高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案

高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案
一、选择题
1．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )
A ．x －2y －1＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
答案：A
解析：设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1，0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.
2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．14 D ．34
答案：D
解析：∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34
. 3．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由两条直线平行，∴a 3 ＝2a －1 ≠2a 7－a
， 得a ＝－2或a ＝3.
∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．
4．当0<k <12
时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案：B
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1
． 又∵0<k <12
，
∴x ＝k k －1 <0，y ＝2k －1k －1
>0， 故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．
5．“C ＝2”是“点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3， 得|1＋3×3＋C |12＋（3）
2 ＝|4＋C |2 ＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，
3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．
6．过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )
A ．2x ＋y －5＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．x ＋2y －4＝0
D ．x －2y ＝0
答案：A
解析：过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线，因为
直线OP 的斜率为1－02－0 ＝12
，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.
7．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5 ，则m ＋n ＝( )
A ．0
B ．1
C ．－2
D ．－1
答案：C
解析：∵l 1∥l 2，∴12 ＝－2n
，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴
|m ＋3|12＋（－2）2 ＝|m ＋3|5 ＝5 ，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.
8．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k
的取值范围是( )
A ．k ∈R
B ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0
C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10
D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1
答案：C
解析：由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1，1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.
9．(多选)已知直线l ：3 x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A ．直线l 的倾斜角是π6
B ．若直线m ：x －3 y ＋1＝0，则l ⊥m
C ．点(3 ，0)到直线l 的距离是2
D ．过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是3 x －y －4＝0
答案：CD
解析：对于A ，直线l ：3 x －y ＋1＝0的斜率k ＝3 ，故直线l 的倾斜角是π3
，故A 错误；对于B ，因为直线m ：x －3 y ＋1＝0的斜率k ′＝33
，kk ′＝1≠－1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C ，点(3 ，0)到直线l 的距离d ＝
|3×3－0＋1|
（3）2＋（－1）2 ＝2，故C 正确；对于D ，过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是y －2＝3 (x －23 )，整理得3 x －y －4＝0，故D 正确．
二、填空题
10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．
答案：2
解析：由题意得A (0，1)，由点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12 ＝2 . 11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线
y 2－x 2m 2
＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝________．
答案：33 解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y ＝x m
，即x －my ＝0.圆的方程可化为x 2
＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公
式，得|0－2m|
m2＋1
＝1，解得m＝±
3
3.又因为m＞0，所以m＝
3
3.
12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．答案：2
解析：由题意可知，k AB＝b－a
5－4
＝b－a＝1，
故|AB|＝（5－4）2＋（b－a）2＝2.。