高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《空间向量与立体几何》模块检测

模块检测
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b
.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是 ( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析 命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．
答案 B
2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12
”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos 2α＝cos(4k π＋π3)＝cos π3＝12
. 反之当cos 2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，或2α＝2k π－π3
(k ∈Z )⇒α＝k π－π6
(k ∈Z )，故应选A. 答案 A
3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是 ( )．
A ．b ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)
B ．b ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)
C ．b ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)
D ．b ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)
解析 若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 正确．
答案 D
4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是 ( )．
A ．90°
B ．60°
C ．30°
D ．0°
解析 ∵|a|＝|b|＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°. 答案 A
5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于 ( )．
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
解析 由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.
答案 B
6．如图，在长方体ABCD －A
1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则
BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 ( )． A.
63 B.255 C.155 D.105
解析 建立如图所示坐标系，
得D (0，0，0)，B (2，2，0)，C 1(0，2，1)，B 1(2，2，1)，
D 1(0，0，1)，
则DB →＝(2，2，0)，DD 1→＝(0，0，1)，
BC 1→＝(－2，0，1)．
设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．
∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，
∴取n ＝(1，－1，0)．
设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，
则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→||n |＝25·2＝105. 答案 D
7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )．
A ．y 2＝±4x
B ．y 2＝±8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝8x
解析 y 2＝ax 的焦点坐标为(a 4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a 4
)，令x ＝ 0得y ＝－a 2.∴12×|a |4×|a |2
＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案 B
8．三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC
＝60°，则AB →·CD →等于 ( )．
A ．－2
B ．2
C ．－2 3
D ．2 3
解析 AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →
＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.
答案 A
9．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ( )． A. 3 B ．2 C. 5 D. 6
解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a
x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a ＝4，∴c 2
a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案 C
10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2
b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是 ( )．
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
解析 双曲线的离心率e 12＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 12e 22＝1，即a 2＋b 2
a 2 ×m 2－
b 2
m 2
＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2. 答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
11．已知命题p ：∀x ∈R (x ≠0)，x ＋1x
≥2，则綈p ：________．
解析 首先将量词符号改变，再将x ＋1x ≥2改为x ＋1x
<2. 答案 ∃x ∈R (x ≠0)，x ＋1x
<2 12．与双曲线x 2－y 24
＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________．
解析 依题意设双曲线的方程
x 2－y 24
＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双 曲线的标准方程为x 23－y 212
＝1. 答案 x 23－y 212
＝1 13．给出下列结论：
①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧綈q ”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b
＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析 对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确； 对于②，当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③
14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29
＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为______．
解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，
∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 解得|PF 1||PF 2|＝18.∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12
×18＝9. 答案 9
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m
＝1的离心率e ∈(
62
，2)，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 解 若p 真，则有9－m >2m >0，
即0<m <3.若q 真，则有m >0，
且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈(32
，2)， 即52
<m <5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题，
则p 、q 一真一假．
①若p 真、q 假，
则0<m <3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52
； ②若p 假、q 真，
则m ≥3或m ≤0，且52
<m <5， 即3≤m <5.
故所求范围为：0<m ≤52
或3≤m <5. 16．(10分)已知两点M (－2，0)、N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP
→＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．
解 设P (x ，y )，则MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．
∴|MN →|＝4，|MP →|＝（x ＋2）2＋y 2
MN →·NP →＝4(x －2)，
代入|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，
即（x ＋2）2＋y 2＝2－x ，化简整理，得y 2＝－8x ，故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝ －8x .
17．(10分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点．
(1)求a 的取值范围；
(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．
解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.
依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝
2a 3－a 2
，x 1x 2＝－23－a 2. ∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，
∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，
即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，
即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.
∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2
＋1＝0， ∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a ＝±1.
18．(12分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，
AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC
＝FE ＝12
AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；
(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；
(2)求二面角A -CD -E 的余弦值．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原
点．
设AB ＝1，依题意得B (1，0，0)，
C (1，1，0)，
D (0，2，0)，
E (0，1，1)，
F (0，0，1)，
M (12，1，12
)． (1)BF →＝(－1，0，1)，DE →＝(0，－1，1)，
于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|
＝0＋0＋12×2＝12. 所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.
(2)证明 由AM →＝(12，1，12
)，CE →＝(－1，0，1)， AD →＝(0，2，0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.
因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .
又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .
而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .
(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·
DE →＝0. 于是⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1，1，1)． 又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0，0，1)．
所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u||v |＝0＋0＋13×1
＝33. 因为二面角A -CD -E 为锐角，所以其余弦值为33
. 19．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；
(2)已知点M (355，455
)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．
解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .
圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，
圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，
∴||CF 1|－|CF ||＝4.
∵|F 1F |＝25>4，
∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24
－y 2＝1. (2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，
∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝（355－5）2＋（455
－0）2＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，
x 24－y 2＝1，
整理得15x 2－325x ＋84＝0. 解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655
. 此时y ＝－255
. ∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为
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