平面向量的实际背景及基本概念习题
高一数学平面向量的实际背景及其基本概念试题
高一数学平面向量的实际背景及其基本概念试题1.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形【答案】C【解析】∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵||＝||，∴四边形为菱形．2.已知圆心为O的⊙O上三点A、B、C，则向量、、是()A．有相同起点的相等向量B．长度为1的向量C．模相等的向量D．相等的向量【答案】C【解析】圆的半径r＝||＝||＝||不一定为1，故选C.3.四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是()A．||＝||B．与共线C．与共线D．与共线【答案】C【解析】∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线，又三点D、C、E共线，∴与共线，故A、B、D都正确．当ABCD与其它两个菱形不共面时，BD与EH异面．4.下列命题正确的是()A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量【答案】D【解析】当b＝0时，A不对；如图a＝，c＝，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，∴B错．在▱ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，∴a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确．5.下列说法正确的是()①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上②向量a与b平行，且|a|＝|b|≠0，则a＋b＝0或a－b＝0③向量的长度与向量的长度相等④单位向量都相等A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】D【解析】对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错．对于②，由于|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0.对于③，向量与向量方向相反，但长度相等．对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同．选D.6.给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；(8)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.其中正确命题的序号是________．【答案】(5)(6)【解析】(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；(2)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；(7)该命题不正确．因若b＝0，则对两不共线的向量a与c，也有a∥0,0∥c，但a∥\ c；(8)该命题不正确．如图所示，显然有≠，≠.7.已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.【解析】∵A、B、C不共线，∴与不共线，又∵m与、都共线，∴m＝0.8.如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与，相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)向量与是否相等？【答案】(1) ＝，＝；(2)与共线的向量为：，，；(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；(4)不相等【解析】(1) ＝，＝；(2)与共线的向量为：，，；(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；(4)不相等9.如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个；(2)与平行且模为的向量共有几个？(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？[分析]非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反．【答案】(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．(2)与向量平行且模为的向量共有24个．(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．【解析】(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．(2)与向量平行且模为的向量共有24个．(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．10.如图所示，已知▱ABCD，▱AOBE，▱ACFB，▱ACGD，▱ACDH，点O是▱ABCD的对角线交点，且＝a，＝b，＝c.(1)写出图中与a相等的向量；(2)写出图中与b相等的向量；(3)写出图中与c相等的向量．【答案】略【解析】(1)在▱OAEB中，＝＝a；在▱ABCD中，＝＝a，所以a＝＝.(2)在▱ABCD中，＝＝b；在▱AOBE中，＝＝b，所以b＝＝.(3)在▱ABCD中，＝＝c；在▱ACGD中，＝＝c，所以c＝＝。
必修四 2.1平面向量的实际背景及基本概念
必修四 2.1平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1、下列说法正确的是()A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量2、下列各命题中，正确的命题为()A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b3、命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立4、下列说法正确的有()①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个B．3个C．4个D．5个5、下列条件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b|B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝06、下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7、如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．8、下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.9、在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．10、给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)三、解答题11、如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．12、如图，已知＝＝.求证：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)＝，＝.13、如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．(1)写出与共线的向量；(2)写出与的模大小相等的向量；(3)写出与相等的向量．14、在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？以下是答案一、选择题1、C[向量∥包含所在的直线平行于所在的直线和所在的直线与所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A、B、D均错．]2、B[由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B.]3、C[当b＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]4、A[②与⑤正确，其余都是错误的．]5、D6、D二、填空题7、，，解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点，∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为，，.8、单位圆 相距为2的两个点 一条直线9、菱形解析 ∵＝，∴AB 綊DC∴四边形ABCD 是平行四边形，∵||＝||，∴四边形ABCD 是菱形．10、①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．三、解答题11、解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有，，，.(3)与a 共线的向量有，，，，，，，，.(4)与a 相等的向量有，，；与b 相等的向量有，，；与c 相等的向量有，，.12、证明 (1)∵＝，∴||＝||，且∥.又∵A 不在上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴||＝||.同理||＝||，||＝||.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴∥，且||＝||.∴＝.同理可证＝.13、解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与共线的向量有：，，，，，，.(2)与模相等的向量有：，，，，.(3)与相等的向量有：与.14、解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．。
2-1 平面向量的实际背景及基本概念
能 力 提 升一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等 [答案] D2．下列说法中，不正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 [答案] D[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝bB ．它们方向相同或相反C ．所在直线平行或重合D ．都与零向量共线[答案] A4．数轴上点A 、B 分别对应－1、2，则向量AB →的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3[答案] D5．(2011～2012·临沂高一检测)以下说法错误的是( ) A ．零向量与任一非零向量平行 B ．零向量与单位向量的模不相等 C ．平行向量方向相同 D ．平行向量一定是共线向量 [答案] C6．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB →与CD →平行，则A 、B 、C 、D 四点共线 [答案] C 二、填空题7．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →中，相等的有________对．[答案] 2[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不等．8．(海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于____________．[答案] 3π[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.9．(江苏泰州高一期末)设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确表示的序号为____________．[答案] ①②③[解析] 根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有④是错误的，AO →与BO →只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．三、解答题10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．[分析] 用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度． [解析] (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a 平行，且长度相等，如图所示．(2)满足条件的向量c 可以是图中的CD →.所有这样的向量c 的终点的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆，如图．11．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km.又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km.12．如图所示，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.[解析] ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD . ∴四边形ABCD 是平行四边形．∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证：四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|，DN ∥MB ，即DN →与MB →的模相等且方向相同．∴DN →＝MB →.。
平面向量的实际背景及基本概念专题训练
平面向量的实际背景及基本概念专题训练一、选择题1.在下列判断中,正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；①零向量的方向都是相同的；①单位向量的长度都相等；①单位向量都是同方向；①任意向量与零向量都共线．A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①2.下列说法正确的是( )A.若|a |＞|b |,则a ＞bB.若|a |＝|b |,则a ＝bC.若a ＝b,则a ①bD.若a ≠b,则a 、b 不是共线向量3.下列说法正确的是( )A.有向线段AB →与BA →表示同一向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.对任一向量a,a |a |是一个单位向量 4.下列说法正确的是( )A.若a 与b 平行,b 与c 平行,则a 与c 一定平行B.终点相同的两个向量不共线C.若|a |>|b |,则a >bD.单位向量的长度为15.下列命题正确的是( )A.若|a |＝|b |,则a ＝bB.若a ≠b ,则a ≠ bC.若|a |＝|b |,则a 与b 可能共线D.若a ≠ b ,则a 一定不与b 共线6.下列结论中,不正确的是( )A.向量AB →,CD →共线与向量AB →①CD →意义是相同的B.若AB →＝CD →,则AB →①CD →C.若向量a,b 满足|a |＝|b |,则a ＝bD.若向量AB →＝CD →,则向量BA →＝DC →7.若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →,则四边形ABCD 的形状为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形8.如图,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ①AB,则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →9.给出下列四个命题①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同； ①若a ＝b,b ＝c,则a ＝c ；①设a 0是单位向量,若a ①a 0,且|a |＝1,则a ＝a 0； ①a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ①b . 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410.已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等且方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )A.A C ⊆B.}{B A =IC.B C ⊆D.}{B A ⊇I二、填空题11.设a 0，b 0分别是a ,b 的单位向量,则下列结论中正确的是________(填序号). ①a 0＝b 0; ①a 0＝－b 0; ①|a 0|＋|b 0|＝2;①a 0①b 0.12.如果在一个边长为5的正①ABC 中,一个向量所对应的有向线段为(其中D 在边BC 上运动),则向量长度的最小值为________．13.已知A ，B ，C 是不共线的三点,向量m 与向量AB →是平行向量,与BC →是共线向量,则m ＝________.14.给出下列四个条件:(1)a ＝b ；(2)|a |＝|b |；(3)a 与b 方向相反；(4)|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ①b 成立的条件是________．三、解答题15.O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED,OCFB 都是正方形,在如图2－1－4所示的向量中:图2－1－4 (1)分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2)找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？16.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km 到达丙地,最后从丙地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达丁地,那么丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远？平面向量的实际背景及基本概念专题训练答案与解析一、选择题1.在下列判断中,正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；①零向量的方向都是相同的；①单位向量的长度都相等；①单位向量都是同方向；①任意向量与零向量都共线．A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①解析:由零向量与单位向量的概念知①①①正确．答案：D2.下列说法正确的是( )A.若|a |＞|b |,则a ＞bB.若|a |＝|b |,则a ＝bC.若a ＝b,则a ①bD.若a ≠b,则a 、b 不是共线向量解析:向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件；a 、b 同向且|a |＝|b |，所以B 不正确；C 正确；a 、b 是共线向量只需方向相同或相反，D 不正确．答案：C3.下列说法正确的是( )A.有向线段AB →与BA →表示同一向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.对任一向量a,a |a |是一个单位向量 解析:向量AB →与BA →方向相反,不是同一向量;有公共终点的向量的方向不一定相同或相反;当a ＝0时,a |a |无意义,故A 、B 、D 错误.零向量与任何向量都是平行向量,C 正确．答案：C4.下列说法正确的是( )A.若a 与b 平行,b 与c 平行,则a 与c 一定平行B.终点相同的两个向量不共线C.若|a |>|b |,则a >bD.单位向量的长度为1解析:A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．答案: D5.下列命题正确的是( )A.若|a |＝|b |,则a ＝bB.若a ≠b ,则a ≠ bC.若|a |＝|b |,则a 与b 可能共线D.若a ≠ b ,则a 一定不与b 共线解析:因为向量既有大小又有方向,只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等,因此A 错误.两个向量不相等,但它们的模可以相等,故B 错误.不论两个向量的模是否相等,这两个向量都可能共线,C 正确,两个方向相同但模不相等的向量,故D 错误．答案:C6.下列结论中,不正确的是( )A.向量AB →,CD →共线与向量AB →①CD →意义是相同的B.若AB →＝CD →,则AB →①CD →C.若向量a,b 满足|a |＝|b |,则a ＝bD.若向量AB →＝CD →,则向量BA →＝DC →解析:平行向量又叫共线向量.相等向量一定是平行向量,但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C 错误．答案:C7.若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →,则四边形ABCD 的形状为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析:由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →|知四边形ABCD 为菱形．故选C ．答案:C8.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ①AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析:由平面几何知识知,AD →与BC →方向不同,故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同,故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反,故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同,所以EP →＝PF →.答案:D9.给出下列四个命题①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同； ①若a ＝b,b ＝c,则a ＝c ；①设a 0是单位向量,若a ①a 0,且|a |＝1,则a ＝a 0； ①a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ①b .其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:①不正确.两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点． ①正确.根据向量相等的定义判定．①不正确．a 与a 0均是单位向量，a ＝a 0或a ＝－a 0.①不正确．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向． 答案:C10.已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等且方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )A.A C ⊆B.}{B A =IC.B C ⊆D.}{B A ⊇I解析:①A ∩B 中还包含与a 方向相反的向量,故B 错．答案:B二、填空题11.设a 0，b 0分别是a ,b 的单位向量,则下列结论中正确的是________(填序号).①a 0＝b 0;①a 0＝－b 0; ①|a 0|＋|b 0|＝2;①a 0①b 0.解析:因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2. 答案:①12.如果在一个边长为5的正①ABC 中，一个向量所对应的有向线段为(其中D 在边BC 上运动)，则向量长度的最小值为________．解析:结合图形进行判断求解(图略)，根据题意,在正①ABC 中,有向线段AD 长度最小时,AD 应与边BC 垂直,有向线段AD 长度的最小值为正①ABC 的高,为532. 答案:53213.已知A ，B ，C 是不共线的三点,向量m 与向量AB →是平行向量,与BC →是共线向量,则m ＝________.解析:因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线，又因为m ①AB →且m ①BC →，所以m ＝0. 答案:014.给出下列四个条件：(1)a ＝b ；(2)|a |＝|b |；(3)a 与b 方向相反；(4)|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ①b 成立的条件是________．解析:若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ①b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ①b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ①b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ①b . 答案：(1)(3)(4)三、解答题15.O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图2－1－4所示的向量中：图2－1－4 (1)分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2)找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？解:(1)AO →＝BF →，BO →＝AE →. (2)与AO →共线的向量有：BF →，CO →,DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →,DE →. (4)向量AO →与CO →不相等,因为它们的方向不相同.16.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km 到达丙地,最后从丙地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达丁地,那么丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远？解:如图,A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,依题意可知,①ABC 为等边三角形,所以AC ＝2000 km.因为①ACD ＝45°,CD ＝1000 2 km,所以①ACD 为直角三角形.所以AD ＝1 000 2 km,①CAD ＝45°.所以丁地在甲地的东南方向,丁地距甲地1000 2 km.。
[推荐学习]高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念成长训练
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念主动成长夯基达标1.下列关于向量的说法中正确的是（）A.长度相等的两向量必相等B.两向量相等，其长度不一定相等C.向量的大小与有向线段起点无关D.向量的大小与有向线段起点有关解析:长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错.答案:C2.在下列命题中，正确的是（）A.若|a|＞|b|,则a＞bB.若|a|=|b|,则a=bC.若a=b,则a与b共线D.若a≠b，则a一定不与b共线解析:因为向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此，A不正确.两个向量的模相等，但方向却不一定相同，因此B不正确.相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此C正确.对于选项D，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故D不正确.答案:C3.关于向量的说法有以下几个：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中，说法错误的个数是（）A.2B.3C.4D.5解析:①说法正确；②不正确,若a、b中有一个为零向量时，其方向不确定;③正确；④不正确，终点相同并不能说明两向量的方向相同或相反；⑤不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；⑥不正确，向量可以用有向线段来表示，但向量并不是有向线段.答案:C4.已知下列三个位移：飞机向南飞行50 km；飞机向西飞行50 km；飞机向东飞行50 km.下列判断中正确的是（）A.这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等B.这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等C.这三个位移不相等，且这三个位移的长度也不相等D.以上都不正确解析:由于位移是向量，题中所给的三个位移方向均不相同，但其大小是相同的.答案:B5.四边形ABCD中，=2，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形解析:∵AB=2DC，∴AB∥DC且|AB|=2|DC|.故四边形为梯形.答案:C6.如图2-1-7所示，C、D是线段AB的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有个.（）图2-1-7A.3B.6C.8D.12解析:1个单位长度的向量有，，，，DB，BD6个.2个单位长度的向量有AD，DA，CB，BC4个.3个单位长度的向量有,2个.因此，共6+4+2=12个，但其中==，==，=，=，因此互不相等的向量最多只有6个.答案:B7.如图2-1-8，在菱形ABCD中，可以用同一条有向线段的向量是（）图2-1-8A.与B.与C.与D.与解析:本题即判断选项中的两个向量是否相等.由相等向量的概念知，只要两向量的大小、方向都相同，即可说明两向量相等.A中的与BC大小虽相同，但方向不一致，故A错.B 中的与大小、方向都相同，故是相等向量.C中的与向量方向不相同，D 中的与方向也不相同，故D、C皆错.答案:B8.设O为△ABC的外心，则、、是（）A.相等向量B.平行向量C.模相等的向量D.起点相同的向量解析:△ABC的外心，即△ABC的外接圆的圆心，它到A、B、C三点的距离相等，即有||=||=||.答案:C9.给出以下4个条件：①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反；④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b 成立的条件是______________.解析:|a |=|b |并不能一定推出a ∥b .其余选项均可以.答案:①③④10.⊙O 的周长是2π，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上一点,∠BAC=6 ，CD⊥AB 于D ，这时||=______________.解析:△ABC 为直角三角形,且∠BAC=30°，∠ACB=90°,AB =2.∴BC=1， AC=3.∴CD=23，即||=23. 答案:23 11.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1 0002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？解析:如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC=2 000 km.又∵∠ACD=45°，CD=21000，∴△ACD 为直角三角形，即AD =21000km,∠CAD=45°. 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地21000km.12.一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1 m,逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1 m ，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1 m ，按此方向继续操作下去.（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零？（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个.解析:（1）如图，操作8次赛车的位移为零；（2）要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按（1）的方式作图，则所作图形是内角为180°-α的正多边形，故有n(180°-α)=(n-2)180°.∴n=α︒360,n为不小于3的整数.如α=30°,则n=12,即操作12次可回到起点.又如α=15°,则n=24,即操作24次可回到起点.走近高考13.(2005北京宣武模拟)若命题甲：“=”，命题乙：“ABCD是平行四边形”.则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由=得线段AB、DC长度相等且平行或共线，所以ABCD不一定是平行四边形；由ABCD是平行四边形得AB DC,所以AB=.答案:B14.(2004天津统考题)给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|=|b|,则a=b;③若=,则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有=；⑤若m=n,n=k,则m=k;⑥若a∥b,b∥c,则a∥c.其中不正确的命题的个数为（）A.2B.3C.4D.5解析:两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确.③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上.零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b=0,则a与c就不一定平行了.因此⑥也不正确.答案:C。
平面向量的实际背景及基本概念课时练习
平面向量的实际背景及基本概念课时练姓名：1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在下列命题中，正确的是( )A ．若|a |>|b |，则a >bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a 与b 共线D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．设a ，b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. a ＝bB ．若a ∥b ，则a ＝bC. a ＝b 或a ＝－bD ．若a ＝c ，b ＝c ，则a ＝b4．设M 是等边△ABC 的中心，则AM →、MB →、MC →是( )A ．有相同起点的向量B ．相等的向量C ．模相等的向量D ．平行向量5．如右图，在四边形ABCD 中，其中AB →＝DC →，则相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB → 6．如下图，ABCD 为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数是________．7．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________．8．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a与b 都是单位向量，其中能使a ∥b 成立的是________．9．如下图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：(1)与向量HG →相等的向量；(2)与向量HG →平行的向量；(3)与向量HG →模相等的向量；(4)与向量HG →模相等、方向相反的向量．10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北45°走了200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课后习题 新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.如图所示,A,B,C是☉O上的点,则向量是()A.有相同起点的向量B.方向相同的向量C.模相等的向量D.相等的向量解析:因为这三个向量的起点不同,方向也不同,但长度都等于圆的半径.所以A,B,D不正确,C正确.答案:C2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与相等的向量是()A.B.C.D.解析:由相等向量的定义知,,故选D.答案:D3.命题“若a∥b,b∥c,则a∥c”()A.恒成立B.当a≠0时成立C.当b≠0时成立D.当c≠0时成立解析:当b=0时,a,c为任意向量都满足a∥b,b∥c,故a与c不一定平行.答案:C4.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,与向量平行且模相等的向量有()A.B.C.D.解析:与平行包含两个方面:方向相同或相反,故选D.答案:D5.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.解析:由已知不共线,所以当m∥,m∥时,m=0.答案:06.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0,其中能使a∥b成立的条件是.(填序号)解析:②中,由|a|=|b|不能确定a与b的方向,所以不能使a∥b.答案:①③④7.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD与BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点为起点和终点的所有向量中,与向量方向相反的向量为.解析:由已知得AB∥EF∥CD,所以与向量方向相反的向量有.答案:8.设数轴上有四个点A,B,C,D,其中A,C对应的实数分别是1和-3,且为单位向量,则点B对应的实数为;点D对应的实数为;||=.解析:由相等向量的定义知,点B对应的实数为-7;又||=1,所以点D对应的实数为-4或-2;||=||=4.答案:-7-4或-2 49.如图,某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈,他可按图中提供的向量行走,则将这些向量按顺序排列为.解析:注意到从A点出发,这些向量的顺序是a,e,d,c,b.答案:a,e,d,c,b10.如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与方向相同且模为3的向量共有几个?解:(1)与相等的向量共有5个(不包括本身),如图.(2)与方向相同且模为3的向量共有2个,如图.11.如图所示,在△ABC中,三边长均不相等,E,F,D分别是边AC,AB和BC的中点.(1)写出与共线的向量;(2)写出与模相等的向量;(3)写出与相等的向量.解:(1)∵E,F分别是边AC,AB的中点,∴EF∥BC,从而与共线的向量有:.(2)∵E,F,D分别是边AC,AB和BC的中点,∴EF=BC,BD=DC=BC.又AB,BC,AC均不相等,∴与的模相等的向量有:.(3)与相等的向量有两个,它们是.。
高中数学：21平面向量的实际背景及基本概念 同步练习
2.1平面向量的实际背景及基本概念 1．若向量a 与b 不相等，则a 与b （ ）
（A ）不共线 （B ）长度不相等 （C ）不可能都是单位向量（D ）不可能都是零向量
2．下列结论中，正确的是（ ）
（A ）零向量只有大小没有方向 （B ）若a 、b 都是单位向量，则a =b
（C ）对于任一向量a ，0|| a 总是成立的 （D ）||AB =||BA
3．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC ；
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
4．已知A 、B 、C 是同一直线上的三点，若向量 AB 、满足 ||AB ||AC ， 则 。
5．已知边长为a 的等边三角形ABC 中，H 为边AB 的中点，则 || 。
6．一个人从A 出发，向东走500米到达B ，接着向北偏东60°走300米到达点C ，然后再向北偏东45°走100米到达点D ，试选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移。
7.如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，写出图中
与DE 、EF 、FD 相等的向量。
8．如图，四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形，
（1）求与向量相等的向量；
（2）若 ||3，求向量的模。
A F
C B E
D A
D C
E B。
专题07 平面向量的实际背景及基本概念(基础练)-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练
一．选择题1．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量【答案】 【解析】,a b 若都是零向量，则a b =；∴a 与b 一定不都是零向量．故选D ．2．下列命题中正确的是A ．共线向量都相等B ．单位向量都相等C ．平行向量不一定是共线向量D ．模为0的向量与任意一个向量平行【答案】D【解析】对于A ，共线向量不一定相等，A 错误；对于B ，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B 错误；对于C ，平行向量一定是共线向量，C 错误；对于D ，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D 正确． 故选D ．3．下列命题正确的是A ．单位向量都相等B ．模为0的向量与任意向量共线C ．平行向量不一定是共线向量专题07 平面向量的实际背景及基本概念第二章 平面向量D ．任一向量与它的相反向量不相等【答案】B【解析】在A 中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A 错误； 在B 中，零向量与任意向量共线，故B 正确；在C 中，平行向量一定是共线向量，故C 错误；在D 中，零向量与它的相反向量相等，故D 错误．故选B ．4．下列命题中，正确的个数是①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对于①，单位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，0b =时，//a b ，//b c ，则a 与c 不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选A ．5．有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB 与CD 是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ③若||||a b =，则a b =或a b =-；④若0a b =，则0a =或0b =；其中正确结论的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于②，向量AB 与CD 是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上， 如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误；对于③，当||||a b =时，a b =或a b =-不一定成立，如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误；对于④，当0a b =时，0a =或0b =或a b ⊥，原命题错误；综上，正确的命题是①，共1个．故选D ．6．下列命题中正确的是A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a b =D ．两个相等向量的模相等【答案】D 【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 不正确， 模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B 不正确，两个单位向量模长相等，故C 不正确，向量相等则模长相等，故D 正确，故选D ．7．以下说法正确的是A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =【答案】C【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，零向量是没有方向的向量，B错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；若a，b都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；故选C．8．下列说法中错误的是A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线C．零向量的长度为0D．方向相反的两个非零向量必不相等【答案】B【解析】对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，A正确；对于B，方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；对于C，零向量的模长为0，C正确；对于D，根据向量相等的定义知，方向相反的两个非零向量一定不相等，D正确．故选B．二．填空题9．下列关于向量的说法中不正确的个数有个①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB DC．【答案】4【解析】①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；不正确，例如直线//AB CD．②单位向量都相等；不正确，单位向量的方向不一定相同，所以不正确；③任一向量与它的相反向量不相等；例如零向量．不正确；④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB DC =．并且A 、B 、C 、D 不在一条直线上．所以④不正确； 故答案为：4．10．给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a b =；②若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；③若两向量有相同的基线，则两向量相等；④若//a b ，//b c ，则//a c其中错误说法的序号是 ．【答案】①②③④【解析】共线向量模长不一定相等，故①错误；向量不能比较大小，故②错误；向量的基线相等，但长度不一定相等，故③错误；若0b =，则对任何向量,a c 都有//a b ，//b c ，但,a c 不一定共线，故④错误． 故答案为：①②③④．11．下列说法中正确的是 （填序号）①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若||||a b >，则a b >；④长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量．【答案】④【解析】温度的零上和零下表示温度的大小，温度没有方向，所以温度不是向量； 零向量的模为0，不是正实数；向量含有方向，不能比较大小；若长度相等，方向相同，则向量相等．故只有④正确．故答案为④．。
周练(四)平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的线性运算
(时间： 80 分钟 满分： 100 分 )
一、选择题 (每小题 5 分，共 40 分 )
1．下列说法错误的是 ( )．
→→ A．向量 AB与BA的长度相等
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于 0
D．零向量没有方向
a)．
→→ 14．在四边形 ABCD 中，AB＝DC，N，M 是 AD，BC 上的点， 且 DN＝MB.求证：
→→ CN＝MA.
→→ 证明 ∵ AB＝DC，
→→ ∴ |AB|＝|DC|且 AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴ CB＝DA，
∵ DN＝ MB，∠ D＝∠ B.
∴△ ADN≌△ CBM，∴ CM＝NA，
→
→
→→
|AB|
|AC|
|AB| |AC|
→→
→
AB AC
的方向为∠ BAC 的角平分线 AD的方向．又 λ∈ [0，＋∞ )，∴ λ → ＋ → 的
|AB| |AC|
→→
→→
→→
方向与
AB ＋ AC 的方向相同
→→ .OP＝ OA＋λ
AB ＋ AC
→→
→→
→ .AP＝λ
AB →
＋
AC →
.∴
|AB| |AC|
解析 零向量的方向是任意的，不能理解为没有方向．
答案 D
2．将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点
所构成的图形是 ( )．
A．一个点
B.两个点
C．一个圆
D.一条线段
解析 在该直线上与起点的距离为 1 的两个点．
高中数学 2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题1 新人教A版必修4
2.1平面向量的实际背景及基本概念1．下列说法中正确的个数是( )①身高是一个向量．②∠AOB的两条边都是向量．③温度含零上和零下温度，所以温度是向量．④物理学中的加速度是向量．A．0 B．1C．2 D．3解析：身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量，故选B.答案：B2．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立解析：对于此命题，只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c⇒a∥c，故选C.答案：C3．以下说法错误的是( )A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量解析：平行向量方向相同或相反．答案：C4．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是______．(填序号) 解析：对①，a＝b⇒a∥b；对②，|a|＝|b|，不一定有两向量共线；对③，若a与b 方向相反，则有a∥b；对④，若|a|＝0或|b|＝0，则有a∥b；对⑤，两单位向量不一定共线．综上可知①③④正确．答案：①③④5．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为______．解析：∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC .∴四边形ABCD 是平行四边形．又|AB →|＝|AD →|，即AB ＝AD ，∴该四边形是菱形．答案：菱形6．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________． (2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________． 解析：结合图形可知： (1)|CH →|＝|AE →|＝10.(2)DG →与HF →共线，|DG →|＝22，|HF →|＝32，故|DG →|＋|HF →|＝5 2. 答案：(1)CH →，AE →10 (2)DG →，HF →5 27.如图所示，在梯形ABCD 中，若E 、F 分别为腰AB 、DC 的三等分点，且|AD →|＝2，|BC →|＝5，求|EF →|.解：如图，过D 作DH ∥AB ，分别交EF 、BC 于点G 、H ， ∵|AD →|＝2，∴|EG →|＝|BH →|＝2. 又|BC →|＝5，∴|HC →|＝3.又E 、F 分别为腰AB 、DC 的三等分点， ∴G 为DH 的三等分点． ∴GF →∥HC →且|GF →|＝13|HC →|.∴|GF →|＝1.∴|EF →|＝|EG →|＋|GF →|＝2＋1＝3.8．在平面内已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆D ．不能确定解析：由于|OA →|＝2，所以A 点构成一个以O 为圆心，半径为2的圆． 答案：C9．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线， ∴AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， ∴m ＝0. 答案：010．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标． (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°； (2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°； (3)|a |＝42，a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°. 解：如图所示：11.已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，H 、G 分别是AD 、DC 的中点．求证：EF →＝HG →.证明：在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ∥AC ，EF ＝12AC ；同理，HG ∥AC ，HG ＝12AC .所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，故EF →＝HG →.12.如图所示，平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}．试求集合T 中元素的个数．解：由题可知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →，BA →，BC →，BD →，BO →，CA →，CB →，CD →，CO →，DA →，DB →，DC →，DO →，OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.又集合元素具有互异性，故集合T 中的元素共有12个．平面向量是既有大小又有方向的一种量，因此，在学习时要注意思维方式的改变，既要考虑数量的大小，又要考虑方向的影响．1．本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量和相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵．2．关注几个特殊向量(1)零向量：模为零的向量称为零向量，规定零向量与任一向量平行． (2)单位向量：模为1的向量，两个单位向量不一定相等． (3)相等向量：模相等，方向相同的向量．(4)共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．。
高中数学第5周平面向量的实际背景及基本概念平面向量的线性运算每周一练4试题
卜人入州八九几市潮王学校第5周平面向量的实际背景及根本概念、平面向量的线性运算本卷考试内容：平面向量的实际背景及根本概念、平面向量的线性运算 高频考点打破 1．向量及其概念向量是既有大小又有方向的量，记作AB ，向量的大小也叫是向量的模记作||AB ，向量的模是非负实数，可以比较大小，而向量不能比较大小 2．两个特殊的向量零向量0是模为0的向量，它的方向是任意的，一般规定所以的零向量均相等；而单位向量e 是模为一个单位的向量，单位向量方向不确定。
注意0与实数0是不同的，单位向量e 与实数1是不同的。
3．向量间的关系(1)一共线〔平行〕向量：//a b ⇔a 与b 方向一样或者相反，注意0//a 。
(2)相等向量：||||a b a b =⇔=且方向一样，(3)相等向量一定一共线，但一共线向量不一定相等；平行向量与一共线向量是一回事，没有区别。
表示平行〔或者一共线〕向量的有向线段可以在一条直线上，也可以平行；而直线平行与一共线是不同的，两条直线平行就一定不一共线。
4．向量的线性运算(1)向量的线性运算包加法、减法与数乘三种运算，它们运算的结果仍然是向量。
向量的加法与实数的加法类似，满足交换律、结合律与分配律；(2)向量加法遵循平行四边形法那么或者三角形法那么，同时多边形法那么也成立，即112231n n n OA A A A A A A OA -++++=(3)向量的减法：AB OB OA =-，注意顺序不要错EFD CBA 5．一共线问题〔1〕证明向量//a b ：//a b a b λ=⇒〔2〕证明点一共线：//AB BC AB BC λ=⇒⇒A 、B 、C 三点一共线自我才能检测A ．根底训练〔40分钟，60分〕 一．选择题1．以下说法错误的选项是〔〕解析：此题考察零向量、单位向量、平行向量及一共线向量等平面向量的概念方向一样或者相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任意向量平行，平行向量也一共线向量，因此C 是错误的，选C.2.〔2021·高一下期中〕如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心， 那么以下判断错误的选项是〔〕A ．AB OC =B ．AB ∥DEC ．AD BE =D ．AD FC =解析：此题考察一共线向量、相等向量及向量的模 由于OABC 是平行四边形，所以AB OC =；线段//AB 线段DE ，所以AB ∥DE ；AD 与BE的模都等于正六边形外接圆的直径，所以AD BE=；AD 与FC 模相等，但是方向不同，所以AD FC ≠，选D.3.〔2021卷文〕如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，那么〔〕A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-=D ．0BD BE FC--=E DBAO解析:本考察向量的三角形法那么、一共线向量及零向量,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==得0AD BE CF ++=，应选A.或者0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=.4．〔2021·一中高一下期中〕〕①0AB BA +=；②00AB =；③AB AC BC -=；④00AB =.A 、1B 、2C 、3D 、4 解析：①②正确，③④错误，所以选B5．〔2021·一年高一期中〕D 是ABC ∆的边AB 上的中点，那么向量CD =〔〕A ．12BC BA -+B ．12BC BA --C ．12BC BA -D ．12BC BA +解析：此题考察平面向量的线性运算、三角形法那么等12CD CB BD BC BA =+=-+，选B6．〔2021·执信高一期中〕O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且02=++OC OB OA ，那么 (A)= (B)=2(C)=3(D)2=解析：此题考察平面向量的加法、数乘及减法运算等2OB OC OD +=，2()0OA OD ∴+=，即AO OD =，选A7．设四边形ABCD 中，有12DC AB =，且||||AD BC =，那么这个四边形是〔〕 A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析：此题考察平面向量的数乘运算及向量一共线判别法由12DC AB =，得线段DC 与AB 平行且不相等，又||||AD BC =，所以四边形ABCD是等腰梯形，选C. 8．ABC ∆三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，假设PA PB PC AB ++=，那么〔〕A.P 在ABC ∆内部B.P 在ABC ∆外部C.P 在AB 边所在直线上D.P 在线段AC 上 解：此题考察平面向量的线性运算及一共线向量.那么PA PB PC AB ++=，得PA PC AB PB +=-，PA PC AP +=，2PC AP =，所以P 在线段AC 上，选D 二．填空题9．假设2AC BC =-，且2AC CB =，那么32AB AC =解析：此题考察向量的加法、向量的数乘、一共线向量、零向量等由2AC BC =-可知，点C 在线段AB 上且2ACCB=得，所以向量AB 与AC 反向，且3||||2AB AC =，因此32AB BC =，填3210．O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，假设OA a =，OB b =，用a 与b 表示向量OC ，那么OC =解析：此题考察向量的加法、减法及数乘运算20AC CB +=，2()0OC OA OB OC -+-=，所以2OC a b =-11．向量a ，b 不一共线，且k +a b 与k +a b 一共线，那么实数k =.解析：此题考察向量一共线的的判别方法 由()k k k +λ+=λ+λa b =a b a b ，∴()(1)0k k -λ+-λ=a b由a ，b 不一共线，得k -λ=0，且10k -λ=，解得1k =±，填1±12.直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，且OA OB OA OB +=-,其中O 为原点，那么实数a 的值是解析:此题考察平面向量的的概念、平行四边形法那么得AB··以OA 、OB 为邻边作□AOBC ，那么OC AB=，∴四边形AOBC 为矩形，又OA OB=，∴四边形AOBC 为正方形，于是得直线x y a +=经过点(0,2)或者(0,2)-,∴2a=或者2-.填2或者2-三．解答题13．化简：〔1〕NQ QP MN MP ++-〔2〕111(2)(32)()342a b a b a b +++-- 解析：此题考察向量的线性运算及其运算律〔1〕原式0NP PN =+=〔2〕原式111111(3)(22)342342a b =+⨯-+⨯+⨯+72123a b =+14．如图的方格纸由假设干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A 、 B. 点C 为小正方形的顶点，且5AC =.(1)画出所有的向量AC ； (2)求BC的最大值与最小值.解析：此题考察平面向量的根本概念及向量的几何表示(1)画出所有的向量AC 如下列图； (2)由(1)所画的图知，①当点C在于点C 1或者C 2时，BC获得最小值=②当点C 在于点C 5或者C 6时，BC获得最大值=∴BC的最大值为C 15.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O E，是线段OD 的中点，AE的延长线与CD 交于点F．假设AC a=，BD b=，用a与b表示AF解析：此题考察向量的加法与减法、平行四边形法那么及三角形法那么DEF AOB∆∆∽，13DF DEAB EB∴==，即13DF AB=从而111121()()226633AF AD DF a b a b a b=+=++-=+16．1e，2e是两个不一共线的向量，〔1〕假设1228AB e e=-，123CB e e=+，122CD e e=-，求证：A、B、D三点一共线；〔2〕假设12ke e+与124e ke+一共线，务实数k 的值．解析：此题考察向量的线性运算、向量一共线的判别法及运用向量证明点一共线的方法〔1〕123CB e e=+，122CD e e=-，又1212282(4)AB e e e e=-=-，2AB BD∴=，//AB BD∴又AB与BD有一样公交点，A∴、B、D三点一共线〔2〕12ke e+与124e ke+一共线，∴存在Rλ∈，使1212(4)ke e e keλ+=+即12(4)(1)0k e k eλλ-+-=1e，2e是两个不一共线的向量，4010kkλλ-=⎧∴⎨-=⎩解得122kλ⎧=⎪⎨⎪=⎩或者122kλ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩从而2k =±B ．才能提升 一．选择题1．平面内不一共线的四点O,A,B,C,满足2133OB OA OC =+，那么:AB BC =〔〕 A.1:2B.2:1C.1:3D.3:1解析：此题考察平面向量的加法、减法及数乘运算1()3AB OB OA OC OA =-=-，2()3BC OC OB OC OA =-=-，所以:1:2AB BC =，选Ａ2．ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=，假设存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，那么实数mA ．2B ．3C ．4D ．5解析：题考察平面向量的线性运算及三角形法那么由题目条件可知，M 为ABC ∆的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，那么23AM AD=①AD为ABC∆的中线，2AB AC AD mAM+==，2AD mAM =②，联立①②可得3m =，应选B3．〔2021·一中高三次月考〕a ，b 是不一共线的向量，假设1AB a b λ=+，212,AC a b R λλλ=+∈（），假设A 、B 、C 三点一共线那么有〔〕A ．121λλ==-B ．121λλ==C ．1210λλ⋅+=D ．1210λλ-=解析：此题考察向量一共线的条件 假设A 、B 、C 三点一共线，那么,AC AB 一共线，所以存在实数λ使得AC AB λ=，即21()a b a b λλλ+=+，12(1)(1)0a b λλλ-+-=，由于,a b 不一共线，11λλ=且2λλ=，消掉λ得121λλ=．选D二．填空题4．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或者AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，那么λμ+=_________。
高中数学-平面向量的实际背景及基本概念练习
高中数学-平面向量的实际背景及基本概念练习1．判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.①若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上;②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④若四边形ABCD是平行四边形，则，反之，也成立;⑤模为0的向量方向不确定;⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.2．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：（1）分别写出与相等的向量；（2）写出与共线的向量；（3）写出与模相等的向量；（4）向量与是否相等？3．如图所示,在四边形ABCD中,,N,M分别是AD,BC上的点,且.求证:.4．如图所示，已知4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个?（2）与方向相同且模为3√2的向量共有几个?5．已知在四边形ABCD中,∥,求与分别满足什么条件时,四边形ABCD满足下列情况.（1）四边形ABCD是等腰梯形;（2）四边形ABCD是平行四边形.6．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=√5.（1）画出所有的向量;（2）求||的最大值与最小值.7．如图,已知四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,且.求证:CN MA.1．【解析】①不正确,共线向量即平行向量,只要求两个向量方向相同或相反,并不要求两个向量,在同一条直线上.②不正确,单位向量的模均相等,且为1,但方向并不一定相同.③不正确,零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④不正确,因为若,则A,B,C,D四点可能共线,所以不能构成平行四边形.⑤正确,符合零向量的定义.⑥不正确,与共线,起点不同,但终点却相同.2．【解析】（1），=； （2）与共线的向量为：； （3）与模相等的向量有：、、、、； （4）向量与不相等.因为它们的方向不相同.3．【解析】∵,∴||=||且AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形,∴||=||且DA ∥CB .同理可证:四边形CNAM 是平行四边形,∴.∵||=||,||=||,∴||=||,即与的模相等,又与的方向相同,∴.4．【解析】（1）与向量相等的向量共有5个（不包括本身）.如图.（2）与向量方向相同且模为的向量共有2个，如图. AB u u u r AB u u urAB u u ur5．【解析】（1）||=||,且与不平行.∵∥,∴四边形ABCD为梯形或平行四边形.若四边形ABCD为等腰梯形,则||=||,同时两向量不共线.（2）∥.若∥,即四边形的两组对边分别平行,此时四边形ABCD为平行四边形. 6．【解析】（1）画出所有的向量如图所示.（2）由（1）所画的图知,①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值√12+22=√5;②当点C位于点C5和C6时,||取得最大值√42+52=√41,∴||的最大值为√41,最小值为√5.7．【解析】由可知AB=DC且AB∥DC, 所以四边形ABCD为平行四边形,从而.又M,N分别是BC,AD的中点,于是,所以AN=MC且AN∥MC,所以四边形AMCN是平行四边形,从而CN=MA且CN∥MA,即CN MA.。
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念练习含解析新人教A版必修
2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1. 下列说法中错误的是( )A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度为0C. 零向量与任一向量平D. 零向量的方向是任意的【答案】 A【解析】本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的，故错误；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A 是错误的.2. 下列各量中不是向量的是( )A.浮力B.风速C.位移D.密度【答案】D【解析】 密度只有大小没有方向.3. 如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量 OA 外，与向量OA 共线的向量共有( )A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】 本题主要考查向量的表示 与向量OA 共线的向量有,,,,,,,,AO OD DO AD DA EF FE BC CB 共9个，故选D.4. 设12,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A. 12e e =B.12e e ＞C.12e e =-D.12e e ＝【答案】 D【解析】 由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.5. 下列命题正确的是( )A.a 与b,b 与ｃ共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【答案】 C【解析】题主要考查向量的概念，由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与ｂ不都是非零向量，即a 与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与ｂ共线，不符合已知条件，所以有a 与ｂ都是非零向量，所以应选C.6. 某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为，那么x 的值为( )【答案】 B【解析】本题主要考查向量的概念，依题意，由勾股定理可得(2223,x x +=∴= B.二、填空题7.有下面命题;①平行向量的方向一定相同；②共线向量一定是相等向量；③相等向量一定是共线向量，不相等向量一定不共线；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑤相等向量、若起点不同，则终点一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；其中正确命题的序号是_____.【答案】⑤④【解析】主要考查向量的概念①错，两向量方向相同或相反都是共线向量；②③⑥均错，共线向量也叫平行向量，对向量的长度没有要求，共线向量不一定是相等，相等向量一定共线，不相等向量可以是共线向量，如两个向量的共线，但是可以不相等的向量.8.某A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________.【答案】西北方向【解析】由题根据A,B,C 三地的位置关系结合勾股定理不难得到BC =结合方位角不难得到C 地相对于B 地的位移是西北方向 .9.在四边形ABCD 中, DC AB =,则这个四边形的形状是 .【答案】平行四边形【解析】由DC AB =,可得DC 与AB 平行且相等，所以四边形ABCD 是平行四边形10.如图所示,O 是正三角形ABC 的中心;四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形,则与向量AD 相等的向量有 ;与向量OA 共线的向量有 ;与向量OA 的模相等的向量有 .(填图中所画出的向量)【答案】OC |,DC EB |,,,,OB OC DC EB AD【解析】∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与AD 相等的向量有OC ;与OA 共线的向量有,DC EB ；与OA 的模相等的向量有,,,,OB OC DC EB AD .三、解答题11、 已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O,A,B,C,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:(1)与BC 相等的向量; (2)与OB 长度相等的向量; (3)与DA 共线的向量.【答案】(1) AD (2),,,,,,BO OC CO OA AO OD DO (3),,AD BC CB【解析】(1) 画出图形,如图所示.易知BC ∥AD,BC=AD,所以与BC 相等的向量为AD(2)由（1）图像得：O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与OB 长度相等的向量为,,,,,,BO OC CO OA AO OD DO .(3)由（1）图像得：与DA 共线的向量为,,AD BC CB精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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平面向量的实际背景及基本概念练习题
、选择题:
1.下列物理量中，不能称为向量的是（ ）
A .质量 2 .设O 是正方形 A .平行向量
3. A . 4 •在下列说法中，正确的是（ ）
A .两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同
B •模为0的向量与任一非零向量平行 彳 c .向量就是有向线段
D •若4，则a b
5•下列各说法中，其中错误的个数为（ ）
（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方 向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量； （4）共线向量是可以移动到同 一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行
A . 2个
B . 3个
C . 4个
D . 5个 *6. ABC 中，D 、
E 、
F 分别为 BC > CA 、AB 的中点，在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与 EF 共线的向量有（
）
A . 2个
B . 3个
C . 6个
D . 7个
二、填空题：
7.在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4） 相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是 共线向量中，说法错误的是 _____________________________ .
E 、
F 、O 为端点的向量中:
（1） 与a 相等的向量有
（2） 与b 相等的向量有
B .有相同终点的向量
C .相等向量
D .力
）
D .模相等的向量
&如图，0是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形 OAED 、OCFB 是正方形，在图中所 示的向量中,
（1 ）与A0相等的向量有 ___________________ ； （2） 与呂共线的向量有 ____________________ ； （3） 与"Ag 模相等的向量有 _____________________ ； （4）
向量A0与CO 是否相等？答： ________________________ 9 . 0是正六边形 ABCDEF 的中心，且 70
,OB b , AB c ,
在以A 、
B .速度 ABCD 的中心，向量
B . |a| |b
F 列命题中, |a| |b|
C
A
B
（3）与c 相等的向量有 ______________________ .
10. ______________________ 下列说法中正确是 .（写序号） （i ）若a 与b 是平行向量，则?与b 方向相同或相反; （2 ）若A
B 与CD 共线，则点A 、B 、
C 、
D 共线；
（3） 四边形ABCD 为平行四边形，则 A
B = CD ；
（4） 若 a b ，b c ，则 a c ；； （5） 四边形ABCD 中，A B DC 且|
|，则四边形 ABCD 为正方形；
（6） a 与b 方向相同且| a| |b|与a b 是一致的； 三、解答题：
11.
如图，以1 >3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中， 有多少种大小不同
的模？有多少种不同的方向？
12. 在如图所示的向量 a 、b 、c 、d 、e 中（小正方形边长为 等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出.
13. 某人从A 点出发向西走了 200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北 60走了 450m 到达C
点，最后又改变方向向东走了 200m 到达D 点.
（1 ）作出向量 A
B 、B
C 、C
D （1cm 表示 200m ）； （2 ）求DA 的模.
14. 如图，中国象棋的半个棋盘上有一只 马”，开始下棋时它位于 A 点，这只 马”第一步 有几种可能的走法？试在图中画出来； 若它位于图中的P 点，则这只 马”第一步有几种可能 的走法？它能否走若干步从 A 点走到与它相邻的 B 点处？
1）是否存在共线向量？相
/
/
/
§2.2. 1向量加减运算一、选择题：
1.化简 . A. M?
2 .设oA a P N M N所得的结果是
(
B■巴|
'D .為—
| |b| 6 , AOB 120，则|a b| 等于(
A.
3.
A. 3, b为非零向量，且
a与b方向相同B .
1
r
a
■
a
B
4.在平行四边形ABCD中，若
C. 6 i石|右,则
( IB
C T B
I BCC
弍
D.
D. a与b方向相反
|，则必有( )
A . ABCD 为菱形
B . ABCD
5.已知正方形ABCD边长为1, ABCD为
b , AC
方形
，则|a
D.以上皆错
b c|等于(
A . 0 B. 3
*
6.设(AB CD) (BC (2) a b a ; (3) a
T
DA
b
2"I D. . 2 4 4
b是一非零向量，则下列个结
论：
(1) a与b共线;
|a b| |a| |b|中正确的是( )
D . (1) (3)
) 而
\
174
A. (1) (2)
二、填空题：
7.在平行四边形
B. (3) (4)
C. (2) (4) ABCD 中,
向北走| 8, |20km”，b “向西走20km”，贝U a b表示AC | 5，则|"BC |的取值范围为_____________
*10. 一艘船从A点出发以2.3 km/h的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大
小为4km/h，则河水的流速的大小为________________________ .
三、解答题：
11.如图，O是平行四边形ABCD 外一点，用OA、OB、OC 表示OD .
D
12.如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证: AB DC
E F E F .
F
13.飞机从甲地按南偏东 10方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按北偏西 70方向飞行
2000km 到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？
14. 求证: (2) 点D 、 三边AB 、 BC 、CA 上的中点,。