最新211向量的实际背景与概念

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2.1平面向量的实际背景及基本概念[精选文档]

从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构
并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间
的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性
的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈
起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点
来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的
F E
例2：在4 5方格纸中有一个向量AB,以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？ (AB除外）
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
2024/3/30
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状：（1）AD = BC ；（2）A表示出来，并把向量的几何表示
用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了
利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了
数学．
2024/3/30
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄，身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力，质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
2024/3/30
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
a
b
O
A
C
c
B
思考：共线向量一定在一条直线上吗？
2024/3/30
巩固练习：判断下列结论是否正确。
(1)平行向量方向一定相同；
(×)
(2)不相等向量一定不平行；
(×)
(3)与零向量相等的向量是零向量；

高中数学必修四1：2.1.1 向量的物理背景与概念

V
他们都是有大小和方向的量叫向量
新课引入
现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念.
在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？力的大小和力的方向
探究点1
物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？
F G
探究点1
力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？
数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把只有大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？
探究点2
问题1：向量的概念是什么？举例说明。问题2：向量与数量的区别是什么？
第一章平面向量 § 2.1.1平面向量的实际背景及基本概念
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1、通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景. 2、掌握向量的基本概念，解决简单的向量问题．
新课引入
请问：猫以每秒5米的速度逃窜,猎狗以每秒8米的速度追,猎狗一定能追上猫吗？为什么？
新课引入
S F
课堂练习
把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么
这些向量的终点所构成的图形是（）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆
课堂练习
列举出生活中常见的向量和数量，并且进行比较？
归纳小结
1 向量的概念包含大小和方向两个要素，数量只有大小一个要素。 2 向量与起点、终点的位置没有关系，只与起点、终点的相对位置有关。
典例精讲：题型一：
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（） 2.所有单位向量的大小相等（）

人教A版(新教材)高中数学第二册：向量的实际背景与概念向量的几何表示相等向量与共线向量

解 (1)如图所示，作出A→B，B→C，C→D.
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以 AD＝BC＝400 km，所以|A→D|＝400 km.
【迁移】在例 3 的四边形 ABCD 中，是否一定有A→B＝D→C？解是，因为 AB 与 DC 平行且相等，A→B与D→C的方向也相同，所以A→B＝D→C. 规律方法平面向量在实际生活中的应用生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解.
(2)由题意知A→D＝B→C， ∴AD 綉 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C，则 B 地相对于 A 地的位置为“北偏东 60°，长度为 6 千米”.
一、素养落地 1.通过了解平面向量的实际背景及理解平面向量的意义，培养数学抽象素养.通过学
习相等向量的含义及平面向量的几何表示提升直观想象素养. 2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，
1.向量的定义及表示向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移 (1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)表示： ①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
②向量的表示：
|AB|
长度
→a ,→b ,→c
2.向量的有关概念相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
教材知识探究
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)? 问题猫能否追到老鼠？提示猫的速度再快也没用，因为方向错了. 老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量. 生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识.

211向量的概念1

变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向相反的向量？存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
与 a 长度相等,方向相反的向量
叫 a 的相反向量.记为 a
（a) a
a
a
例：D、E、F依次是等边△ABC的边AB、
BC、CA的中点，在以A、B、C、D、E、F
（3）模的概念：向量 AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量的模. 记作：| AB |
探究
问题1：
长度为0的向量应该叫做什么向量？如何表示？它是否有方向？答：应该叫做零向量。
表示为 2：长度等于1个单位长度的向量应该
叫做什么向量？答：应该叫做单位向量。
•问：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？
平行向量也叫共线向量
• 问题4
若两个向量相等，那么它们必须具备什么条件？
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
若向量 a 与 b 相等，记作：a ＝ b。规定:(1)零向量与零向量相等。
下图中的向量是否是相等向量?
Ｂ１
Ｂ3
Ａ１
Ｂ2
A1B1=A2B2=A3B3
Ａ3
Ａ2
• 说明：任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
说明：有向线段与向量的区别：有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
B
D
B
D
AC
有向线段AB、CD 是不同的。
A
C
向量 AB、CD 是同一个向量。
用②a、字b母、表c等示小法写：字母表示；或用表示有
向线段的起点和终点字母表示，如 AB . 思考：

人教版A版高中数学必修4：2.1.1 向量的物理背景与概念

故事一：猫与老鼠
在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？
故事二：南辕北辙
战国后期，魏国国力渐衰,可是魏王想出兵攻伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵。季梁为了打动魏王，来了个现身说法。季梁说：”今天我在来此的路上，遇见一个人坐车朝北而行，告诉臣说‘我想要去楚国。’臣说’楚国在南方，为什么要朝北走？’那人的回答是：
B
D
C
必做：习题2.1A组选做：B组
a
b
记作a b
共线向量
平行向量： a, b, c, d
a
c b 任意一组平行向量都可以平移
到同一直线上，所以平行向量也叫
共线向量
d
L1
1、向量与有向线段的区别？
2、所有单位向量起点放在同一点，终点构成什么图形？
3、平行向量是相等向量吗？相等向量是平行向量吗？
4、向量的平行是否具有传递性？即
A．质量 B．速度 C．位移 D．力
2．设O是正方形ABCD的中心，则向量 AO 、 OB 、 CO
是（）
A．平行向量
B．有相同终点的向量
C．相等的向量
D．模都相同的向量
、 OD
3．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一
定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；
⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是
．
4．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、 E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，
（1）与向量FE 共线的有
．
A
（2）与向量DF的模相等的有 ________________．

人教A版高中数学必修4《2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》_40

2.1.2向量的几何表示1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：用有向线段．(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？提示：长度相等且方向相同．2．归纳总结，核心必记(1)向量的概念数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)有向线段带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．(3)向量的表示方法①向量可以用有向线段表示．向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作| AB|.②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a，b，c，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD.(4)几种特殊的向量①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．思考题：(1)两个向量能比较大小吗？提示：不能．因为向量是具有方向的量．(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．[课前反思](1)向量的概念：；(2)有向线段：；(3)向量的表示方法：；(4)零向量：；(5)单位向量：；知识点：向量的有关概念练习1．(1)下列说法中正确的是()A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小[尝试解答](1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．类题·通法解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．练一练1．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使| AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[尝试解答](1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．②由于点B在点A正东方向处，且| AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．答案：(1)12类题·通法用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．练一练2．一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．(1)作出向量AB、BC、CD；(2)求汽车从A点到D点的位移大小|AD|.解：(1)向量AB、BC、CD如图所示．(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线．又| AB|＝|CD|，所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以|AD|＝|BC|＝200 km.1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题(1)向量有关概念的辨析，见讲1；(2)向量的表示，见讲2；(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3.3．本节课要注意两个区别(1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．②数量可以比较大小，向量不能比较大小．(2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．课下能力提升题组1向量的有关概念1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析：选C速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A，B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由题图可知三向量方向不同，但长度相等．3．下列命题：①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；②若向量AB是单位向量，则向量BA也是单位向量；③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为| AB|＝|BA|，所以当AB是单位向量时，BA也是单位向量，故②正确．因为向量AP是单位向量，故|AP|＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则因为|AP|＝1，所以向量AP是单位向量，故③正确．题组2向量的表示4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共() A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米解析：选B记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是()A．DA和BCB．DC和ABC．DC和BCD．DC和DA解析：选B DC和AB方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．6.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)| OA|＝3，点A在点O的正西方向；(2)| OB|＝32，点B在点O北偏西45°方向；(3)求出|AB|的值．。

211向量的概念-浙江省杭州市塘栖中学高中数学人教A版必修4课件(共22张PPT)

错
5. 若 a 0,则a＝0
错
6. 若 a b ,则a＝b或a＝－b 错
7. 若a // b,则 a ＝ b
错
8. 若a＝0,则-a＝0
对
11/27/2020
17
注意：
1.数量可以比较大小，而向量由模和方向两个因素决定，因此不能比较大小，只有它的模才能比较大小
2.向量相等与向量的位置无关，只取决于向量的模及方向 3.零向量是长度为0，方向任意的向量，它与任何向量平行(共线)
11/27/2020
6
向量的几何表示
对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示….数学中有许多量都可以用几何方式表示，如何用几何方式表示向量？
11/27/2020
7
向量的几何表示
向量的表示
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的长度（模），箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ。长度记为：│AB│
F
O
解：（1）与FE共线的向量有BC和OA
DO
（2）BC与FE长度相等且方向相同，故BC=FE；
A
（3）因为OA和BC方向相反，故 OA≠BC
11/27/2020
C B
14
例题讲解
下列向量的终点各构成什么图形？
圆
（1）把所有单位向量平移到同一起点。
（2）把平行于某一直线的所有单位向量
思考
平移到同一起点。
11/27/2020
1
课题引入
1.在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？

向量的概念与背景

向量被定义为具有大小和方向的几何对象，通常用箭头表示，箭头的长度代Байду номын сангаас大小，箭头的指向代表方向。
早期发展
向量概念在19世纪中叶开始受到关注，英国数学家哈密顿等人在研究力学和几何学的过程中，开始使用向量来表示速度、力等物理量。
向量在数学中的发展
代数运算
数学家们为向量引入了加法、数乘、向量的数量积、向量的外积等代数运算，使得向量成为了一个完整的数学体系。
|vec{B}| times sin theta$。叉乘的结果是一个向量，它具有一些重要的性质，如反交换
律和分配律。
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是一个标量。
详细描述
混合积的定义为三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和 $vec{C}$的混合积等于它们的模长之积乘以它们夹角的余弦值，即$vec{A} times vec{B} cdot vec{C} = |vec{A}| times |vec{B}| times |vec{C}| times sin theta$。混合积的结果是一个标量，它具有一些重要的性质，如分配律和反交换律。
控制系统分析
02
向量在工程学中可以用于分析控制系统的传递函数和稳定性，
优化控制系统设计。
信号处理
03
向量在工程学中可以用于信号处理，包括信号的合成与分解、
滤波和频谱分析等。
05
向量的历史与发展
向量概念的起源
起源背景
定义与表示
向量最初起源于物理学中的速度和力等物理量的表示，为了更方便地描述这些物理量，数学家们引入了向量概念。
力的作用
向量在物理学中可以表示力的作用，包括力的大小和方向。

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标1. 让学生理解平面向量的实际背景，了解向量在现实生活中的应用。

2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、相等向量、相反向量等。

3. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘等。

4. 培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。

二、教学内容1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、工程学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。

2. 向量的定义：介绍向量的概念，强调向量是有大小和方向的量。

3. 向量的表示方法：介绍向量的表示方法，包括箭头表示法、坐标表示法等。

4. 相等向量、相反向量：介绍相等向量和相反向量的概念，强调它们的性质和运算规律。

5. 向量的线性运算：介绍向量的加法、减法和数乘运算，包括运算规则、运算性质等。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念和运算规律。

2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式展示向量的实际背景和运算过程。

3. 采用小组讨论、合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

4. 结合例题讲解，让学生通过实践操作理解和掌握向量的运算方法和技巧。

四、教学评估1. 通过课堂提问、作业批改等方式及时了解学生的学习情况，发现问题并及时解决。

2. 设计一些实际问题，让学生运用所学的向量知识解决，评估学生对知识的掌握程度。

3. 组织课堂讨论，评估学生的参与程度和团队协作能力。

五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括向量的实际背景图片、向量运算的动画演示等。

2. 教材：提供相关章节的学习材料，供学生预习和复习使用。

3. 练习题库：提供丰富的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固所学知识。

4. 参考资料：提供一些相关的研究论文、书籍等，供有兴趣深入学习的学生参考。

六、教学安排1. 课时安排：本章节共需4课时，每课时45分钟。

2. 课堂活动安排：第一课时：向量的实际背景介绍，向量的定义和表示方法学习。

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但同向的可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小
作业：
P77，第1题；P78，第1题.
谢谢观赏！
结束语
谢谢大家聆听！！！
12
Hale Waihona Puke 211向量的实际背景与概念
学法
本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形事物区分平行向量、相等向量和共线向量等概念.
（三）练习
例1.下列各量中是向量的是( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量
例2.下列说法正确的是（） A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，