实验三-控制系统的根轨迹

实验三 控制系统的根轨迹
一 实验目的
1．利用计算机完成控制系统的根轨迹作图
2．了解控制系统根轨迹图的一般规律
3．利用根轨迹图进行系统分析
二 预习要点
1. 预习什么是系统根轨迹？
2. 闭环系统根轨迹绘制规则。

三 实验方法
（一） 方法：当系统中的开环增益k 从0到无穷大变化时，闭环特征方程的根在复平面上的一组曲线为根轨迹。

设系统的开环传函为：)
()()(0s Q s N k s G =，则系统的闭环特征方程为：0)
()(1)(10=+=+s Q s N k s G 根轨迹即是描述上面方程的根，随k 变化在复平面的分布。

（二） MATLAB 画根轨迹的函数常用格式：利用Matlab 绘制控制系统的根轨迹主要用pzmap ，
rlocus ，rlocfind ，sgrid 函数。

1、根轨迹图绘制
❑ rlocus(num,den)：根据SISO 开环系统的状态空间描述模型和传递函数模型，直接在屏幕上
绘制出系统的根轨迹图。

开环增益的值从零到无穷大变化。

❑ rlocus(num,den,k)： 通过指定开环增益k 的变化范围来绘制系统的根轨迹图。

❑ [r,k]=rlocus(num,den) ：不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图，而根据开环增益变化矢量
k ，返回闭环系统特征方程1＋k*num(s)/den(s)=0的根r ，它有length(k)行，length(den)-1
列，每行对应某个k 值时的所有闭环极点。

或者同时返回k 与r 。

❑ 若给出传递函数描述系统的分子项num 为负，则利用rlocus 函数绘制的是系统的零度根轨
迹。

（正反馈系统或非最小相位系统）
❑ 注：单击根轨迹上的点可以显示该点处的增益值和其他相关信息。

2、rlocfind()函数
❑ [k,p]=rlocfind(num,den)
它要求在屏幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。

然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望
的闭环极点。

命令执行结果：k 为对应选择点处根轨迹开环增益；p 为此点处的系统闭环特征根。

❑ 不带输出参数项[k,p]时，同样可以执行，只是此时只将k 的值返回到缺省变量ans 中。

3、sgrid()函数
❑ sgrid ：在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制出自然振荡频率wn 、阻尼比矢量z 对应的格
线。

❑ sgrid(‘new’)：是先清屏，再画格线。

❑ sgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量z 、自然振荡频率wn 的格线。

四 实验内容
1．开环传递函数为()()()21++=s s s k s G g
，绘制根轨迹。

要求：
（a ） 记录根轨迹的起点、终点与根轨迹的条数；答：起点分别在（-2.0）、（-1,0）、（0,0）处，
终点在无穷远处；有3条根轨迹
（b ） 确定根轨迹的分离点与相应的根轨迹增益；答：根轨迹点如图所示，根轨迹增益g=0.385
（c ） 确定临界稳定时的根轨迹增益gL k ; 答：由图可知：根轨迹增益KgL =5.93
(a)
(b)
(c)
2．
()
()2
3
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
G g
要求：确定系统具有最大超调量时的根轨迹增益；答：由δ%=/ξ=cosβ知，当系
统具有最大超调量
δ%时，ξ就越小，β就越大。

故当原点与其圆相切时δ%最大如图所示，最大超调量在两
个位置存在，此时根轨迹增益K=1.95，超调量tp =1.17
3．绘制下列系统根轨迹图，并分析系统稳定时k 的范围。

分析：由上图可知根的轨迹有5条，有3条已经处于负实轴左半平面，剩下两条（即图中标注）k
取值范围为（-3.86，6.27i ）；（-3.86，-6.27i ）
)14)(6)(4()42(22++++++s s s s s s s k ()R s ()C s
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