平面向量的实际背景及基本概念

2020/9/12
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思考：一条小船从A地出发，向西北方 向航行15km到达B地，可以用什么方式 表示小船的位移？
用有向线段 B 表示位移
北 东
A
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2. 向量的表示：
对于向量，我们常用有向线段来表示，线段按 一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大 小，箭头表示向量的方向，这是向量的几何表示.
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猫和老鼠
问题：一只老鼠和一只猫相距６米，老鼠以每秒４米 的速度逃窜,猫以每秒７米的速度追,猫在多少时间里 会追上老鼠？
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（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加 速度；（5）路程；（6）密度；（7）功； （8）面积；（9）重力.
在物理学中称（1） （5） （6） （7） （8）这样 的量为标量
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例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中 与向量OA、OB、OC相等的向量．
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？
11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？
存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
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CB、DO、FE
3、通过对向量与数量的识别能力的训练，培 养认识客观事物的数学本质的能力.
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一. 定义：
在数学中，我们将这种
既有大小，又有方向的量叫做向量.
只有大小，没有方向的量，例如，年龄、 身高、长度、面积、体积等，称为数量.
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二. 表示法:
１. 数量的表示：
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数 量常常用数轴上的一个点表示，如3，2， -1，…而且不同的点表示不同的数量.
1.相等向量：长度相等且方向相同的向
量,叫做相等向量.
B
A D
• 两个条件都要满足； C • 零向量与零向量相等； • 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有 向线段来表示，并且与有向线段的起点无关， 所以，向量也称为自由向量.
思考：两个单位向量一定相等吗？
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如图，Ｄ、E、F分别是△ABC各边上
B 字 母 表 示 为 :A B 或 者 a
注意：
A
印刷时用黑体a
a
书写时用a
思 考 ： A B 与 B A 是 同 一 个 向 量 吗 ， 为 什 么 ？
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思考：
注 意 ： 00
（1）如何定义向量的模，零向量，单位 向量？ （2）零向量，单位向量的长度确定吗， 方向呢？ （3）向量可以比较大小吗？向量的模可 以比较大小吗？
(2 “ )若 向 量 a//b , b//c ， 则 a//c ” 这 种 说 法 是 否 成 立 ？
(3)相等向量与平行向量之间有何联系？
相等向量
平行向量
(4)若用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同 的起点，那么它们的终点是否相同？
若用有向线段表示两个平行的向量，如果有相同的 起点，那么它们的终点是否相同？
注意：零向量是一个特殊的向量，它的方向 是任意的，题目当中容易设置陷阱！
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练习1 判断下列说法是否正确.
(1)所有单位向量的模相等； (2)若 |a| |b|, 则 ab; (3)由于海平面以上的高度（海拔）用正数表示， 海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是 向量.
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在物理学中称（2） （3） （4） （9）这样的量为 矢量
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学习目标
1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概 念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概 念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2、通过对向量的学习，初步认识现实生活中 的向量和数量的本质区别.
练习2 判断下列说法是否正确.
（1）两个向量相等，则一定共线. （ ） （2）两个向量共线，则一定相等 （ ） （3）两个向量共线，则这两个向量一定在同一条 直线上. （ ） （4）两个非零向量平行，则这两个向量所在直线 一定平行. （ ）
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当堂检测
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作业： 课本P77 习题2.1 2、3、5
三.向量的关系 仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定 问题1 两直线有平行关系，如何描述向量 的平行？对于零向量如何规定？
问题2 实数有相等关系，向量相等是如何 定义的？
思 考 ： “ 若 向 量 a b ,b c ， 则 a c ” 这 种 说 法 是 否 成 立 ？
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的中点，四边形BCMD是平行四边形.
A
D
F
M
B
E
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C
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2.共线向量
平行向量： a,b,c,d
a
任意一组平行向量都可以
b
平移到同一直线上，所以
c平行向量也叫共线向量
d
➢向量的平行与直线的平行既有 相同的地方，也有不同的地方.
l
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思考：
（ 1 ） 若 向 量 a 、 b 共 线 ， a 、 b 所 在 直 线 一 定 重 合 吗 ？