平面向量的实际背景及基本概念.(优质)
2.1平面向量的实际背景及基本概念[精选文档]
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从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构
并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间
的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性
的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈
起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点
来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的
F E
例2：在4 5方格纸中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？ (AB除外）
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
2024/3/30
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状： （1）AD = BC ； （2）A表示出来，并把向量的几何表示
用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了
利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了
数学．
2024/3/30
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄， 身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力， 质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
2024/3/30
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
a
b
O
A
C
c
B
思考：共线向量一定在一条直线上吗？
2024/3/30
巩固练习：判断下列结论是否正确。
(1)平行向量方向一定相同；
(×)
(2)不相等向量一定不平行；
(×)
(3)与零向量相等的向量是零向量；
平面向量的实际背景及基本概念 课件
● (2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．
● (3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量．
面标上箭头．
(4)有向线段的三个要素：__起__点____、___方__向___、__长__度____.知道了有向线段的 起点、方向、长度，它的__终__点____就唯一确定．
[知识点拨]有向线段与向量的区别和联系 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、
区别 方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有 向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有
● [思路分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例 对命题的影响．
[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3) 正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共 线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量A→B，C→D必 须在同一直线上．故填(3)．
● 3．有关概念
名称 零向量 单位向量
相等向量
平行 向量
定义
长度为__0___的向量叫做零向量
长度等于__1___个单位的向量，叫做单位向量 __长__度____相等且方向相同的向量叫做相等向量
说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条 ____a_＝__b_____ 来 表 示 ， 并 且 与 有 向 线 段 的 起 点 无 关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线 段表示同一个向量 方向有__向__线__段__或__相__同____的非零向量叫做平行向量 规定：零向量与任何向量都__平__行____ 说明：任一组平行向量都可以平移到同一__直__线____ 上，因此，平行向量也叫__有__线____向量
第二章 2.1平面向量的实际背景及基本概念
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一 向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 知识点二 向量的表示方法1.向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.2．向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用 a →， b →， c →)．3．向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误．理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段．知识点三 相等向量与共线向量1．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 2．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． (1)记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . (2)规定：零向量与任一向量平行．3．共线向量：由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？1．如果|AB →|>|CD →|，那么AB →>CD →.( )提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． 2．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b .( )提示 a 与b 都是单位向量，则|a |＝|b |＝1，但a 与b 方向可能不同． 3．若a ＝b ，且a 与b 的起点相同，则终点也相同．( )提示 若a ＝b ，则a 与b 的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同． 4．零向量的大小为0，没有方向．( )提示 任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．题型一 向量的概念例1 下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．零向量都是相等的D ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 考点 向量的概念.反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练1 下列说法中正确的是( ) A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小 考点 向量的概念 题点 向量的性质题型二 相等向量与共线向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出模与EF →的模相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量． 考点 相等向量与共线向量题点 几何图形中的相等向量与共线向量反思感悟 相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有几个？ 考点 相等向量与共线向量题点 几何图形中的相等向量与共线向量 题型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.考点 向量的表示方法 题点 向量的几何表示反思感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 考点 向量的表示方法特殊向量的作用典例 给出下列命题：①若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反； ②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ， 其中正确的是________．(填序号)考点 向量的概念 题点 向量[素养评析] (1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养．(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易出错．(3)零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立．1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( ) A ．单位圆 B ．一段弧 C ．线段D ．直线考点 向量的表示方法 题点 向量2．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 向量的概念 题点 向量的性质3．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的应用4.如图所示，设O 是正方形ABCD 的中心，则下列结论正确的有________．(填序号)①AO →＝OC →； ②AO →∥AC →； ③AB →与CD →共线； ④AO →＝BO →.考点 相等向量与共线向量题点 几何图形中的相等向量与共线向量5．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.考点 单位向量与零向量 题点 零向量的性质 答案 01．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位向量。
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
D.向量的模可以比较大小 √
类型二
相等向量与共线向量
③④⑤ 填序号) 例2 (1)下列说法正确的是________.( ①若a≠b，则a一定不与b共线； → → ②若AB＝DC，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； → → ③在平行四边形 ABCD 中，一定有AB＝DC； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
→ (1)与OA的模相等的向量有多少个？
解 → 与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)， 而每一条线段可
以有两个向量，所以这样的向量共有 23 个.
→ (2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
解
→ 存在.由正六边形的性质可知， BC∥AO∥EF， 所以与OA的长度相等、
终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量
也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
反思与感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向
量要特别注意方向问题.
跟踪训练1 下列说法中正确的是
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
行 向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因
此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共 线相混淆. 思考3 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 答案 不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量.
[思考辨析 判断正误] 1.向量就是有向线段.( × ) 提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 课件
栏目 导引
第二章 平面向量
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第二章 平面向量
超级记忆法
栏目 导引
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
第二章 平面向量
【解】 (1)如图所示． (2)由题意， 易知 A→B与C→D 方向相反 ，故 A→B 与C→D 共线即 AB∥CD. 又|A→B|＝|C→D|， ∴四边形 ABCD 为平行四边形． ∴|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
【名师点评】 用有向线段表示向量时，先确定起点，再 确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要 时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长 度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
第二章 平面向量
栏目 导引
超级记忆法-记忆规律
第二章 平面向量
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！
TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
栏目 导引
第二章 平面向量
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
平面向量的实际背景及基本概念
数乘向量
• 数乘向量：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模 等于该实数乘以原向量模，其方向与原向量方向相同或相 反（当实数为负时）。
03
平面向量的性质与运 算
向量的模
向量的模的性质
• 齐次性：对于任意实数λ和向量 a，有|λa|=|λ||a|。
向量的模定义：向量的大小或长 度称为向量的模。记作|a|，其中a 为向量。
速度与加速度的合成
总结词
平面向量在速度和加速度的计算中有着重要的应用， 通过速度和加速度的合成可以更好地分析物体的运动 状态。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的重 要物理量，可以用向量表示其大小和方向。通过将速 度和加速度进行合成，可以更好地分析物体的运动状 态，例如，在曲线运动中，可以将速度分解为多个分 量，然后分别对每个分量进行分析，以确定物体在曲 线上的位置、速度和加速度。此外，在航天工程中， 也需要利用平面向量来计算卫星轨道和航天器姿态等 参数。
VS
向量的积分
向量的积分可以表示向量在某个区间内的 累积效果，其计算方法与函数的积分类似 。
THANK YOU
05
平面向量的扩展与延 伸
向量的空间几何意义
向量的长度
表示向量的大小，可以通过模长来衡 量。
向量的夹角
表示两个向量之间的角度，可以通过 向量的点积来计算。
向量的平行
当两个向量共线时，它们是平行的。
向量的垂直
当两个向量正交时，它们是垂直的。
向量的函数表示
向量的线性函数
向量的线性函数是指与向量成正比的函数， 可以表示为y=mx+b的形式。
向量的二次函数
向量的二次函数是指与向量平方成正比的函数，可 以表示为y=mx²+bx+c的形式。
平面向量的实际背景及基本概念PPT优秀课件7
巩固与练习
例1 说说向量与数量的区别与联系。
重要的是向量不可以比较大小，而数量可以 比较大小；但是向量的模是非负数，所以能 比较大小
例3 请同学们思考“向量就是有向线段，有向线段就
A
D
F
B
C E
巩固与练习
解：(1) D E E F F C A F D A DB
FDCEEB
（2） DE=FC=AF FD=CE=EB （3） DE∥FC ∥AF ∥AC;
FD ∥CE ∥EB ∥CB
应用初步
例1 判断
(1)若 a 、b 都是单位相量，则 a = b .
(2)物理学中的作用力与反作用力是
(2)再从B地按南偏东30°的方向走2km到 达C地,
(3)再从C地按西南方向走 2 km到达D地,
问:D在A的什么方向,距离有多少?
小结（1）向量的定义； （2）向量的表示方法； （2）两个向量之间的关系。
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]
平面向量的实际背景及基本概念
教材分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。
因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。
之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分五大节。
第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。
教学目标：1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学过程：一、情景设置：如图，老鼠由a向西北逃窜，猫在b处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点o，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作| |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）b.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点d.有相同起点的两个非零向量不平行变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题2.1平面向量的实际背景及基本概念课前预习学案一、预习目标通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.二、预习内容（一）、情景设置：如图，老鼠由a向西北逃窜，猫在b处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？（二）、新课预习：1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1)数量与向量有何区别？2)如何表示向量？3)有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4)长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5)满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6)有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7)如果把一组平行向量的起点全部移到一点o，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、学习过程1、数量与向量的区别？-2.向量的表示方法？①②③④向量的大小――长度称为向量的模，记作。
2.1平面向量的实际背景与基本概念
五 课堂小结
（1）向量的定义——既有大小又有方向的量叫做向量； （2）向量的表示方法——
可以用有向线段表示；也可用字母表示；还可 用有向线段起点和终点字母表示 ； （3）两个向量之间的关系——相等向量,平行向量
向量可平移, 这是向量的本质特征.
注意对平行向量也叫做共线向量的理解
(有1)向.有线向段线uA段uBur（：起具点有为方A向，的终线点段为叫B）做. 有向线段. (2).有向线段三要素：起点，方向，长度.有向 线段被三要素唯一确定 (3).有向线段长度：|uAuBur |
4向量 AB 的大小，也就是向量AB 长度（或称模）， 记作：AB
向量和有向线段的联系和区别？
三 向量的相关定义(2)
(2)任何两个相等的非零向量，都可以用同
一条有向线段表示, 并且与有向线段的起点
无关. 向量可平移, 这是向量的本质特征.
5．平行向量也叫做共线向量．[注意与平
面几何中的平行的区别]
r
(1)
a r
rr
rr
(2)a b (3)a//b
a
例1是非判断题
r rrr r r （1）a b且c b,则a c
例3 某人从A点出发向西走了200m到达B
点 ， 然 后 改 变 方 向 向 西 偏 北 60 度 走 了
450m到达C点，最后又向东走了200m到达
D点.
uuur uuur uuur
(1)作出向量AB, BC,CD(用1cm表示100m)；
uuuv
(2)求|DA | .
练 习 2 飞 机 从 A 地 按 北 偏 西 15 度 的 方 向 飞 行 1400km到达B地，再从B地按南偏东75度的方向 飞行1400km到达C地，那么C地在A地什么方向？ C地距离A地多远？
数学：21平面向量的实际背景及基本概念一精选优秀ppt
A D
C
思索5：非零向量 A B 与 B A 称为相反向 量，普通地，如何定义相反向量？
长度相等且方向相反的向量叫做 相反向量.
思索6：假设非零向量 A B 与 C D 是相反 向量，经过平移使起点A与C重合，那么 终点B与D的位置关系如何？
A
B
D
C
探求〔二〕：平行向量与共线向量
思索1：假设两个向量所在的直线相互平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？
A
D
F
B
E
C
小结作业
1.相等向量与相反向量是并列概念，平 行向量与共线向量是同一概念，相等向 量〔相反向量〕与平行向量是包含概念.
2.恣意两个相等的非零向量，都可用同 一条有向线段表示，并且与有向线段的 起点无关.
3.向量的平行、共线与平面几何中线段 的平行、共线是不同的概念，平行向量 〔共线向量〕对应的有向线段既可以平 行也可以共线.
思索5：非零向量 与 称为相反向量，普通地，如何定义相反向量？
思索3：用有向线段表示非零向量A B
和 C D ，假设 AB CD，那么A、B、C、 D四点的位置关系有哪几种能够情形？
A C A
BC
D
D
B
思索4：对于非零向量 A B 和 C D ，假 设 AB CD，经过平移使起点A与C重合， 那么终点B与D的位置关系如何？
那么该四边形是梯形；
〔× 〕
〔4〕对于不同三点O、A、B，向量与一
定不共线.
〔×〕
例2 如图，设O为正六边形ABCDEF的 中心，分别写出与 O A 、O B 相等的向量.
B
A
O A C B D O E F
C
O
F
平面向量的实际背景及基本概念2012.5.5
（3）若AB CD,则四边形ABCD是平行四边形； r rr r r r
（4）若a b,b c,则a c; r rr r r r
(5)若a // c,b // c,则a // b
（1）错 （4）对
平行向量定义： 相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：
例3：在4 5达到方格中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 简述理由.
uuuv uuuv
①向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、D
四点必在一直线上；
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相
反的向量)不相等；
(×)
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
(×)
小结:
ห้องสมุดไป่ตู้向量
定义
几何表示法：有向线段 表示
符号表示法： a ，b AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念：
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 2.向量的模是一个正实数。（ ）
3.若|a|>|b| ，则a > b ( )
注:向量不能比较大小 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，
但是r 两个r 向量r 之间r 只有相等r 关系r ，没有大小之分，“对于向 量 a ，b ，a ＞ b ，或 a ＜ b ”这种说法是错误的.
2.1.1《平面向量的实际背景及基本概念》课件
AC 表示Ａ地至C地的
位移，且 AC 268km.
例题精析
例2 如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与向
量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
C
O
F
D
E
解：
B
OA CB DO
OB DC EO
C
OC AB ED FO
向量的特殊性!
rr rr
D.若a / /b,则a b.
rr r r
E.若a b,则 | a || b | .
r r rr
F.若a b,则a与b不是共线向量.
rr
rr
rr
G.a与b是共线,b与c是共线,则a与c是共线.
例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分 别用有向线段表示A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、 C两地的距离（精确到1km).
向量间 平行（共线）
的关系 相等
必做:
课本: 习题2.1 A组1, 5, 6 基础训练:2.1
选做:
在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,EF为过O点且
平行于AB的线段.
D
C
1.写出图中的各组共线向量;
E
2.写出图中的各组相等向量;
O
F
3.写出图中的各组同向向量.
A
B
A
B
平行向量与共线向量的关系
rrr a / /b/ /c
r
ra
B
br
C
O
A
c
rrr
平行向量就是共线向量，
a ,b,c 是共线向量
共线向量就是平行向量！
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C
.
o
l AB
OA = a OB = b
OC = c
平行向量又叫做共线向量
精品课件
1.若非零向量AB//CD ，那么 AB//CD吗？
2.若a //b ,则a与b的方向一定 相同或相反吗？
D
C
A
BA
B
D
C
精品课件
检测：每小题5分
1 若 |a|>|b| ,则 a >b （× ） 2、 相等向量一定是平行向量 （√ ） 3、 平行向量一定是相等向量 （× ）
张彩萍
盐池高级中学
精品课件
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向量的定义 实际上在生活中我们已经遇到过一种 只有大小的量，例如，一棵树、一本书、 一支笔、温度、路程、密度等，我们曾把 这种量称为数量.
现在像位移、力…….这些既有大小 又有方向的量数学中对它进行抽象得到 一种新的量
精品课件
向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量（物 理学中称为矢量）
CB、DO、FE
精品课件
1.判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由.
uuuv u u uv
①向量A B 与C D 是共线向量，则A、B、C、
D 四点必在一直线上；
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③任一向量与它的相反向量不相等；(×)
④共线的向量，若起点不同，则终点一定
不同。
(×)
精品课件
2.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
问题：1、如何直观（用几何方法） 表示数量？如实数？
2、向量既有大小，又有方向，又如 何直观表示？
由于实数与数轴上的点一一对应，所以 数量常常用数轴上的一个点表示，如3， 2，-1，…而且不同的点表示不同的数量。
精品课件
-1 0 1
23
问题：向量既有大小，又有方向， 又如何直观表示？
探究： 1、在物理中，用什么直观表示一个竖
直向下，大小为18N的力？ 2、什么是有向线段？如何画？如何表
示？
3、力是向量，向量精品课如件 何直观表示？
2、向量的几何表示 —— 有向线段 为什么有向线段可以用来表示向量呢？
由于有向线段使向量的“方向”得到了表示， 而向量的大小又如何表示呢？一个自然的想 法就是用有向线段的长度表示，这样我们就 可以用有向线段表示向量。
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
当b ≠ 0时成立。
精品课件
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念：
平行向量定义：
相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：
精品课件
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问题:向量既有“数”的特点,又有 “形”的特征,实数有相等,图形有 平行,那么,如何描述“向量的相等” 和“向量的平行”呢?
探究:1、什么是向量？
2、依据向量定义，要定义向量相等，应 从哪几个方面考察？
3、向量平行呢？ 精品课件
2.1.3 相等向量与共线向量
（2）相等向量：长度相等且方向相同的向 量叫做相等向量。
长度为0的向量叫做零向量，记作0。
长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。 2、向量的字母表示：（1）a , b , c , . . .
（2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母
表示，例如，AB，CD
精品课件
检测：每小题5分
1、温度含零上和零下温度，所以温 度是向量（判断题） 2、向量的模是一个正实数（判断题）
记作：a = b
1、任意两个相等非零向量，都可以用同一 条有向线段表示；
2、向量可以平行移动。规定： 0 = 0
b
a
.
o
精品课件
（１）平行向量：方向相同或相反的 非零向量叫做平行向量。
如： a b c
记作: a ∥b ∥c
规定：0与任一向量平行
精品课件
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到 直线l上的一点O ，这时它们是不是平行向 量？
只有大小，没有方向的量（年龄、身 高、长度等）叫做数量（物理学中称 为标量）
精品课件
2.1.1 向量的物理背景与概念
物理链接：
在质量、重力、路程、速度、加速 度、时间、功、面积、位移这些量中，哪 些是标量？哪些是矢量？ 标量有：质量有大小，又有方向的量. 数量：只有大小，精没品课有件 方向的量.
注:向量不能比较大小
精品课件
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心， 写出图中与向量OA相等的向量。
OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量
有多少个？精品课件
11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？
存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量
有哪些？
精品课件
有向线段的定义
有向线段：在线段AB的两个端点中，规定
一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说
线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有
向线段。
记为 AB. 线段AB的长度
也叫做有向线
段 记作： A B
AB
的长度，
有向线段三要素：起点、方向、长度.
精品课件
1、向量的几何表示：用有向线段表示。
向量AB的大小，也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB|。
（2）若|a|=0，则a = 0 （3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
|a|=|b| a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点， 则AB=DC是四边形ABCD是平形四边形
的充要条件
精品课件
其中正确的个数是
(A．0 B. )1
C. 2
D
C
C
D. 3
D
A
B
B
A