=6，
×6×8=24，
∴菱形ABCD的面积为：1
2
故答案为：24．
AC=4，BO=DO，连接BD，交AC于O，根据菱形的两条对角线互相垂直且平分可得AO=CO=1
2
CA⊥BD，然后利用勾股定理计算出BO的长，进而可得BD长，再利用菱形的面积公式进行计算即可．
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分．
15.答案：能对角线的交点和圆心
解析：解：作一条过圆心与平行四边形对角线交点的直线即把该图形平分，如下图
故答案为：能；对角线的交点和圆心．
由于圆和平行四边形是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，平行四边形的对角线的交点是它的对称中心，故作出一条过圆心与平行四边形对角线交点的直线即把该图形平分．
本题利用了圆和平行四边形是中心对称图形的性质求解．
16.答案：15
解析：解：∵y=kx−3的图象经过点P(1,3)，
∴3=k−3，
解得：k=6，
∴一次函数解析式为y=6x−3．
∵y=kx−3的图象经过点Q(3,m)，
∴m=6×3−3=15．
故答案为：15．
根据点P的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
17.答案：30
解析：解：法一、在Rt△ABC中，∠A<∠B
∵CM是斜边AB上的中线，
∴CM=AM，
∴∠A=∠ACM，
将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处
设∠A=∠ACM=x度，
∴∠A+∠ACM=∠CMB，
∴∠CMB=2x，
如果CD恰好与AB垂直
在Rt△CMG中，
∠MCG+∠CMB=90°
即3x=90°
x=30°
则得到∠MCD =∠BCD =∠ACM =30°
根据CM =MD ，
得到∠D =∠MCD =30°=∠A
∠A 等于30°．
法二、∵CM 平分∠ACD ，
∴∠ACM =∠MCD
∵∠A +∠B =∠B +∠BCD =90°
∴∠A =∠BCD
∴∠BCD =∠DCM =∠MCA =30°
∴∠A =30°
18.答案：108
解析：解：从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，由此可知烤制时间是烤鸭质量的一次函数．
设烤制时间为t 分钟，烤鸭的质量为x 千克，t 与x 的一次函数关系式为：t =kx +b ，
{k +b =602k +b =100
， 解得{k =40b =20
， 所以t =40x +20．
当x =2.2千克时，t =40×2.2+20=108．
故答案为：108．
观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，由此可判断烤制时间是烤鸭质
量的一次函数，设烤制时间为t 分钟，烤鸭的质量为x 千克，
t 与x 的一次函数关系式为：t =kx +b ，取(1,60)，(2,100)代入，运用待定系数法求出函数关系式，再将x =2.2千克代入即可求出烤制时间． 本题考查了的是函数关系式，解题的关键是根据题目的已知及图表条件得到相关的信息． 19.答案：证明：设经过点O 和(a,b)的直线是y =kx ，
则b =ak ，
则k =b a ，
设经过点O 和(c,d)的直线的解析式是：y =mx ，则d =cm ，
解得：m =d c ，
∵a，b，c，d四个数成比例，
∴a
b =c
d
，
∴b
a =d
c
，
∴k=m，
则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点(a,b)，(c,d)和坐标原点O在同一直线上．
解析：设经过点O和(a,b)的直线是y=kx，设经过点O和(c,d)的直线的解析式是：y=mx，证明k=m即可证得．
本题考查了待定系数法求函数解析式以及比例线段的定义，理解证明的思路是关键．
20.答案：(1)证明：∵AM⊥BD于点M，CN⊥BD于点N，
∴∠AMN=∠CNM=90°，
∴AM//CN(内错角相等，两直线平行)，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD，
∴∠ABM=∠CDN，
在△ABM与△DCN中，{∠ABM=CDN
∠AMN=∠CFE=90°AB=CD
，
∴△ABM≌△CDN(AAS)，
∴AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD=30°，
∵AM⊥BD，∠ABM=45°，AM=2，
∴AB=√2AM=2√2，AD=2AM=4，
∴▱ABCD的周长=(2√2+4)×2=4√2+8．
解析：(1)根据垂直，利用内错角相等两直线平行可得AM//CN，在根据平行四边形的性质证明△ABM 与△DCN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CN，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
(2)由四边形ABCD是平行四边形，得到AD//BC，推出∠ADB=∠CBD=30°，由于AM⊥BD，∠ABM= 45°，AM=2，得到AB=√2AM=2√2，AD=2AM=4，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质与判定，利用三角形全等证明得到AM=CN是证明的关键．
21.答案：解：(1)平行四边形ABCD如图所示．
(2)菱形APBQ如图所示．
解析：(1)利用数形结合的思想解决问题即可；
(2)构造边长为5的菱形即可．
本题考查了作图−应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确的理解题意．
22.答案：解：(1)参加调查测试的学生共有60÷15%=400人，扇形C的圆心角的度数是360°×80
400
= 72°，
故答案为：400、72°；
(2)A所占百分比为100
400×100%=25%、C所占百分比为80
400
×100%=20%，B分组人数为
400×30%=120人，
统计图补充如下，
(3)∵一共有400人，其中A组有100人，B组有120人，C组有80人，D组有60人，E组有40人．∴最中间的两个数在落在B组，
∴中位数在B组．
故答案为B组；
(4)3000×(25%+30%)=1650人．
答：估计全校测试成绩为优秀的学生有1650人．
解析：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了中位数的定义．
(1)根据D组人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C分组人数所占比例可得；
(2)用总人数乘以B组所占百分比，求出B组人数完成条形图．根据频率=频数÷数据总数求出A、C 两组所占百分比，完成扇形图；
(3)利用中位数的定义，就是大小处于中间位置的数即可作判断．
(4)利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
23.答案：解：(1)AD是⊙O的切线，
理由如下：连接OA，
∵∠B=30°，
∴∠O=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=60°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=90°，
又∴点A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线．
(2)∵∠OAC=∠O=60°，
∴∠OCA=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∵OD⊥AB，
∴OD垂直平分AB，
∴AC=BC=5，
∴OA=5，
即⊙O的半径为5．
解析：(1)理解OA，根据圆周角定理求出∠O，求出∠OAC，即可求出∠OAD=90°，根据切线的判定推出即可．
(2)求出等边三角形OAC，求出AC，即可求出答案．
本题考查了等边三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理，切线的判定的应用，题目比较好，是一道比较典型的题目．
24.答案：A、B2或0
解析：解：(1))∵|−1−0|+|2−0|=4，|0−0|+|−4−0|=4，|6−0|+|2−0|=8，
∴原点O的“4−阳光点”是点A、点B．
故答案为：A、B；
所有原点O的“4−阳光点”所形成的图形是正方形，正方形四个顶点为(0,4)(4,0)(0,−4)(−4,0)，如图1中所示：
(2)①如图2中，
∵M(2,1)，
∴点M的“3−阳光点”在图中正方形ABCD的边上，
∴满足条件的点N的坐标为(0,2)或(0,0)，
∴n=2或0，
故答案为：0或2．
②当直线y=2x+b经过点A(−1,1)时，b=3，
当直线y=2x+b经过点C(5,1)时，b=−9，
观察图象可知，满足条件的b的值为：−9<n<3
(3)如图3中，以S，T，G为正方形的中心，对角线长为10，且对角线平行坐标轴，作正方形，观察图象可知，当这三个正方形与线段DE有交点时，线段DE上存在点P，△GST上存在点Q，使得点P与点Q互为“5−阳光点”，
观察图象可知，满足条件的a的值为：−4≤a≤−1或5≤a≤7．
(1)根据原点O的“4−阳光点”的定义，通过计算判断即可．作出对角线在坐标轴上，对角线长为8，对称中心为原点O的正方形即可．
(2)①画出以M为正方形的中心，对角线长为6，且对角线平行坐标轴的正方形ABCD，这个正方形ABCD与y轴的交点即为点N，由此可得结论．
②求出直线经过A，C两点时，b的值即可判断．
(3)如图3中，以S，T，G为正方形的中心，对角线长为10，且对角线平行坐标轴，作正方形，观察图象可知，当这三个正方形与线段DE有交点时，线段DE上存在点P，△GST上存在点Q，使得点P与点Q互为“5−阳光点”，由此可得结论．
本题属于一次函数综合题，考查了坐标与图形的变化，P1与P2互为“m−阳光点”的定义，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
25.答案：√3
解析：(1)解：如图1，连接CF，
∵四边形ABCD为矩形，∠CBD=30°，
=2√3，
∴OC=OD，∠BDC=60°，BC=CD
tan∠CBD
∴△OCD为等边三角形，
∵点F是线段OD的中点，
∴CF⊥OD，
∵点E是BC边的中点，
∴EF=1
2
BC=√3，
故答案为：√3；
(2)①证明：如图2，取OB的中点G，连接EG，∵点E是BC边的中点，
∴EG//OC，
∴FP
PE =FO
OG
，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD，
∵点F是线段OD的中点，
∴OF=OG，
∴FP=PE，即点P是线段EF的中点；
②解：矩形ABCD是正方形，
理由如下：过点F作FH⊥BC于H，连接OE、FC，
∵OB=OC，点E是BC边的中点，
∴OE⊥BC，
∴OE//FH//CD，
∵点F是线段OD的中点，
∴点H是线段EC的中点，
∴FE=FC，
∵AF=FE，
∴AF=CF，
∵OA=OC，
∴DA=DC，
∴矩形ABCD为正方形．
(1)连接CF，根据正切的定义求出BC，根据矩形的性质、等边三角形的判定定理得到CF⊥OD，根据直角三角形的性质解答即可；
(2)①取OB的中点G，连接EG，根据三角形中位线定理得到EG//OC，根据平行线分线段成比例定理证明即可；
②过点F作FH⊥BC于H，连接OE、FC，根据平行线分线段成比例定理得到点H是线段EC的中点，根据线段垂直平分线的判定定理得到DA=DC，根据正方形的判定定理证明结论．
本题考查的是正方形的判定定理、矩形的性质、平行线分线段成比例定理，掌握矩形的性质定理、正方形的判定定理是解题的关键．
26.答案：解：(1)∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴CO=BO=a，
∵S△ABC=1
2BC⋅OA=1
2
×2a×√3a=36√3，
∵a>0，
∴a=6，
∴OA=6√3，
∴A(0,6√3)；
(2)∵CO=BO=6，
∴AB=AC=BC=12，
①当P在AB上时，如图1，BP=t，AP=AB−BP=12−t，∵OP分△ABC周长为1：2，
∴(BP+BO)：(AP+AC+OC)=1：2，
∴(6+t)：(12−t+12+6)=1：2，
解得t=6；
②当P在AC上时，如图2，BA+AP=t，PC=24−t，
则有(BO+BA+AP)：(PC+OC)=2：1，
∴(6+t)：(24−t+6)=2：1，
解得t=18，
∴t=6秒或t=18秒时，OP所在直线分△ABC周长为1：2；(3)如图3，∵点D为AB的中点，△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，∠BCD=30°，
∵S△ABC=1
2BC⋅OA=1
2
AB⋅CD，
∴CD=OA=6√3，
△DCQ是以CD为腰的等腰三角形，点Q在x轴上．分以下情况讨论：
①如图3，当CQ=CD时，CQ=6√3，
∵OC=6，
∴Q1(6+6√3,0)， Q2(6−6√3,0)；
②如图4，当DQ=DC时，∠DQB=∠DCQ=30°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠QDB=∠ABC−∠DQC=60°−30°=30°，
∴∠QDB=∠DQB，
∴QB=BD=6，
∴OQ=12，
∴Q3(−12,0)，
所以，在x轴上存在点Q，Q1(6+6√3,0)， Q2(6−6√3,0)，Q3(−12,0)使△DCQ是以CD为腰的等腰三角形．
解析：(1)根据三角形ABC的面积求出a的值，得出点A的坐标；
(2)分两种情况：①P在边AB上，②P在边AC上，分别根据过O、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，列式解出t的值即可；
(3)满足△DCQ是以CD为腰的等腰三角形的情形有三种，正确画图，分别以D和C为圆心，以腰CD为半径画圆，分别与x轴相交，可得Q点有三个，根据腰长为6√3，可得对应Q的坐标．
本题是三角形的综合题，考查了图形与坐标的特点，等腰三角形的判定和性质，三角形周长和面积的计算，等边三角形的性质，用运动时间和速度表示出线段的长，本题的2，3问容易丢解，解决本题的关键时分情况计算．。