新题库--第五章 第02节： 向量及其相关的概念
高考向量必考知识点
高考向量必考知识点在高考数学考试中，向量是一个必考的重要知识点。
掌握好向量的相关概念和运算规则，对于解题和提高数学成绩都有极大的帮助。
下面将介绍高考中向量的必考知识点，帮助考生全面复习和准备考试。
1. 向量的定义和表示方法向量是具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
向量通常用大写字母加箭头表示，如→AB，表示从A点指向B点的向量。
在二维平面上，向量可以用坐标表示，如→AB = (x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的运算规则(1) 向量的加法：向量的加法满足共线三角形法则，即将两个向量首尾相连，所得的结果向量的起点和终点与原向量的起点和终点重合。
向量的加法可以通过坐标运算和三角函数运算进行。
(2) 向量的数乘：向量的数乘指的是将向量的长度乘以一个实数。
若向量→AB的长度为a，那么实数k与向量的数乘结果为k→AB，其长度为ka。
(3) 向量的减法：向量的减法可以通过向量加法和数乘的运算规则来表示，即a - b = a + (-1) × b。
其中，-1表示方向相反的单位向量。
3. 向量的性质和运算规律(1) 零向量的性质：零向量是长度为0的向量，用0表示。
对于任意向量a，有a + 0 = 0 + a = a。
(2) 向量相等的条件：两个向量相等的充分必要条件是它们的长度相等且方向相同。
(3) 三角不等式：对于任意两个向量a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
即两个向量的和的长度小于等于它们的长度之和。
4. 向量的数量积和向量积(1) 数量积：数量积也称为点积或内积，是两个向量相乘得到一个实数的运算。
向量a与向量b的数量积用a·b表示，其结果为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
(2) 向量积：向量积也称为叉积或外积，是两个向量相乘得到一个向量的运算。
向量a与向量b的向量积用a×b表示，其结果为一个新的向量c，满足c的长度等于|a| |b| sinθ，c的方向垂直于a和b所确定的平面，遵循右手法则。
向量的性质及知识点总结
向量的性质及知识点总结1. 向量的定义向量是指空间中具有大小和方向的量，在数学上通常用箭头表示。
向量可以用坐标表示，比如二维平面上的向量可以表示为(x, y)，三维空间中的向量可以表示为(x, y, z)。
向量也可以用向量的模和方向来表示，模表示向量的大小，方向表示向量的指向。
2. 向量的基本运算向量有两种基本的运算，即加法和数乘。
向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量，数乘是指一个向量乘以一个数得到一个新的向量。
向量的基本运算满足交换律、结合律和分配律。
3. 向量的线性相关与线性无关如果存在一组实数k1, k2, ..., kn，使得k1*v1 + k2*v2 + ... + kn*vn = 0，其中v1, v2, ..., vn为n个向量，则这组向量线性相关；否则，这组向量线性无关。
线性相关的向量之间存在线性关系，可以由其中的某个向量表示成其他向量的线性组合；线性无关的向量之间不存在线性关系。
4. 向量的线性组合给定一组向量v1, v2, ..., vn和对应的实数k1, k2, ..., kn，它们的线性组合就是k1*v1 +k2*v2 + ... + kn*vn。
线性组合是向量的基本运算，它可以用来表示其他向量，比如空间中的任意一点都可以表示成基向量的线性组合。
5. 向量的内积和外积向量的内积（又称点积）和外积（又称叉积）是向量的重要运算。
内积的结果是一个标量，外积的结果是一个向量。
内积和外积在物理学中有着广泛的应用，比如力的计算和力矩的计算。
6. 向量的模和方向向量的模表示向量的大小，可以用勾股定理计算得到。
向量的方向表示向量的指向，可以用单位向量来表示。
单位向量是模为1的向量，它与任意非零向量的乘积得到的都是非零向量。
7. 向量的投影给定两个向量v和b，v在b上的投影表示v在b的方向上的分量，它可以用内积来计算得到。
向量的投影在物理学、工程学中有着广泛的应用，比如力的分解和运动的分解。
向量概念知识点总结
向量概念知识点总结一、向量的概念在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中的任意位置定义，具有位移、速度、力等物理量的特点。
向量可以简单地用一组有序数字表示，也可以用相关的符号表示。
在实际生活中，向量可以用来描述物体的位置、速度、加速度、力等。
Mathematica的向量记号是在向量上加箭头，例如 a，或者使用粗体斜体字母表示，例如 a。
这里，a可以表示一个向量。
二、向量的定义数学上，向量是一个有方向和大小的物理量。
向量是欧几里得空间中的一个元素，它可以用来表示空间中的位置或方向。
在数学中，向量通常用箭头表示，长度表示大小，箭头方向表示方向。
向量可以放在平面坐标系中，也可以用于描述空间中的方向和位置。
根据向量的定义，我们可以将向量表示为(x, y, z)，也可以表示为< x, y, z>。
在数学上，向量还可以表示一个n维空间中的一个点，也可以表示一个n维空间中的矩阵。
三、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a+b = b+a，(a+b)+c = a+(b+c)。
向量的加法可以表示为a + b = <a1+b1, a2+b2,a3+b3>。
在平面坐标系中，可以使用平行四边形法则来求解向量的加法结果。
2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以表示为a -b = <a1-b1, a2-b2, a3-b3>。
通过向量的减法，我们可以求得两个向量之间的差向量，用来表示两个向量之间的相对位置。
3.向量的数量积和内积向量的数量积又称为内积，是指将两个向量进行点乘得到一个数。
向量的数量积可以表示为a • b = |a| |b| cosθ。
其中，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
通过向量的数量积，我们可以求得两个向量之间的夹角，也可以求得一个向量在另一个向量上的投影。
向量高考必考知识点总结
向量高考必考知识点总结一、向量的定义向量是数学中一个非常重要的概念，它是一个有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。
在高等数学中，向量通常表示为一个有序组(a1,a2)，其中a1和a2分别是向量在x 轴和y轴上的分量。
向量的大小通常用|a|表示，在坐标系中表示为一个有向线段，其方向由起点指向终点，表示为→a。
二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法定义为两个向量的对应分量相加，即(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)。
在坐标系中，向量的加法就是将两个向量首尾相连的结果，即平行四边形的对角线。
2.向量的数乘向量的数乘定义为一个数与向量的每一个分量相乘，即k*(a1,a2)=(k*a1,k*a2)。
数乘后得到的向量与原向量的方向相同，但大小有所改变。
3.向量的减法向量的减法定义为两个向量的对应分量相减，即(a1,a2)-(b1,b2)=(a1-b1,a2-b2)。
在坐标系中，向量的减法就是将与减去的向量方向相反但大小相同的向量相加。
4.向量的线性组合向量的线性组合指的是通过向量的加法和数乘得到的新向量，即k1*a1+k2*a2+...+kn*an。
线性组合在数学中有很重要的应用，特别在矩阵和线性代数中。
三、向量的数量积1.数量积的定义向量的数量积也称为内积，它表示为a·b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b 的大小，θ表示a和b之间的夹角。
数量积的结果是一个标量，即一个大小和方向都不具有的量。
2.数量积的性质（1）对称性：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数量积和数乘的结合：(ka)·b=k(a·b)3.向量的数量积应用数量积在几何中有很多重要的应用，比如求向量的夹角、向量的投影、判断点和线段的位置关系等。
四、向量的几何运算1.向量的模向量的模表示向量的大小，通常表示为|a|。
数学向量知识点总结必修
数学向量知识点总结必修一、向量的概念和性质1. 向量的概念向量是以有向线段表示的，具有大小和方向的物理量，通常用a或AB表示。
向量有三种表示法：①平行于x轴的向量可以用数a表示。
例如，向量a=(3,0)，表示平行于x轴且长度为3的向量。
②平行于y轴的向量可以用数b表示。
例如，向量b=(0,4)，表示平行于y轴且长度为4的向量。
③一般向量也可以用坐标(x,y)表示。
例如，向量c=(2,3)，表示起点为原点(0,0)终点为点(2,3)的向量。
注：把向量表示为坐标形式叫做向量定位。
2. 向量的模向量a的模，记为∥a∥，即a的长度。
单个分量表示的向量的模设向量a=ai，其中i是分量标记。
a的模，记为∥a∥=|a|=|ai|(1+i^2)向量在坐标系中的模设a=(x,y)，其中x和y是a的两个坐标。
a的模，记为∥a∥=|a|=√(x^2+y^2)3. 向量的方向向量a的方向用直线l表示，并与l同方向的向量都与a平行，记为∠b=a。
向量a的方向余弦，向量a与坐标轴的夹角设向量a的模为∥a∥。
则向量a与x轴的夹角θ_0为：cosθ_0 =a_x ÷ ∥a∥则向量a与y轴的夹角θ_0为：cosθ_90 =a_y ÷ ∥a∥向量的方向用方向余弦表示设向量a的方向余弦分别为l,m,n。
则向量a可分解为：a=∥a∥(l,m,n)。
向量的方向余弦用坐标表示设向量a的方向余弦分别为l,m。
则向量a可表示为：a=∥a∥(l,m)。
二维向量的方向余弦设向量a的方向余弦分别为l,m。
则向量a可表示为：a=∥a∥(l,m)。
三维向量的方向余弦设向量a的方向余弦分别为l，m，n。
则向量a可表示为：a=∥a∥(l,m,n)。
4. 向量的平行与共线①向量的平行设向量a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)。
若向量a与向量b平行，则有：x_1/x_2 =y_1/y_2。
向量共线的条件设向量a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)。
高考向量的知识点总结
高考向量的知识点总结高考数学中，向量是一个重要的知识点。
掌握好向量的相关概念和运算法则，对于解题和理解几何问题都有很大的帮助。
本文将从向量的基本概念、向量的运算以及向量的应用三个方面来总结高考向量的知识点。
一、向量的基本概念向量是指既有大小又有方向的量。
在直角坐标系中，向量通常表示为一个有序实数组(a₁, a₂, ..., aₙ)，它有n个分量，分别表示在坐标系的各个轴上的长度。
向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在解题中，我们常常涉及到向量的模、方向角等概念。
向量的模表示向量的长度，记作|a|，它满足|a|≥0；向量的方向角表示向量与某个坐标轴的夹角，通常用θ表示，θ∈[0, 2π]。
二、向量的运算1. 向量的加法和减法向量的加法是向量之间的运算，表示将两个向量按照顺序首尾相接，构成一个新的向量。
记作a + b。
向量的减法是向量之间的运算，表示将两个向量首尾相接的角位置互换，并构成一个新的向量。
记作 a - b。
2. 向量的数量积和向量积向量的数量积又称为点积，它表示两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。
记作a·b，计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。
向量的数量积具有交换律和分配律，可以利用数量积求向量夹角和向量的投影等问题。
向量的向量积又称为叉积，它表示两个向量的长度之积与它们夹角的正弦值的乘积。
记作a×b，计算公式为a×b = |a| |b| sinθ n，其中n为垂直于a、b所在平面的单位向量。
向量的向量积具有反交换律和分配律，可以用来求平行四边形的面积和判断向量的共线性等问题。
三、向量的应用向量在几何问题中有广泛的应用。
例如，我们可以利用向量来求解平面几何中的相交、垂直等性质，通过向量的数量积和向量积求解线段和角的性质。
此外，在物理学中，向量可以表示物体的位移、速度、加速度等量。
在力学中，力可以用向量来表示，可以通过向量的运算求解合力、分解力等问题。
高考向量知识点
高考向量知识点高考是每个中国学生都将面对的一场考试，而向量是其中数学科目中的一个重要知识点。
向量的概念和计算方法是高考数学必备的基础知识之一，下面我将为大家介绍一些相关的内容。
1. 向量的基本概念向量是有方向和大小的量，它可以用有向线段来表示。
在二维空间中，向量通常用(a, b)表示，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
向量的大小可以用模长来表示，记作|AB|或|a|，它等于向量的长度。
2. 向量的加减法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
根据向量的定义，将两个向量的对应分量相加即可得到新向量的对应分量。
例如，(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)。
向量的减法可以看作是加法的逆运算，即将被减向量取负后与减向量相加。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为内积，它表示两个向量的夹角和向量的模的乘积。
数量积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，然后相加。
设向量a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，它们的数量积为a·b = a1b1 + a2b2。
数量积的几何意义是向量a在向量b方向上的投影长度。
4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，它表示由两个向量所确定的平行四边形的面积和法向量的方向。
向量积的计算方法是通过两个向量的分量之间的运算得到一个新的向量。
设向量a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，它们的向量积为a×b = a1b2 - a2b1。
向量积的几何意义是垂直于向量a和b所在的平面的向量。
5. 向量的共线与垂直两个向量共线是指它们的方向相同或相反，可以表示为a = kb，其中k为实数。
而两个向量垂直是指它们的数量积等于零，即a·b = 0。
利用共线和垂直的性质可以解决许多与向量相关的几何问题。
以上是关于高考向量知识点的一些介绍，希望能对大家的备考有所帮助。
在应试过程中，掌握并熟练运用向量的基本概念、加减法、数量积和向量积等知识点，能够提高解题速度和准确性。
高考数学中的向量相关知识点
高考数学中的向量相关知识点高考数学中，向量是一个非常重要的概念，涉及到的知识点比较多，包括向量的定义、数量积、向量积等等。
在这篇文章中，我们将从多个方面来探讨高考数学中的向量相关知识点。
一、向量的定义及性质在数学中，向量是一种有大小和方向的物理量，用一个箭头来表示。
向量的大小叫做模，也称向量的长度，用双竖线来表示。
向量的方向由箭头的指向决定，在数轴上，可以用一个角度来表示。
对于两个向量，我们可以进行加法运算，得到一个新的向量，称为它们的和向量。
同时，向量的减法也可以转化为加法运算。
即 a-b=a+（-b）。
向量的一些重要性质如下：1.同向反向：若两个向量的方向相同，则它们互为同向向量；若两个向量的方向相反，则它们互为反向向量。
2.共线平行：若两个非零向量的方向相同或相反，则它们互为共线向量；若两个向量的方向不同，则它们互为不共线向量。
如果两个向量的方向相同，且它们的长度比例相同，则它们互为平行向量。
3.零向量：长度为零的向量，叫做零向量或零向量。
二、向量的数量积数量积是向量中的一个重要概念，它由两个向量的模相乘，并乘以它们的夹角余弦值。
即A·B=|A||B|cosθ，其中A和B是两个向量，|A|和|B|是它们的模，θ是它们的夹角。
向量的数量积有以下性质：1.交换律：A·B=B·A2.分配律：A·（B+C）=A·B+A·C3.结合律：k（A·B）=（kA）·B=A·（kB），其中k是一个常数。
4.若θ为90°，则A·B=05.若A·B=0，则我们称向量A和B是正交的，也称A与B互相垂直。
三、向量的向量积向量积是向量中的另一个重要概念，它由两个向量的模相乘，并乘以它们的夹角正弦值。
向量积通常用符号A×B来表示。
向量积有以下性质：1.叉乘是一个向量，它的方向垂直于所乘向量的两个向量。
新高考向量知识点总结归纳
新高考向量知识点总结归纳向量是数学中的一种重要概念，它在几何、物理等众多领域中都有广泛应用。
在新高考数学考试中，向量也是一个重要的考点。
本文将对新高考向量知识点进行总结归纳，帮助大家更好地理解和掌握相关概念。
一、向量的基本概念向量是有大小和方向的量，它可以用箭头表示。
向量的大小称为模，用 |a| 或 ||a|| 表示，向量的方向可以用角度表示。
向量最常见的表示方法是用坐标表示，一个 n 维向量可以表示为一个 n 元组。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即 a + b = b + a 和 (a + b) + c = a +(b + c)。
向量的加法可以用几何法和分量法进行。
2. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，记作 a·b。
两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦的乘积，即a·b = |a||b|cosθ。
其中，θ 是 a 和 b 的夹角。
3. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积或外积，记作 a×b。
两个向量的向量积可以用坐标表示，其结果是一个新的向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。
三、向量的性质和定理1. 向量的模与方向向量的模不为零时，其方向是唯一确定的。
2. 向量的共线性和共面性若存在一个实数 k，使得 b = ka，则 a 和 b 共线；若存在一个实数m，使得 c = ma + nb，则 a、b、c 共面。
3. 平行向量的性质平行向量具有以下性质：（1）平行向量的数量积等于两个向量的模的乘积；（2）平行向量的向量积等于零向量。
4. 垂直向量的性质垂直向量具有以下性质：（1）垂直向量的数量积等于零；（2）若 a 和 b 是垂直向量，则它们的和也是垂直向量。
4. 向量共线和垂直判定的方法判定向量共线的方法有向量长、向量模长比较法等；判定向量垂直的方法有向量点积法和向量坐标法等。
四、向量的应用向量在几何和物理中有广泛的应用，具体包括以下方面：1. 平面几何中的向量向量可以用来表示平面上的方向、长度、位置等概念，应用于平面几何的定位、判定等问题。
高中数学中的向量概念详解
高中数学中的向量概念详解向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
了解向量的概念，不仅有助于我们理解数学知识体系，也能帮助我们解决实际问题。
本文将详细介绍高中数学中的向量概念，包括向量的定义、表示、运算以及向量的性质等内容。
首先，我们来看一下向量的定义。
在高中数学中，向量通常用有向线段来表示。
有向线段具有方向和长度两个要素，其中方向表示向量的方向，长度表示向量的大小。
我们可以用一个有序对来表示一个向量，比如(a, b)，其中a是向量的横坐标，b是向量的纵坐标。
在向量的表示方面，有三种常见的方法：初等向量表示法、分量表示法和单位向量表示法。
初等向量表示法是将向量的起点放在坐标原点，终点放在对应的点上，用有向线段表示。
分量表示法是将向量的横纵坐标表示出来，比如(a, b)。
而单位向量表示法则是将向量的长度表示为1，这样可以简化向量的运算。
单位向量表示法中，我们通常用字母i和j来表示单位向量，其中i表示向量在x轴上的单位向量，j表示向量在y轴上的单位向量。
在向量的运算方面，有加法和数乘两种。
向量的加法是指两个向量相加得到第三个向量的运算。
向量的加法满足交换律、结合律和对称律，即向量的加法不受加法成分的顺序影响。
数乘是指一个标量与一个向量相乘的运算。
数乘的结果是一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正数）或相反（若标量为负数），长度为原向量长度与标量的乘积。
除此之外，向量还有一些重要的性质。
首先是向量的共线性与平行性。
若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；若两个向量的方向平行，但长度不相等，则它们是平行的。
其次是向量的模长。
向量的模长等于向量的长度，用两点之间的距离来计算。
模长为0的向量称为零向量。
最后是向量的夹角。
两个向量的夹角可以通过向量的点乘来计算。
若两个向量的夹角为0度，则它们是共线的；若两个向量的夹角为90度，则它们是垂直的。
在高中数学中，向量的应用非常广泛。
在几何中，向量用于计算线段的长度、判断线段的垂直性和平行性、计算面积和体积等。
《向量》全章知识点总结及典型例题
平面向量模块一、平面向量的基本概念要点一、向量的定义与表示1、向量的概念：既有 又有 的量。
2、向量的表示：向量一般用a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗……来表示，或用 的起点与终点的 表示，如：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ()()2211,,,y x B y x A ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= .几何表示法AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，a ⃗；坐标表示法a ⃗注意：不能说向量就是有向线段，为什么？3、向量的模：向量的 即向量的模（ ），记作|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，｜a ⃗｜即向量的大小，向量 比较大小，但向量的 可以比较大小．要点二、特殊向量1、零向量：长度为0的向量，记为0⃗⃗，其方向是 的。
注意：在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）2、单位向量：模为13、平行向量（共线向量）：方向 的 向量，称为平行向量，记作a ⃗∥b⃗⃗，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0⃗⃗)；④三点A B C 、、共线⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线. 4、相等向量： 且 的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为a ⃗=⃗⎧=21x x ),(y x yj xi a =+=5、相反向量：长度 方向 的向量叫做相反向量. a ⃗的相反向量记作−a ⃗。
模块二、向量的线性运算要点三、向量的加法1、定义：2、向量加法的几何法则： “三角形法则”与“平行四边形法则”：当两个向量的 时，用平行四边形法则；当两向量是 时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+L +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AR⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 3、向量加法的运算律：交换律和结合律。
高中数学 新高考 复习试卷讲义 第5章 §5.1 平面向量的概念及线性运算
§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小称为向量的．(2)零向量：长度为的向量，记作．(3)单位向量：长度等于长度的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量．(5)相等向量：长度相等且方向的向量．(6)相反向量：长度相等且方向的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝；结合律：(a＋b)＋c＝________减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝，当λ>0时，λa的方向λ(μa)＝；与a 的方向 ； 当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＝0时，λa ＝(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( ) 教材改编题1．(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC →3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.题型一 平面向量的基本概念例1 (1)(多选)下列说法中正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．任一向量与它的相反向量不相等C ．若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，与方向无关D ．若a 与b 是相反向量，则|a |＝|b |(2)(2023·福州模拟)如图，在正△ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量和FC →相等的是( )A.EF →B.FB →C.DF →D.ED →听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D ．两个终点相同的向量，一定是共线向量(2)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC →相等的向量为( )A.BA →B.CD →C.AD →D.OD → 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是________，最小值是________．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 向量的线性运算例3 (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →等于( ) A ．3m －2n B ．－2m ＋3n C ．3m ＋2nD ．2m ＋3n听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2023·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B.23 C.32D ．2听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是( )A.CH →＋ID →＝0 B.AB →∥FE → C.AF →＋FG →＝2HG →D.AF →＝AB →＋AJ →(2)P 是△ABC 所在平面上一点，满足P A →＋PB →＋PC →＝2AB →，△ABC 的面积是S 1，△P AB 的面积是S 2，则( ) A ．S 1＝4S 2 B ．S 1＝3S 2 C ．S 1＝2S 2D ．S 1＝S 2(3)在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP →＝2PC →，AP →＝λAB →＋μAC →，则2λ＋μ＝________. 题型三 共线定理及其应用例5 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．2(2)如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 满足AN →＝23AB →，AM 与CN 交于点D ，AD →＝λAM →，则λ等于( )A.23B.34C.45D.56。
高中数学向量基础及应用题库
高中数学向量基础及应用题库一、向量基础知识1. 向量的定义在数学中，我们可以用一个有方向和大小的箭头表示向量。
向量被定义为有序数对，例如(a,b)。
其中，a和b分别代表向量在水平方向和垂直方向上的分量。
2. 向量的表示向量可以用箭头AB表示，其中A和B分别代表向量的起点和终点。
向量也可以用坐标表示，例如向量AB可以表示为AB = (x2 - x1, y2 -y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别代表向量的起点和终点的坐标。
3. 向量的运算向量之间可以进行加法、减法和乘法运算。
- 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
如果有向量AB和向量CD，则它们的和为AB + CD。
- 向量的减法：向量的减法满足减去一个向量等于加上该向量的相反向量。
如果有向量AB和向量CD，则它们的差为AB - CD。
- 向量的乘法：向量的乘法有数量积和向量积两种。
4. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，记作AB·CD。
对于向量AB和CD，它们的数量积可以表示为AB·CD = |AB| |CD| cosθ，其中|AB|和|CD|分别代表向量的模长，θ为AB和CD之间的夹角。
5. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，记作AB × CD。
对于向量AB和CD，它们的向量积可以表示为AB × CD = |AB| |CD| sinθ n，其中|AB|和|CD|分别代表向量的模长，θ为AB和CD之间的夹角，n为垂直于AB和CD所在平面的单位向量。
二、向量的应用题1. 平面向量运用（题目）2. 向量的共线与垂直（题目）3. 向量的夹角（题目）4. 向量的投影（题目）5. 向量的模长（题目）6. 向量的数量积（题目）7. 向量的向量积（题目）8. 平面向量的定理（题目）9. 平面向量的解析几何（题目）10. 平面向量与三角形（题目）以上是一些高中数学向量基础及应用题的题目，通过解答这些题目，可以帮助你巩固和应用向量的基础知识，提高数学解题能力。
高中数学向量的性质及相关题目解析
高中数学向量的性质及相关题目解析一、引言在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中扮演着重要的角色。
本文将从向量的定义和性质入手，结合具体的题目进行解析，帮助高中学生更好地理解和应用向量的知识。
二、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是由大小和方向共同决定的量。
通常用有向线段来表示，具有起点和终点。
2. 向量的表示方法：向量通常用字母加上一个箭头来表示，如AB→表示由点A指向点B的向量。
3. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后将它们的终点相连，所得的向量即为它们的和。
4. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示为A·B，它的结果是一个实数。
数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B的夹角。
5. 向量的性质：a. 向量的模：向量的模表示向量的长度，用|A|表示。
向量A的模等于从A的起点到终点的距离。
b. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的模为0，方向可以是任意的。
c. 单位向量：单位向量的模为1，可以通过将向量除以它的模得到单位向量。
d. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
e. 垂直向量：如果两个向量的夹角为90°，则它们是垂直向量。
f. 共线向量：如果两个向量的起点和终点在同一直线上，则它们是共线向量。
三、向量题目解析1. 题目：已知向量A = (3, 4)，B = (-2, 1)，求A + B的模。
解析：根据向量的加法规则，A + B = (3 + (-2), 4 + 1) = (1, 5)。
所以A + B的模为|(1, 5)| = √(1^2 + 5^2) = √26。
2. 题目：已知向量A = (2, -3)，B = (4, 1)，求A·B的值。
解析：根据向量的数量积公式，A·B = 2×4 + (-3)×1 = 8 - 3 = 5。
新高考高一向量所有知识点
新高考高一向量所有知识点向量是高中数学中的重要概念之一，也是新高考高一数学的重要知识点之一。
本文将围绕新高考高一向量的所有知识点展开讲解，包括向量的定义、向量的表示方法、向量的运算、向量的模和方向角、向量的位置关系、向量的共线与共面、数量积和向量积等内容。
一、向量的定义向量是有大小和方向的量，可以用箭头表示，通常用字母加上一个小箭头来表示，比如向量a用符号a表示。
具体地，向量有始点和终点，起点和终点相同的向量称为零向量。
向量的大小称为向量的模。
二、向量的表示方法向量可以用坐标表示，也可以用两点之间的差表示。
例如，向量AB可以用坐标(aa−aa, aa−aa)表示，其中A和B分别为起点和终点的坐标。
三、向量的运算向量有加法和减法运算。
向量的加法运算满足交换律和结合律，即a+a=a+a、(a+a)+a=a+(a+a)。
向量的减法等于加上它的相反向量，即a−a=a+(-a)。
此外，可以通过数乘运算改变向量的大小和方向。
四、向量的模和方向角向量的模是向量的长度，可以通过勾股定理求得。
向量的方向角是向量与某个坐标轴之间的夹角，通常用角度或弧度表示。
五、向量的位置关系向量之间有重要的位置关系，主要包括平行、垂直和共线关系。
如果两个向量的方向相同或相反，它们是平行向量；如果两个向量的内积为零，它们是垂直向量；如果两个向量的倍数相等，它们是共线向量。
六、向量的共线与共面三个或三个以上的向量如果在同一直线上，它们是共线向量；如果在同一平面上，它们是共面向量。
共线与共面的判断可以通过向量的线性关系进行推导。
七、数量积和向量积数量积也称为点积，是一个标量，表示两个向量的乘积的值。
定义为两个向量的模相乘再乘以它们的夹角的余弦值，即a·a=|a|·|a|·cos a。
向量积也称为叉积，是一个向量，表示两个向量的乘积的向量。
它的大小等于两个向量模的乘积再乘以它们的夹角的正弦值，方向垂直于原来两个向量所在的平面。
高中数学知识点题库 032向量的概念
1．下列说法正确的是（）①零向量的长度为零，方向是任意的②若是单位向量，则③若非零向量是共线向量，则A，B，C，D四点共线（A）①（B）②（C）③（D）①和③答案：A解析：对于②方向可能不同对于③，向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上.题干评注：向量的概念问题评注：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．下列说法中错误的是（）（A）有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段（B）若向量不共线，则都是非零向量（C）长度相等但方向相反的两个向量不一定共线（D）方向相反的两个非零向量必不相等答案：C解析：长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念及向量的模的意义可判断A、B、D选项内容都是正确的.题干评注：向量的概念问题评注：既有大小又有方向的量叫做向量。
3．下列说法正确的是（）（A）两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同（B）向量与向量是同一向量（C）在平行四边形ABCD中，若，则表示同一向量（D）有向线段可以表示向量，因此向量就是有向线段，有向线段就是向量答案：A解析：运用数形结合，通过画出图形解决问题，同时要准确理解有向线段与向量的关系. 题干评注：向量的概念问题评注：既有大小又有方向的量叫做向量。
4．下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上.其中真命题的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3答案：A解析：由向量、向量的模、共线向量的含义知①中时间不是向量;②中模可为零;③中单位向量方向不同则不等；④中共线向量可以平行，不一定在同一直线上.故①②③④均不对. 题干评注：向量的概念问题评注：既有大小又有方向的量叫做向量。
5．如图所示，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量.答案：6解析：互不相等的非零向量为共6个.题干评注：向量的概念问题评注：既有大小又有方向的量叫做向量。
向量知识点试题及答案
向量是数学中一个重要的概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍向量的基本概念、向量的表示方法、向量的运算以及向量的应用。
一、向量的基本概念向量可以用来表示有大小和方向的量。
在几何上，向量通常用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量A用符号A→来表示。
二、向量的表示方法向量可以用不同的表示方法来描述。
其中，最常见的是使用坐标来表示向量。
在二维空间中，一个向量可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示向量在x轴上的大小，y表示向量在y轴上的大小。
在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序三元组(x, y, z)。
这种表示方法称为坐标表示法。
除了坐标表示法外，还可以使用向量的模和方向来表示向量。
向量的模表示向量的大小，向量的方向表示向量的方向。
例如，向量A的模为|A|，向量A的方向用角度或者方向余弦来表示。
三、向量的运算向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
向量加法的运算规则是将两个向量的对应分量相加，结果是一个新的向量。
向量减法的运算规则是将两个向量的对应分量相减，结果也是一个新的向量。
数量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以同一个标量，结果是一个新的向量。
此外，还有一种重要的向量运算叫做点积。
点积的运算规则是将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加，结果是一个标量。
点积可以帮助我们求解两个向量之间的夹角以及判断两个向量之间的关系。
四、向量的应用向量在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，向量可以表示力、速度、加速度等物理量，帮助我们研究物体的运动以及力的作用。
在工程学中，向量可以表示电流、电压、位移等，帮助我们分析电路和结构的性质。
在计算机科学中，向量可以表示图像、音频、文本等数据，帮助我们进行图像处理、音频识别和自然语言处理等任务。
除此之外，向量还可以用于解决几何问题。
例如，通过向量的点积可以求解两条直线的夹角，通过向量的叉积可以求解两条直线的交点等。
向量的基本概念与线性运算知识点+习题优秀版
向量的基本概念与线性运算知识点+习题优秀版知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.要点诠释：1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：；②结合律：要点诠释：1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．运算律设为实数结合律：；分配律：，3．共线向量基本定理非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.要点诠释：是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.例下列说法正确的个数是( )①向量，则直线直线②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量既是有向线段；④在平行四边形中，一定有.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C1.下面的几个命题：①若；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；③若满足且与同向，则；④由于方向不定，故不能与任何向量平行；⑤对于任意向量必有.其中正确命题的序号是：( )A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则A. B. C. D.3.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=( )A. B. C. D.是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A. B.C. D.5.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，已知，用表示=___________，___________.6在矩形ABCD中，3=AB，1=BC，则向量)(ACADAB++的长等于（）（A）2 （B）32（C）3 （D）4 7．下面给出四个命题：① 对于实数m 和向量a 、b 恒有：mb ma b a m -=-)( ② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有na ma a n m -=-)( ③ 若)(R m mb ma ∈=，则有b a = ④ 若)0,,(≠∈=a R n m na ma ，则n m =其中正确命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．若a 与b 的方向相反，且>a b ，则a+b 的方向与a 的方向 ；此时+a b -a b ．9．已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，AB =c ，则下列各式：①1122EF =-c b ；②12BE =+a b ；③1122CF =-+a b ；④AD BE CF ++=0 ．其中正确的等式的个数为10．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA OB OC ++=0，则O 是△ABC 的 。
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向量及相关概念
1．对于下列各种情况，向量量的终点的集合分别是什么图形？
（1）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；
（2）把平行于直线l的所单位向量的起点平移到直线l上的点P；
（3）把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P。
解：（1）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆。
是直线l上与点P的距离为1个单位长为半径的圆。
（2）是直线l上与点P的距离为1个单位长的两点。
（3）是直线l。
2．回答下列问题：
（1）平行向量是否一定方向相同？（2）共线向量是否一定相等？
（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量？
（4）相等的非零向量，若起点不同，而终点一定不同吗？
解：（1）平行向量方向不一定相同。
对平行向量，我们应该全面地认识：这“平行”包括非零向量与非零向量的“平行”；非零向量与零向量的“平行”；“零向量”与“零向量”的平行。
今后考虑平行向量问题时，要仔细审题，判断题中“平行”指哪一种情形。
非零向量间的平行，方向还有可能相反。
同时还应注意：零向量与任一向量平行。
（2）不一定，共线向量即平行向量，不一定相等。
（3）是。
方向相同，模相等即为相等向量。
（4）一定。
3．判断下列说法是否正确。
（1）a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
（2）a与b共线，b与c不共线，则a与c不共线；
解：（1）说法是错误的。
若b=0, a与c是非零向量，则结论不正确。
（2）说法是错误的。
若a=0，则a与c共线。
4．判断下列说法是否正确。
（1）向量a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使a=λb；
（2）向量a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=aλ；
（3）向量a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa且a=λb；
（4）向量a与b不共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa且a=λb.
解：只有（3）正确。
（1）中b=0时不正确；（2）中a=0时不正确；（4）中向量a与b不共线的充要条件是不存在一个实数λ，使得b=λa或a=λb.
5．已知A(-2, -3), B(2, 1), C(1, 4), D(-7, -4)，判断线段AB与线段CD是否共线。
解：错解：∵AB=(4, 4), CD=(-8, -8),∴CD=-2AB. ∴AB∥CD.∴线段AB与线段CD共线。
辨析：AB∥CD，则AB与CD共线，但线段AB与线段CD未必共线。
具体地说，在本题中若直线AB与直线CD有公共点，则线段AB与线段CD共线；若直线AB与直线CD无公共点，则线段AB与线段CD不共线，此题中，由于AC=(3, 7), AB=(4, 4), 故AB∥AC即直线AB与直线AC不平行，点C不
在直线AB上，同理点D不在直线AB上，所以直线AB与直线CD无公共点，线段AB与线段CD无公共点。
6．已知a=(2, 3), b=(1, 2)，若k a-b与a-k b平行，求实数k的值，并指出它们是同向还是反向？
解：∵a=(2, 3), b=(1, 2), ∴k a-b=(2k-1, 3k-2). a-k b=(2-k, 3-2k)，又k a-b与a-k b平行，∴(2k-1)(3-2k)-(3k-2)(2-k)=0，解得k=±1。
当k=1时，k a-b=a-k b，这两个向量方向相同；当k=-1时
k a -b =-(a -k b )，这两个向量方向相反。
7．△ABC 中，AB=5，AC=5，BC=6，内角平分线的交点为O ，若AO =λAB +μBC ，求实数λ与μ的和。
解：如图，AB=AC=5，由已知D 为BC 中点，由角平分线定理知
3
5==OD AO BD AB ，
∴
8
5=AD
AO ，于是AO =
8
5AD =
8
5
(AB +BD )=8
5(AB +
2
1BC )=8
5AB +16
5BC ,
∴λ=85, μ=16
5, ∴λ+μ=
8
5+16
5=
16
15。
8．已知AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高。
求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
证：分析：已知两条高必交于一点，只要证明这点在第三条高上即可。
设BE 、CF 交于点H ，并设AB =c, AC =b, AH =h, 则BH =h-c, CH =h-b, BC =b-c. ∵BH ⊥AC , CH ⊥AB ,∴(h-c)·b=0,(h-b)·c=0.∴(h-c)·b=(h-b)·c.化简得h·(b-c)=0， 即AH ⊥BC 。
∴AH 与AD 重合。
∴AD 、BE 、CF 相交于一点。
9．已知OA 、OB 不共线，且OP =x OA +y OB (x, y ∈R )，求证：当且仅当x+y=1时，点P 在直线AB 上。
解：（1）必要性：因为点P 在直线AB 上，∴AP =t AB . OP =OA +AP
=OA +t AB =OA =t(OB -OA )=OA +t OB -t OA =(1-t)OA +t OB 。
∴x=1-t, y=t, x+y=1成立。
（2）充分性：
∵OP =x OA +y OB ，且x+y=1，∴OP =(1-y) OA +y OB =OA +y(OB -OA ),OP -OA =y(OB -OA )，即AP =y AB 。
所以点P 在直线AB 上。
点评：此题的结论，我们也可以称：OP =(1-t) OA +t OB (t ∈R )或OP =x OA +y OB
(x+y=1)，为直线AB 的向量形式的方程。
还有另外一种形式为：αOP +βOA +γOB =0（α+β+γ=0）。
此结论解题时非常有用。
2002年高考第（10）小题运用此结论处理起来就很简捷。
10．试比较|a +b |与|a |+|b |的大小。
解：（1）当a 、b 中至少有一个为0，|a +b |=|a |+|b |。
（2）当a , b 为非零向量且同向时，|a +b |=|a |+|b |。
（3）当a , b 为非零向量且反向时，|a +b |=|a |-|b |(|a |>|b |)，|a +b |=|b |-|a |(|a |<|b |), |a +b |=0(|a |=|b |), ∴|a +b |<|a |+|b |。
（4）当a 、b 为非零向量且不共线时，由图1-5-9所示，可知：|a +b |<|a |+|b |。
综上可知，|a +b |≤|a |+|b |。
点评：类似地，对于向量a 、b ，我们可得到以下重要不等式：
||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |，其中等号当且仅当a 与b 平行（即共线）时成立。
11．某人骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a km/h 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和风向。
解：设a 表示此人以a km/h 的速度向东行驶的向量。
在无风时，此人感到的风速为-a 。
设实际风速
为v ，那么，此人所感到的风速向量为v-a.设AO =-a, OB =-2a.
由于AO +OP =AP ，从而AP =v-a （如图5-2-11所示），这就是感受到的由正北方向吹来的风。
其次，由于BO +OP =BP ，从而v-2a=BP ，于是，当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北
方向吹来的风就是BP 。
由题意，得∠PBO=45°，PA ⊥BO ，BA=AO ，从而△PBO 为等腰直角三角形，故PO=PB=
2a ，即|v|=
2a.
答：实际吹来的风是风速为2a 的西北风。
12．已知OA =a , OB =b ，且|a |=|b |=4，∠AOB=60°，求： ① |a +b |, |a -b | ② a +b 与a 的夹角；a -b 与a 的夹角。
解：以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB 。
∵|OA |=|OB |=4, ∠AOB=60°，∴平行四边形OABC
是菱形
① a +b =OA +OB =OC , ∴a -b =OA -OB =BA ,
∴|a +b |=|OC |=3442
32=⨯⨯, ∴|a -b |=|BA |=4。
②作图易知a +b 与a 的夹角为∠AOC ，a -b 与a 的夹角为∠AOB ，由已知条件及菱形的性质可知：a +b
与a 的夹角为30°，a -b 与a 的夹角为60°。
13. D 、E 是△ABC ，AB 、AC 边中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知,a BC =BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .
解：由三角形中位线定理，知BC DE 21//
=
.故,2
1BC DE =
即.21a 、DE =
BC
DB ED BN DB MD MN b a a b a DE BD CB CE 212
1,2
12
1+
+=
++=+-=++-=++=b a b a a -=
-+
-
=412141.。