2021年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学九模试卷

2021年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学九模试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合U＝{﹣1，1，3，5，7，9}，A＝{1，5}，B＝{﹣1，5，7}，则∁U（A ∪B）＝（）
A．{3，9}B．{1，5，7}C．{﹣1，1，3，9}D．{﹣1，1，3，7，9}
2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D．i
3．（5分）若cosα+sinα＝﹣，则sin2α＝（）
A．﹣B．C．﹣D．
4．（5分）已知A（﹣1，﹣1），B（1，3），C（x，5），若，则x＝（）A．2B．﹣3C．﹣2D．5
5．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
6．（5分）已知过点（0，2）的直线l与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10相交于A，B两点，当△ABC面积最大时，直线l的方程为（）
A．2x﹣y+2＝0B．2x﹣y+2＝0或2x+y﹣2＝0
C．x＝0D．x＝0或2x+y﹣2＝0
7．（5分）实数a，b满足a＞0，b＞0，a+b＝4，则的最小值是（）A．4B．6C．D．
8．（5分）当x∈R时，不等式≤ax﹣1恒成立，则实数a的取值范围为（）A．a＝2B．a＝
C．a≥2D．e≤a≤e
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分
9．（5分）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若两直线的斜率相等，则两直线平行
B．若x＞5，则x＞10
C．已知是直线a的方向向量，是平面α的法向量，若a⊥α，则⊥
D．已知可导函数f（x），若f′（x0）＝0，则f（x）在x＝x0处取得极值
10．（5分）如图是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）
A．B．
C．D．
11．（5分）直线y＝x+b与曲线恰有一个交点，则实数b可取下列哪些值（）A．B．﹣1C．1D．
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长为a，b，c，A＝，角A的平分线AD交BC于D，且AD＝2，则下列说法正确的是（）
A．若c＝2，则BD＝﹣
B．若c＝2，则△ABC的外接圆半径是
C．bc＝b+c
D．bc≥
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会向全世界宣告，我国现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，中国完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了彪炳史册
的人间奇迹．同时指出脱贫不是终点而是新生活的起点．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派5名教师到A，B，C，D四个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，则不同安排方法共有种．
14．（5分）已知x＝2是f（x）＝x3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为．15．（5分）已知双曲线（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，△OPF的面积为，则该双曲线的离心率为．16．（5分）如图：已知△ABC的顶点C在平面α内，点A，B分别位于平面α两侧，且|AC|＝2，|BC|＝4．若AC，BC与平面α所成的角分别为，开则△ABC面积的取值范围是．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的取值范围．
18．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，现有四个条件：
①a1＝1；②a1＝2；③2S n+n+1＝a n+12；④S n＝n2+n+1（n≥2）．
从上述四个条件中选出两个，使得数列{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面△PBC是等边三角形，AD＝AB＝2，∠BCD＝45°，平面PBC⊥平面ABCD，E，F分别为BC，CD的中点．
（1）证明：平面PEF⊥平面P AB；
（2）求平面PEF与平面P AD所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．
（Ⅰ）求该市高一学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a、b、c的值．
（Ⅱ）若从该市高一学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在（1.50，1.70]的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）＞0.6826且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）＞0.9544，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布N（1.6，0.01）的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax．
（1）若f（x）在（0，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若h（x）＝x•f（x），且h（x）只有一个极值点x0，求实数a的取值范围，并证明：h（x0）≥﹣．
22．（12分）已知A，B分别为椭圆E：＝1（a＞）的左、右顶点，Q为椭圆E 的上顶点，＝1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知动点P在椭圆E上，两定点M（﹣1，），N（1，﹣）．
①求△PMN的面积的最大值；
②若直线MP与NP分别与直线x＝3交于C，D两点，问：是否存在点P，使得△PMN 与△PCD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2021年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学九模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合U＝{﹣1，1，3，5，7，9}，A＝{1，5}，B＝{﹣1，5，7}，则∁U（A ∪B）＝（）
A．{3，9}B．{1，5，7}C．{﹣1，1，3，9}D．{﹣1，1，3，7，9}
【解答】解：∵集合U＝{﹣1，1，3，5，7，9}，A＝{1，5}，B＝{﹣1，5，7}，
∴A∪B＝{﹣1，1，5，7}，
∴∁U（A∪B）＝{3，9}．
故选：A．
2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D．i
【解答】解：由（1﹣i）z＝i，得z＝，
∴z的虚部为．
故选：B．
3．（5分）若cosα+sinα＝﹣，则sin2α＝（）
A．﹣B．C．﹣D．
【解答】解：因为cosα+sinα＝﹣，
所以sin2α＝（cosα+sinα）2﹣1＝﹣1＝﹣．
故选：C．
4．（5分）已知A（﹣1，﹣1），B（1，3），C（x，5），若，则x＝（）A．2B．﹣3C．﹣2D．5
【解答】解：A（﹣1，﹣1），B（1，3），C（x，5），
∴＝（2，4），＝（x﹣1，2）；
若，则2×2﹣4（x﹣1）＝0，解得x＝2．
故选：A．
5．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝﹣9，a5＝﹣1，得d＝
，
∴a n＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．
由a n＝2n﹣11＝0，得n＝，而n∈N*，
可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知T1＝﹣9＜0，T2＝63＞0，T3＝﹣315＜0，T4＝945＞0为最大项，
自T5起均小于0，且逐渐减小．
∴数列{T n}有最大项，无最小项．
故选：B．
6．（5分）已知过点（0，2）的直线l与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10相交于A，B两点，当△ABC面积最大时，直线l的方程为（）
A．2x﹣y+2＝0B．2x﹣y+2＝0或2x+y﹣2＝0
C．x＝0D．x＝0或2x+y﹣2＝0
【解答】解：当△ABC的面积最大时，CA⊥CB，
∵圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10的半径为，
∴圆心C到AB的距离d＝，
当直线斜率不存在时，不合题意；
故直线斜率存在，设直线方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0．
C（2，1）到直线kx﹣y+2＝0的距离d＝，
解得k＝2．
∴当△ABC的面积最大时直线l的方程为y＝2x+2，
即2x﹣y+2＝0，
故选：A．
7．（5分）实数a，b满足a＞0，b＞0，a+b＝4，则的最小值是（）A．4B．6C．D．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴4＝a+b≥2，∴0＜ab≤4．
∴＝＝＝
＝＝＝2+∈[，）．∴最小值为．故选：D．
8．（5分）当x∈R时，不等式≤ax﹣1恒成立，则实数a的取值范围为（）A．a＝2B．a＝
C．a≥2D．e≤a≤e
【解答】解：令f（x）＝，
∵x＞1时，f（x）＞0，∴a≤0时不合条件；
令h（x）＝，得h′（x）＝，
令g（x）＝2﹣x﹣ae x，知g（x）在R上单调递减，
∵h（0）＝0，∴h（x）要在x＝0处取得最大值，∴g（0）＝2﹣a＝0，即a＝2．故选：A．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分
9．（5分）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若两直线的斜率相等，则两直线平行
B．若x＞5，则x＞10
C．已知是直线a的方向向量，是平面α的法向量，若a⊥α，则⊥
D．已知可导函数f（x），若f′（x0）＝0，则f（x）在x＝x0处取得极值
【解答】解：对于A，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性
不成立；
对于B，x＞10时，x＞5，所以必要性成立；
对于C，若⊥，则a∥α或a⊂α，所以必要性不成立；
对于D，f（x）在x＝x0处取得极值时，f′（x0）＝0，必要性成立．
故选：BD．
10．（5分）如图是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为A；，所以B不正确；
当不过上、下底的中心时，截面图形为D．所以C不正确；
所以只有A、D正确．
故选：AD．
11．（5分）直线y＝x+b与曲线恰有一个交点，则实数b可取下列哪些值（）A．B．﹣1C．1D．
【解答】解：曲线即x2+y2＝1 （x≥0），表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），
如图：当直线经过点A（0，﹣1）时，求得b＝﹣1；
当直线经过点C（0，1）时，求得b＝1；
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得＝1，求得b＝（舍去），或b＝﹣，
数形结合可得当直线y＝x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}，
则实数b可取；1
故选：AC．
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长为a，b，c，A＝，角A的平分线AD交BC于D，且AD＝2，则下列说法正确的是（）
A．若c＝2，则BD＝﹣
B．若c＝2，则△ABC的外接圆半径是
C．bc＝b+c
D．bc≥
【解答】解：对于A，c＝2时，在△ABD中，由余弦定理BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos ∠BAD＝4+4﹣2×＝2（4﹣2）＝2（﹣1）2，
所以BD＝（﹣1）＝﹣，故A正确；
对于B，若c＝2时，△ABD为等腰三角形，所以∠ABD＝＝75°，
所以在△ABC中，∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，由正弦定理2R＝＝＝
2，所以R＝，故B正确；
对于C，因为S△ABD+S△ADC＝S△ABC，
所以（b+c）•AD•sin30°＝bc sin60°，所以bc＝2（b+c），故C错误；
对于D，因为bc＝2（b+c）≥4，所以3（bc）2≥16bc，可得bc≥，当且仅当b＝c时，等号成立，故正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会向全世界宣告，我国现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，中国完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了彪炳史册的人间奇迹．同时指出脱贫不是终点而是新生活的起点．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派5名教师到A，B，C，D四个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，则不同安排方法共有60种．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为4组，有C52＝10种分组方法，
②将甲所在的组分到山区A，剩下3组安排到其他三个山区，有A33＝6种安排方法，
则有10×6＝60种安排方法；
故答案为：60．
14．（5分）已知x＝2是f（x）＝x3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为18．【解答】解：因为f′（x）＝3x2﹣3a，
由题意可得，f′（2）＝12﹣3a＝0，
故a＝4，f′（x）＝3x2﹣12，
当x＞2或x＜﹣2时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故当x＝﹣2时，函数取得极大值f（﹣2）＝18．
故答案为：18．
15．（5分）已知双曲线（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，△OPF的面积为，则该双曲线的离心率为．
【解答】解：双曲线（a＞0）的b＝1，设双曲线的半焦距为c，且c＝，
设过F（c，0）与一条渐近线x﹣ay＝0垂直的直线为l，
则l的方程为：y＝﹣a（x﹣c），
由解得x＝，y＝，
即P（，），
∵△OPF的面积为，
∴|OF|×y P＝c•＝，
∴a＝2，
∴c＝＝3，
∴e＝＝＝，
故答案为：．
16．（5分）如图：已知△ABC的顶点C在平面α内，点A，B分别位于平面α两侧，且|AC|＝2，|BC|＝4．若AC，BC与平面α所成的角分别为，开则△ABC面积的取值范围是[2，4]．
【解答】解：设△ABC中∠C＝θ，则，所以△ABC面积为
＝＝4sinθ∈[4，4•1]＝[2，4]，故答案为：[2，4]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x＝sin2x+＝sin（2x+）+，可得f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ﹣，k∈Z，
所以函数对称中心为（kπ﹣，），k∈Z，
（2）因为x∈[﹣，]，所以2x+∈[﹣，]，
所以sin（2x+）∈[﹣，1]，
所以f（x）＝sin（2x+）+∈[，]．
18．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，现有四个条件：
①a1＝1；②a1＝2；③2S n+n+1＝a n+12；④S n＝n2+n+1（n≥2）．
从上述四个条件中选出两个，使得数列{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．
【解答】解：从上述四个条件中选出两个共有＝6种选择，
即①②、①③、①④、②③、②④、③④，
由题意得①②和③④的选法不符合题意，
若选择②③条件：∵2S n+n+1＝a，
∴2S n﹣1+n＝a（n≥2），两式相减得2a n+1＝a﹣a2，
∴a＝（a n+1）2，
又∵数列{a n}的各项均为正数，
∴a n+1＝a n+1（n≥2），
∵a1＝2，
∴2S1+1+1＝a22，解得a2＝，不满足a2＝a1+1＝3，故排除．
若选择①③条件：∵2S n+n+1＝a，
∴2S n﹣1+n＝a（n≥2），两式相减得2a n+1＝a﹣a2，
∴a＝（a n+1）2，
又∵数列{a n}的各项均为正数，
∴a n+1＝a n+1（n≥2），
∵a1＝1，
∴2S1+1+1＝a22，解得a2＝2，
∵a2＝a1+1＝1+1，
∴a2＝2，也满足{a n}的通项公式，
∴{a n}是以1为首项、1为公差的等差数列，即a n＝1+n﹣1＝n．
若选择②④条件：
∵S n＝n2+n+1，
∴S n﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1）+1＝n2﹣n+3（n≥2），即a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+n+1）﹣（n2﹣n+3）＝2n﹣2，
∵a1＝2满足上式，
∴{a n}是等差数列，a n＝2n﹣2．
若选择③④条件：
∵S n＝n2+n+1，
∴S n﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1）+1＝n2﹣n+3（n≥2），即a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+n+1）﹣（n2﹣n+3）＝2n﹣2，
∵a1＝1不满足上式，故排除，
综上所述，若选择①③条件，通项公式为a n＝n，若选择②④条件，通项公式为a n＝2n ﹣2．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面△PBC是等边三角形，AD＝AB＝2，∠BCD＝45°，平面PBC⊥平面ABCD，E，F分别为BC，CD的中点．
（1）证明：平面PEF⊥平面P AB；
（2）求平面PEF与平面P AD所成锐二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：依题意，由AD＝AB＝2，∠BCD＝45°，可知AB＝CD ＝2，BD＝2，
∴AD2＝BD2+AB2，于是AB⊥BD，
取AD的中点M，连接EM，因为ABCD是平行四边形，所以EM⊥AB，
又因为EF∥BD，所以EM⊥EF，
△PBC是等边三角形，E为BC的中点，所以PE⊥BC，
又因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，
所以PE⊥平面ABCD，
又因为EM，EF⊂平面ABCD，
所以PE⊥EM，PE⊥EF，
于是EM，EF，EP两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面P AB的法向量为，则，则可取，
而平面PEF的法向量为，
∴，则平面PEF⊥平面P AB；
（2）由（1）知，，
设平面P AD的法向量为，则，则可取
，
所以平面PEF与平面P AD所成锐二面角的余弦值为．
20．（12分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．
（Ⅰ）求该市高一学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a、b、c的值．
（Ⅱ）若从该市高一学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在（1.50，1.70]的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）＞0.6826且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）＞0.9544，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布N（1.6，0.01）的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．
【解答】解：（I）由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，
以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15．
记X为学生的身高，给合图1可得：
f（1.30＜X≤1.40）＝f（1.80＜X≤1.90）＝＝0.02，
f（1.40＜X≤1.50）＝f（1.70＜X≤1.80）＝＝0.13，
f（1.50＜X≤1.60）＝f（1.60＜X≤1.70）＝（1﹣2×0.02﹣2×0.13）＝0.35，
又由于组距为0.1，所以a＝0.2，b＝1.3，c＝3.5．
（II）以样本的频率估计总体的概率可得：
从这批学生中随机选取1名，身高在（1.50，1.70]的概率为0.35+0.35＝0.7．
所以随机变量ξ服从二项分布B（3，0.7），故P（ξ＝k）＝•0.7k•0.33﹣k（k＝0，1，2，3）．
故ξ的分布列为：
ξ0123
P0.0270.1890.4410.343∴E（ξ）＝3×0.7＝2.1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，P（1.50＜X≤1.70）＝0.7＞0.6826，
又结合（I），可得：P（1.40＜X≤1.80）＝1﹣0.02×2＝0.96＞0.9544，
所以这批学生的身高满足近似于正态分布N（1.60，0.01）的概率分布，
所有应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax．
（1）若f（x）在（0，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若h（x）＝x•f（x），且h（x）只有一个极值点x0，求实数a的取值范围，并证明：h（x0）≥﹣．
【解答】解：（1）f′（x）＝﹣a（x＞0），
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤0，即a的取值范围是（﹣∞，0]．
（2）h（x）＝xlnx﹣ax2，所以h'（x）＝lnx+1﹣2ax，
设g（x）＝h'（x）＝lnx+1﹣2ax，g'（x）＝﹣2a，
①当a＞0时，令g'（x）＝0，解得x＝，
x∈（0，），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
x∈（，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
若g（）≤0，h'（x）≤0恒成立，h（x）无极值；
若g（）＞0，h'（）＞0，而h'（）＝﹣＜0，
h'（）＝﹣2lna+1﹣＜0，此时函数h（x）有两个极值点，
故a＞0不符合题意；
②a＝0时，x∈（0，），h'（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以函数h（x）有唯一的极小值点，h（）＝﹣，符合题意；
③当a＜0，g'（x）＞0恒成立，g（x）＝h'（x）单调递增，
取b满足0＜b＜﹣，且0＜b＜时，h'（b）＜0，而h'（）＝﹣＞0，此时由零点存在定理知：h'（x）＝0有唯一的零点x0，
h（x）只有一个极值点x0，且x0∈（0，），符合题意；
故a的取值范围是（﹣∞，0]；
下面证明h（x0）≥﹣：
由题知h（x0）＝x0lnx0﹣ax02，又h'（x0）＝1+lnx0﹣2ax0，
∴ax0＝（1+lnx0），
∴h（x0）＝x0lnx0﹣x0（1+lnx0）＝x0lnx0﹣x0，
设u（x）＝xlnx﹣x，
∴u'（x）＝lnx，当x∈（0，），u'（x）＜0，u（x）单调递减，
∴u（x）≥u（）＝﹣，
∴h（x0）≥﹣成立，
综上：函数h（x）只有一个极值点x0，a的取值范围（﹣∞，0]，且h（x0）≥﹣．22．（12分）已知A，B分别为椭圆E：＝1（a＞）的左、右顶点，Q为椭圆E 的上顶点，＝1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知动点P在椭圆E上，两定点M（﹣1，），N（1，﹣）．
①求△PMN的面积的最大值；
②若直线MP与NP分别与直线x＝3交于C，D两点，问：是否存在点P，使得△PMN
与△PCD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得，Q（0，），A（﹣a，0），B（a，0），
因为＝1．
所以（a，）•（a，﹣）＝1，
所以a2﹣3＝1，
所以a2＝4，
所以椭圆的方程为+＝1．
（Ⅱ）①设P（2cosα，sinα），0≤α≤2π，
因为M（﹣1，），N（1，﹣），
所以直线MN的方程为y﹣＝（x+1），即3x+2y＝0，
所以点P到直线MN的距离为d＝＝，|MN|＝＝，
所以S△PMN＝•|MN|•d＝••＝2sin（α+），0≤α≤2π，所以△PMN的面积的最大值为2．
②设P（x0，y0），|MN|＝，
点P到直线MN的距离d1＝，
所以S△PMN＝|MN|•d1＝|3x0+2y0|，
直线MP的方程为：y＝（x+1）+，
令x＝3，可得C（3，+），
直线PN的方程为：y＝（x﹣1）﹣，
令x＝3，可得D（3，﹣），
所以|CD|＝||，
点P到直线CD的距离d2＝|3﹣x0|，
所以S△PCD＝|CD|•d2＝||×（3﹣x0）2，因为△MPN与△PCD面积相等，
所以|3x0+2y0|＝||×（3﹣x0）2，
所以3x0+2y0＝0（舍去）或|x02﹣1|＝（3﹣x0）2，
解得x0＝，代入椭圆的方程得y0＝±，
所以点P（，）或（，﹣）．。