导热复习资料(第五组)

的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中温度 分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的 温度变化特征与边界条件参数的关系。
已知：平板厚 2 、初温 、表面传热系数 h 、平板 t0 导热系数 ，将其突然置于温度为 t 的流体中冷 却。 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
导热微分方程
假定物体是各向同性的均质物体，物性 参数密度、比热容为常数，物体内具有 均匀分布的内热源。 能量守恒定律
以导热方式传入 微元体内热源 微元体内 ＝ 微元体的净热量 生成的热量 能的增量
dQc dQg dQ
dQx qx dydzd
初始条件的一般形式
（3-1b）
t ( x, y, z,0) f ( x, y, z)
边界条件：着重讨论第三类边界条件
简单特例 f(x,y,z)=t0
t ( ) w h(tw t f ) n
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足方程 （3-1a）或（3-1b）以及一定的初始和边界条件， 则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题
q dQx dx qx x dxdydzd x
qx q y qz dQc x y z dxdydzd q x dQx dQx dx dxdydzd x q y dQy dQy dy dydxdzd y q z dQz dQz dz dzdxdyd z
导热基本定律
傅里叶导热定律
负号表示热量传递 的方向指向温度降 低的方向
傅里叶导热定律的一般形式的数学表达 式是对热流密度矢量写出的，其形式为 ：
gradt 是空间某点的温度梯度，指向 为温度上升的方向
导热系数
导热系数的取值取决于物质的种 类和温度等因素
1992年我国国家标准中，规定凡平均温度不高于 350 ℃时导热系数不大于0.12W/(m.K)的材料称为 保温材料
毕渥数
3.2 零维问题的分析法－集中参数法
定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀 一致的分析方法。此时，Bi 0 ，温度分布只与时
间有关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，
也称为零维问题。
3.2.1 集中参数法温度场的分析解
建立数学模型－利用两种方法
1、根据导热微分方程的一般形式进行简化； 2、利用能量守恒 热平衡关系为：内热能随时间的变化率Δ Ε ＝ 通过表面与外界交换的热流量φ c 。
义还可以从另一个角度来加以说明，即从温度的角度看，其值越大，材料中温度变 化传播得越迅速。可见它也是材料传播温度变化能力大小的指标，因此亦有导温系 数之美称。
对于下列三种情形，傅里叶导热定律及导热微分方程 是不适用的：
（1）当导热物体的温度接近0K(绝对零度)时（温度效应） （2）当过程的时间极短，与材料本身固有的时间尺度相接近时（ 时间效应） （3）当过程发生的空间尺度极小，与微观粒子的平均自由行程相 接近时（尺度效应）
2
导热系数为常数，无内热 源时
圆柱坐标系
1 T T 1 2T 2T r r r r r 2 2 z 2 qV c
T 2T
球坐标系 1 2 T T 1 T 1 2T qV r 2 sin 2 2 2 2 r sin c r r r r sin
3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件 及边界条件下求解导热微分方程式，是本章主要 任务。
三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形 式统一表示为：
t cp div( grad t ) （3-1a）
温度的拉普拉斯算子
t
2
t 2 a t cp
TW 1 TW 2
T
TW 1 TW 2 x TW 1 s
平壁一维稳态导热————单层平壁
第一类边界条件－－表面温度为常数
T T T W 1 W 2 x TW 1 s
求 导
T
q
q
dT dx
TW 1

Tx
TW 2
T T dT W1 W 2 dx s
② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算
方法。
3.1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程及其特点
物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f()。 2 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化
非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不断地 升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后， 物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡。 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值．
qV T 2 T c
c
热扩散系数－－物性参数，反映物体 导热能力与蓄热能力间的关系；
导热系数为常数时
q T 2T V c
常物性、无内热源、稳态时
22 T 2T 2T T 2 0 2 0 T 2 x y z

hA Vc
2 hA hV A 式中的指数： 2 cV A V c h(V A) a Bi Fo 2 (V A)
过余温度 比 傅立叶数
V 特征长度 lc A
exp( Bi, Fo) 0
（2-30）
多层圆筒壁
P53（2-32）
肋片的导热
P58
微元体：截面积 A， 周长U，对流换 热 面积Udx
第三章 非稳态热传导
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析法－集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
１、重点内容：
① 非稳态导热的基本概念及特点；
② 集中参数法的基本原理及应用； ③ 一维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法；
d T 0 dx2
T T
x 0
T
2
d T 0 2 dx
2
d dT 0 dx dx
TW 1

Tx
TW 2
TW 1 TW 2
x s
dT d 0 dx
积 分
s x
dT C1dx
积 分
dT C1 dx
T C1 x C2
T T
x 0 x s
1）毕渥数的定义：
h Bi 1h
毕渥数属特征数（准则数）。 2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小 反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。 3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过 程特征的无量纲数。 4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。
T T T T c qV x x y y z z
T 2T 2T 2T qV 2 2 2 c x y z c
单层圆筒壁
1、第一类边界条件下通过圆筒壁的导热 假设：单圆筒的长度为L，热导率 为定值、无内热源
单层圆筒壁
1、第一类边界条件下通过圆筒壁的导热 假设：单圆筒的长度为L，热导率 为定值、无内热源
单层圆筒壁
1、第一类边界条件下通过圆筒壁的导热 假设：单圆筒的长度为L，热导率 为定值、无内热源
q (2-29) R (2-31)
TW 1 TWn 1 n si
TW 1 TW 2 q TW 2 TW 3 q TW 3 TW 4 q
1
s1
1 2 3 s1 s 2 s3
s1 s2 s3 TW 1 TW 4 q 2 3 1
TW 4
x
2 3
s x
TW 1 TW 2 TW 1 TW 2 s r
T T dT q W1 W 2 dx s
q
?
T 0 1 bT
d dT T 0 dx dx
分析导热问题的一般方 法－－通过解微分方程 得到温度场，然后利用 傅立叶定律确定导热速 率。
一维稳态问题
单层平壁
多层平壁 单层圆筒壁
多层圆筒壁
肋片
平壁一维稳态导热————单层平壁
T 理想的一维平壁是长度、宽度远大于厚度的无限大平壁
第一类边界条件－－表面温度为常数
无内热源的无限大单层平壁，要求确定壁内温度分布 和通过此平壁的导热通量。假定导热系数为常数。
TW 1

Tx
s3
s2

+
q
1
TW 1 TW 4 T T W 13 W 4 s1 s2 s3 s i
2
3
i 1
i
q

i 1
s1 s2 si TWi 1 TW 1 q i 2 1
i
单层圆筒壁
1、第一类边界条件下通过圆筒壁的导热 假设：单圆筒的长度为L，热导率 为定值、无内热源
各类物体导热机理： 气体：分子不规则热运动相互碰撞 固体：1 导电固体：自由电子运动 2 非导电固体：晶格结构的振动（弹性 声波，亦称声子） 液体：1 类似气体（分子间的作用力） 2 类似非导电固体（弹性声波作用）
温度场
温度场是各个时刻物体中各点温度所组成的集合，亦
称温度分布。一般地说，物体的温度场是坐标与时间 的函数，即
TW 2
2T 2T 2T qV T x 2 y 2 z 2 c
T T
s
d T 0 2 dx
x 0
2
x
TW 1 TW 2
x s
T f x
平壁一维稳态导热————单层平壁
第一类边界条件－－表面温度为常数
t = f (x, y, z,τ )
t — 温度; x, y, z — 空间坐标; τ —时间
等温面与等温线
等温面： 同一时刻、温度场中所有温度相同的点连 接起来所构成的面 等温线： 用一个平面与各等温面相交，在这个平面 上得到一个等温线簇 等温面与等温线的特点： 1、温度不同的等温面或等温线彼此不能相交 2、在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它 们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终 止与物体的边界上
平壁一维稳态导热————多层平壁
T
第一类边界条件－－表面温度为常数
多层平壁，要求确定层间界面温度和通过平壁的 导热通量。假定导热系数为常数。
q dT dx q TW 1 TW 2 s
TW 1
TW 2 TW 3
TW 1 TW 2 s1 T T q 2 W 2 W 3 s2 T T q 3 W 3 W 4 s3 q 1
应当注意的几点问题：
φ 视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界
（零维无任何边界），因而界面上交换的热量应折 算成整个物体的体积热源，由于物体被冷却，故φ 应为负值。
过余温度的引入： 令： t t — 过余温度
运用集中参数法的前提条件。
求解结果：
t t e 0 t0 t
定解条件
导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类：
I.
已知任何时刻边界面上的温度值
T
W
TW
II. 已知任何时刻边界面上的热通量
T n
W
qW
III. 对流边界条件：已知周围介质温度和对流换热系数
T n
W
T

W
T f

热扩散率的物理意义
越大，表明物体内部温度扯平的能力越大，因此有热扩散率之称；这种物理上的意