平面向量的基本概念及线性运算知识点

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高考数学(文)《平面向量》专题复习

高考数学(文)《平面向量》专题复习
专题5 平面向量
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0;当a=0时,λa=0.②实数和向量可 以求积,但不能求和、求差.③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律.
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时,应注意以下两点: 1.应正确理解向量的概念 ①向量既有大小,又有方向,任意两个向量不能比较大小,只可以 判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小;②大小与方向是向 量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征;③向量可以自 由平移,任一组平行向量都可以移到同一直线上. 2.正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反, 当然向量所在直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义.
(2)b在a方向上的投影是 一个数量,当0°≤θ< 90°时为正;当90°<θ ≤180°时为负;当θ= 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2-x2y1=0与x1x2+y1y2=0不同,前者是两向量a=(x1,y1), b=(x2,y2)共线的充要条件,后者是它们垂直的充要条件.

平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案

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)))))))第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示,理解两个向量相等及共线的含义,掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义,会用坐标表示。

2、了解平面向量的基本定理,掌握平面向量的坐标运算。

3、掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算,会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。

【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念:(1)向量:既有大小又有方向的量,记作AB ;向量的大小即向量的模(长度),记作|AB | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.(2)零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0与任意向量平行(3)单位向量:模为1个单位长度的向量常用e 表示.(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b平行向量也称为共线向量(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a= 大小相等,方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6)相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =2 向量的线性运算:(1)向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” .(2)向量的减法 :求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差.向量的减法有三角形法则,b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b有共同起点)(3)向量的数乘运算:求实数λ与向量a 的积的运算,记作λa.①a a⋅=λλ;②当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同;当0<λ时,λa 的方向与a的方向相反; 当0=λ时,0 =a λ,方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理:向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =λ向量b 与非零向量a共线⇔有两个均不是零的实数λ、μ,使得0a b λμ+=.二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理:如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数21,λλ使:2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示:(1)在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+,由于a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y),其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫做在y 轴上的坐标显然0=(0,0),(1,0)i =,(0,1)j =. (2)设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标,即若OA =(x,y),则A 点的坐标为(x,y),反之亦成立(O 是坐标原点). 3 平面向量的坐标运算:(1)若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y ±=±±. (2)若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =--,1(AB x =(3)若a =(x,y),则λa =(λx,λy).(4)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1221//0a b x y x y ⇔-=. (5)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅. 三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积叫做a 与b 的数量积(或内积),即a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ,规定00a ⋅=2 向量的投影:︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 3 向量的模与平方的关系:22||a a a a ⋅==4 乘法公式成立:()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-; ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+.5 平面向量数量积的运算律:①交换律成立:a b b a ⋅=⋅.②对实数的结合律成立:()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈.③分配律成立:()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±; 特别注意:①结合律不成立:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅.②消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =.③a b ⋅=0不能得到a =0或b =06 两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则a ·b =1212x x y y + 7 向量的夹角:已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ (001800≤≤θ)叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b⋅<>=⋅=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8 垂直:如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥ba ⊥b ⇔a ·b=O ⇔2121=+y y x x【经典例题】【例1】(2010全国Ⅱ,8)△ABC 中,点D 在边AB 上,CD 平分∠ACB ,若CB a =,ECBA CA b =,1,2a b ==,则CD = ( )(A )1233a b + (B )2133a b + (C )3455a b + (D )4355a b + 【答案】B .【解析】由角平分线的性质得2AD DB =,即有22()()33AD CB CA a b =-=-.从而221()333CD CA AD b a b a b =+=+-=+.故选B .【例2】(2009北京,2)已知向量a 、b 不共线,c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d , 那么 ( ) A .1k =且c 与d 同向 B .1k =且c 与d 反向 C .1k =-且c 与d 同向 D .1k =-且c 与d 反向 【答案】D .【解析】取a ()1,0=,b ()0,1=,若1k =,则c =a +b ()1,1=,d =a -b ()1,1=-, 显然,a 与b 不平行,排除A 、B .若1k =-,则c =-a +b ()1,1=-,d =-a +b ()1,1=--, 即c //d 且c 与d 反向,排除C ,故选D .【例3】(2009湖南卷文)如图,D ,E ,F 分别是∆ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则( ) A .0AD BE CF ++= B .0BD CF DF -+=C .0AD CE CF +-= D .0BD BE FC --= 【答案】A . 【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==得0AD BE CF ++=.或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=.【例4】(2009宁夏海南卷文)已知()()3,2,1,0a b =-=-,向量a b λ+与2a b -垂直,则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.16【答案】A .【解析】向量a b λ+=(-3λ-1,2λ),2a b -=(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3λ-1,2λ)×(-1,2)=0,即3λ+1+4λ=0,解得:λ=17-,故选A . 【例5】(2009全国卷Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||,则>=<b a , ( )A .150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B .【解析】由向量加法的平行四边形法则,知a 、b 可构成菱形的两条相邻边,且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长,故选择B .【例6】(2009安徽卷文)在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,或=+,其中,R ,则+= _________.【答案】43. 【解析】设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =- 代入条件得2433u u λλ==∴+=. 【例7】(2009辽宁卷文)在平面直角坐标系xoy 中,四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(-2,0),B (6,8),C(8,6),则D 点的坐标为___________. 【答案】(0,-2).【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+ ∴OD OA OC OB =+-=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2) 即D 点坐标为(0,-2).【例8】(2012江苏)如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==,,点E 为 BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___.【答案】2.【解析】由2AB AF =,得cos 2ABAF FAB ∠=,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.∵2AB =,∴22DF ⋅=,∴1DF =∴21CF =-.记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=,,则θαβ=+. 又∵2BC =,点E 为BC 的中点,∴1BE =. ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯--=.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.【例9】(2009湖南卷理)在ABC ∆,已知2233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=,求角A ,B ,C 的大小. 【答案】2,,663A B C πππ===. 【解析】解:设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =,所以3cos 2A = 又(0,),A π∈因此6A π=由233AB AC BC ⋅=得23bc a =,于是23sin sin 3sin 4C B A ⋅=-所以53sin sin()64C C π⋅-=,133sin (cos sin )224C C C ⋅+=,因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ⋅+=-=,既sin(2)03C π-=由A=6π知506C π<<,所以3π-,4233C ππ-<,从而20,3C π-=或2,3C ππ-=,既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===. 【课堂练习】一、选择题1.(2012辽宁理)已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是( )A .a ∥bB .a ⊥bC .{0,1,3}D .a +b =a -b2. (2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x (),b =2,x x (-),则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线3.(2012天津文)在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,AC=2,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=( )( )A .13 B .23C .43D .2 4.(2009浙江卷理)设向量a ,b 满足:||3=a ,||4=b ,0⋅=a b .以a ,b ,-a b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A .3 B.4 C .5D .65.(2012重庆理)设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则a b += ()A B C .D .106. (2009浙江卷文)已知向量(1,2)=a ,(2,3)=-b .若向量c 满足()//+c a b ,()⊥+c a b ,则c =( )A .77(,)93B .77(,)39--C .77(,)39D .77(,)93--7.(2012浙江理)设a ,b 是两个非零向量.( )A .若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB .若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C .若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD .若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.(2009全国卷Ⅰ理)设a 、b 、c 是单位向量,且a ·b =0,则()()a c b c -•-的最 小值为( )A.2- 2C.1-D.19.(2012天津理)已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ ( )A .12 B .12± C .12± D .32-±10.(2009全国卷Ⅱ理)已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =( )A.B. C. 5 D. 2511.(2012大纲理)ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =( )A .1133a b -B .2233a b - C .3355a b - D .4455a b - 12.(2008湖南)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC( )A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13.(2008广东)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC =a ,BD =b ,则AF =( )A .1142+a b B .2133+a b C .1124+a bD .1233+a b 14.(2007湖北)设(43)=,a ,a 在b 上的投影为522,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( )A .(214),B .227⎛⎫- ⎪⎝⎭,C .227⎛⎫- ⎪⎝⎭,D .(28),15.(2012安徽理)在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 ( ) A .(72,2)-- B .(72,2)- C .(46,2)-- D .(46,2)-二、填空题16.(2012浙江文)在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.17.(2009安徽卷理)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120o.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.18.(2012上海文)在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .19.(2012课标文)已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 20.(2012湖南文)如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且APAC = _____.A DBCP21.(2012湖北文)已知向量(1,0),(1,1)a b ==,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.22.(2012北京文)已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________. 23.(2012安徽文)设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.24.(2012江苏)如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==,,点E 为BC 的中点,点F 在边CD上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___.25.(2012安徽理)若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____三、解答题26. (2009年广东卷文)(已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直,其中)2,0(πθ∈(1)求θsin 和θcos 的值(2)若ϕϕθcos 53)cos(5=-,<<ϕ02π,求ϕcos 的值 27.(2009上海卷文)已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量(,)m a b =, (sin ,sin )n B A =,(2,2)p b a =-- .(1) 若m //n ,求证:ΔABC 为等腰三角形; (2) 若m ⊥p ,边长c = 2,角C =3π,求ΔABC 的面积 . 28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角,向量)sin ,(sin B A m =,)cos ,(cos A B n =,且C n m 2sin =⋅.(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若A sin ,C sin ,B sin 成等差数列,且18)(=-⋅AC AB CA ,求边c 的长.【课后作业】一、选择题1.(2009辽宁卷理)平面向量a 与b 的夹角为060,(2,0)a =,1b = 则2a b +=( )A.B. C. 4 D. 22.(2009宁夏海南卷理)已知O ,N ,P 在ABC ∆所在平面内,且,0OA OB OC NA NB NC ==++=,且PA PB PB PC PC PA •=•=•,则点O ,N ,P 依次是ABC ∆的( )A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心3.(2008安徽)在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若(2,4)AB =,(1,3)AC =,则BD =( )A . (-2,-4)B .(-3,-5)C .(3,5)D .(2,4)4.(2008浙江)已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是( )A. 1B. 2C.2 D.225.(2007海南、宁夏)已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b( ) A .(21)--, B .(21)-,C .(10)-,D .(12),6.(2007湖南)设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线,则必有( )A .⊥a bB .∥a bC .||||=a bD .||||≠a b7. (2007天津)设两个向量22(2cos )λλα=+-,a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,b ,其中mλα,,为实数.若2=a b ,则mλ的取值范围是 ( ) A .[-6,1]B .[48],C .(-6,1]D .[-1,6]8. 在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于( ) A .22 B .42 C .23 D .29. 已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 ( )A .9B .1C .-1D .-910. 已知a 、b 是不共线的AB a b λ=+AC a b μ=+(,)R λμ∈,则A 、B 、C 三点共线的充要条件是:( )A .1λμ+=B .1λμ-=C .1λμ=-D .1λμ=二、填空题11. 设向量2,3,19,AB AC AB AC CAB ==+=∠=则_________.12. 若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥ 满足,则向量b a 与的夹角等于 .13. 已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =,设向量2PC PA PB =+,则PC 的最小值是 .14.(2008江苏)a ,b 的夹角为120︒,1a =,3b = 则5a b -= . 15. (2007安徽)在四面体O ABC -中,OA OB OC D ===,,,a b c 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE = (用,,a b c 表示).16.(2007北京)已知向量2411()(),,,a =b =.若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是 .17. 已知向量(cos15,sin15)a =,(sin15,cos15)b =--,则a b |+|的值为 .18.(2007广东)若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°,则b a b a ··+= .三、解答题19.(2009湖南卷文)已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=(1)若//a b ,求tan θ的值;(2)若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

高三数学平面向量考点解析

高三数学平面向量考点解析

高三数学平面向量考点解析1、高中数学知识点总结平面向量的概念:平面向量是既有大小又有方向的量。

向量和数量是数学中讨论的两种量的形式,数量是实数。

2、平面向量的三种形式:(1)字母形式:用单独的小写字母带箭头或者用两个大写字母带箭头表示向量;(2)几何形式;用平面内的有向线段表示向量,零向量是一个点;(3)坐标形式:向量可以在坐标平面内用坐标表示,向量坐标等于它的终点坐标减去始点坐标。

3、平面向量的相关概念,(1)模(绝对值):向量的大小或者向量的长度叫做向量的模,模是大于等于的实数。

模也叫作绝对值、大小、长度,这几个说法是一个意思。

(2)相等向量:方向相同、大小相等的向量叫做相等向量(或者叫相同向量),两个相等向量的x,y坐标对应相等。

(3)相反向量:方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。

一个向量加负号即变为其相反向量,在向量化简和运算中很常见、很重要。

(4)平行(共线)向量:平面内两个向量所在的直线平行或者重合,则说这两个向量平行(或者共线),用平行符号表示。

因为向量可以自由平移,所以对向量来讲平行和共线是一个意思。

两个非零向量平行时,必定方向相同或相反。

规定零向量和任意向量都平行,但不能说零向量和其它向量方向相同或相反。

(5)垂直向量:两向量所在的直线垂直(或者说夹角为90度),则说这两个向量为垂直向量,用垂直符号表示。

规定零向量和任意向量都垂直,但不能说夹角90度。

(6)零向量:大小为零(或者说模、绝对值、长度为零都是一个意思)的向量叫做零向量,规定零向量的方向是任意的,不能讨论零向量和其它向量方向的关系及夹角问题。

规定零向量和任意向量都平行且垂直。

(7)单位向量:长度为1的向量叫做单位向量。

一个向量除以自己的模得到和这个向量同方向的单位向量;单位向量乘以一个向量的模得到这个向量。

(8)位置向量:向量AB可以表示点B相对点A的位置,所以向量AB可以叫做点B关于点A的位置向量。

(9)方向向量:一个非零向量与一条直线平行,则这个向量叫做这条直线的平行向量。

(完整版)平面向量全部讲义

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第一节平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.例1.若向量a与b不相等,则a与b一定()A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量例2..给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC等价于四边形ABCD为平行四边形;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b等价于|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.④⑤CA2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb例3:化简AC→-BD→+CD→-AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D.0例4:(1)如图,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=()A.0B.BE C.AD D.CF(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.巩固练习:1.将4(3a+2b)-2(b-2a)化简成最简式为______________.2.若|OA→+OB→|=|OA→-OB→|,则非零向量OA→,OB→的关系是() A.平行B.重合C.垂直D.不确定3.若菱形ABCD的边长为2,则|AB-CB+CD|=________4.D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD等于()A.-BC+12BA B.-BC-12BA C.BC-12BA D.BC+12BA5.若A,B,C,D是平面内任意四点,给出下列式子:①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个6.如图,在△ABC中,D,E为边AB的两个三等分点,CA→=3a,CB→=2b,求CD→,CE→.DD12巩固练习1。

考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)

考点10  平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
①数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.
②模:|a|= = .
③夹角:cosθ= = .
④两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ · .
,注意与平面向量平行的坐标表示区分.
3.(2021年全国高考甲卷)若向量 满足 ,则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件,利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵

∴ .
故答案为: .
4.(2021年全国新高考Ⅰ卷)已知 为坐标原点,点 , , , ,则()
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 + + =0;
(2)四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则 + =2 ;
(3)对于平面上的任一点O, , 不共线,满足 =x +y (x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形,由向量的线性运算,逐项计算判断即可得解.
【详解】 + + = + =0,A正确;
+ + = + + =0,B正确;
+ + = + = + = ,C正确;
+ + = +0= = ≠ ,D错误,
故选:D.
2.(2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学)下列结论正确的是
A.若向量 , 共线,则向量 , 的方向相同

高中数学第五章_平面向量

高中数学第五章_平面向量

第五章⎪⎪⎪平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b =λa . [小题体验]1.下列四个命题中,正确的命题是( ) A .若a ∥b ,则a =b B .若|a |=|b |,则a =b C .若|a |=|b |,则a ∥b D .若a =b ,则|a |=|b |答案:D2.若m ∥n ,n ∥k ,则向量m 与向量k ( ) A .共线 B .不共线 C .共线且同向 D .不一定共线答案:D3.若D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量CD ―→等于( ) A .-BC ―→+12BA ―→B .-BC ―→-12 BA ―→C .BC ―→ -12BA ―→D .BC ―→+12BA ―→答案:A4.已知a 与b 是两个不共线的向量,且向量a +λb 与-(b -3a )共线,则λ=________. 答案:-131.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误. 2.在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个. 3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系. [小题纠偏]1.若菱形ABCD 的边长为2,则|AB ―→-CB ―→+CD ―→|=________. 解析:|AB ―→-CB ―→+CD ―→|=|AB ―→+BC ―→+CD ―→|=|AD ―→|=2. 答案:22.已知a ,b 是非零向量,命题p :a =b ,命题q :|a +b |=|a |+|b |,则p 是q 的________条件. 解析:若a =b ,则|a +b |=|2a |=2|a |,|a |+|b |=|a |+|a |=2|a |,即p ⇒q . 若|a +b |=|a |+|b |,由加法的运算知a 与b 同向共线, 即a =λb ,且λ>0,故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件. 答案:充分不必要考点一 平面向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.设a 0为单位向量,下列命题中:①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |·a 0;②若a 与a 0平行,则a =|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |=1,则a =a 0.假命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a |a 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与a 0平行,则a 与a 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a =-|a |a 0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.2.下列说法中错误的是( )A .有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段B .若向量a 和b 不共线,则a 和b 都是非零向量C .长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D .方向相反的两个非零向量必不相等解析:选C 选项A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念,故正确;选项B 中零向量与任意向量共线,故a ,b 都是非零向量,故正确;选项C 中是共线向量,故错误;选项D 中既然方向相反就一定不相等,故正确.3.(易错题)给出下列命题: ①若a =b ,b =c ,则a =c ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB ―→=DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件; ③a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ; ④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 其中正确命题的序号是________.解析:①正确.∵a =b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同, 又b =c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同, ∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .②正确.∵AB ―→=DC ―→,∴|AB ―→|=|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→, 又A ,B ,C ,D 是不共线的四点, ∴四边形ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形ABCD 为平行四边形, 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|=|DC ―→|,因此,AB ―→=DC ―→.③不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故|a |=|b |且a ∥b 不是a =b 的充要条件,而是必要不充分条件.④不正确.考虑b =0这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是①②. 答案:①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点 (1)向量:方向、长度.(2)非零共线向量:方向相同或相反. (3)单位向量:长度是一个单位长度. (4)零向量:方向没有限制,长度是0. (5)相等相量:方向相同且长度相等.考点二 向量的线性运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2018·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点,则OA ―→+OB ―→+OC ―→+OD ―→等于( )A .OM ―→B .2OM ―→C .3OM ―→D .4OM ―→解析:选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ,BD 的交点,所以OA ―→+OC ―→=2OM ―→,OB ―→+OD ―→=2OM ―→,所以OA ―→+OB ―→+OC ―→+OD ―→=4OM ―→.2.(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD 中,AB ―→=-2CD ―→,M 为BC 的中点,则AM ―→=( ) A.12AB ―→+12AD ―→ B.34AB ―→+12AD ―→C.34AB ―→+14AD ―→ D.12AB ―→+34AD ―→ 解析:选B 因为AB ―→=-2CD ―→,所以AB ―→=2DC ―→.又M 是BC 的中点,所以AM ―→=12(AB ―→+AC ―→)=12(AB―→+AD ―→+DC ―→)=12⎝⎛⎭⎫AB ―→+AD ―→+12AB ―→=34AB ―→+12AD ―→.3.(2019·郑州第一次质量预测)如图,在△ABC 中,N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点,点P 在线段BN 上且AP ―→=⎝⎛⎭⎫m +211AB ―→+211BC ―→,则实数m 的值为( )A .1 B.13C.911D.511解析:选D AP ―→=⎝⎛⎭⎫m +211AB ―→+211BC ―→=⎝⎛⎭⎫m +211AB ―→+211(AC ―→-AB ―→)=m AB ―→+211AC ―→,设BP ―→=λBN ―→(0≤λ≤1),则AP ―→=AB ―→+λBN ―→=AB ―→+λ(AN ―→-AB ―→)=(1-λ)AB ―→+λAN ―→,因为AN ―→ =13AC ―→,所以AP ―→=(1-λ)AB ―→+13λAC ―→,则⎩⎪⎨⎪⎧m =1-λ,211=13λ,解得⎩⎨⎧λ=611,m =511,故选D.[谨记通法]1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置.(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式. (3)比较、观察可知所求.考点三 共线向量定理的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ―→=3CD ―→,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若AO ―→=x AB ―→+(1-x )·AC ―→,则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0,12 B.⎝⎛⎭⎫0,13 C.⎝⎛⎭⎫-12,0 D.⎝⎛⎭⎫-13,0 解析:选D 设CO ―→=y BC ―→,∵AO ―→=AC ―→+CO ―→=AC ―→+y BC ―→=AC ―→+y (AC ―→-AB ―→)=-y AB ―→+(1+y ) AC ―→,∵BC ―→=3CD ―→,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),∴y ∈⎝⎛⎭⎫0,13,∵AO ―→=x AB ―→+(1-x )AC ―→,∴x ∈⎝⎛⎭⎫-13,0. 2.设两个非零向量a 与b 不共线,(1)若AB ―→=a +b ,BC ―→=2a +8b ,CD ―→=3(a -b ), 求证:A ,B ,D 三点共线;(2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 同向.解:(1)证明:∵AB ―→=a +b ,BC ―→=2a +8b ,CD ―→=3a -3b , ∴BD ―→=BC ―→+CD ―→=2a +8b +3a -3b =5(a +b )=5AB ―→.∴AB ―→,BD ―→共线,又∵它们有公共点B ,∴A ,B ,D 三点共线. (2)∵k a +b 与a +k b 同向,∴存在实数λ(λ>0),使k a +b =λ(a +k b ), 即k a +b =λa +λk b .∴(k -λ)a =(λk -1)b .∵a ,b 是不共线的两个非零向量,⎩⎪⎨⎪⎧ k -λ=0,λk -1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ k =1,λ=1或⎩⎪⎨⎪⎧k =-1,λ=-1,又∵λ>0,∴k =1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线:对于向量a ,b ,若存在实数λ,使a =λb ,则a 与b 共线. (2)证明三点共线:若存在实数λ,使AB ―→=λAC ―→,则A ,B ,C 三点共线. (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. [提醒] 证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.[即时应用]1.设向量a ,b 不共线,AB ―→=2a +p b ,BC ―→=a +b ,CD ―→=a -2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( )A .-2B .-1C .1D .2解析:选B 因为BC ―→=a +b ,CD ―→=a -2b ,所以BD ―→=BC ―→+CD ―→=2a -b .又因为A ,B ,D 三点共线,所以AB ―→,BD ―→共线.设AB ―→=λBD ―→,所以2a +p b =λ(2a -b ),所以2=2λ,p =-λ,即λ=1,p =-1.2.如图,在△ABC 中,D ,F 分别是BC ,AC 的中点,AE ―→=23AD ―→,AB ―→=a ,AC―→=b .(1)用a ,b 表示向量AD ―→,AE ―→,AF ―→,BE ―→,BF ―→; (2)求证:B ,E ,F 三点共线.解:(1)延长AD 到G ,使AD ―→=12AG ―→,连接BG ,CG ,得到▱ABGC , 所以AG ―→=a +b , AD ―→=12AG ―→=12(a +b ),AE ―→=23AD ―→=13(a +b ),AF ―→=12AC ―→=12b ,BE ―→=AE ―→-AB ―→=13(a +b )-a =13(b -2a ),BF ―→=AF ―→-AB ―→=12b -a =12(b -2a ).(2)证明:由(1)可知BE ―→=23BF ―→,又因为BE ―→,BF ―→有公共点B , 所以B ,E ,F 三点共线.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.已知O ,A ,B 是同一平面内的三个点,直线AB 上有一点C 满足2AC ―→+CB ―→=0,则OC ―→=( ) A .2OA ―→-OB ―→B .-OA ―→+2OB ―→C.23OA ―→-13OB ―→ D .-13OA ―→+23OB ―→解析:选A 依题意,得OC ―→=OB ―→+BC ―→=OB ―→+2AC ―→=OB ―→+2(OC ―→-OA ―→),所以OC ―→=2OA ―→-OB ―→. 2.(2019·石家庄质检)在△ABC 中,点D 在边AB 上,且BD ―→=12DA ―→,设CB ―→=a ,CA ―→=b ,则CD ―→=( )A.13a +23bB.23a +13b C.35a +45b D.45a +35b 解析:选B ∵BD ―→=12DA ―→,∴BD ―→=13BA ―→,∴CD ―→=CB ―→+BD ―→=CB ―→+13BA ―→=CB ―→+13(CA ―→-CB ―→)=23CB ―→+13CA ―→=23a +13b . 3.在四边形ABCD 中,AB ―→=a +2b ,BC ―→=-4a -b ,CD ―→=-5a -3b ,则四边形ABCD 的形状是( ) A .矩形 B .平行四边形 C .梯形D .以上都不对解析:选C 由已知,得AD ―→=AB ―→+BC ―→+CD ―→=-8a -2b =2(-4a -b )=2BC ―→,故AD ―→∥BC ―→. 又因为AB ―→与CD ―→不平行,所以四边形ABCD 是梯形.4.(2018·扬州模拟)在△ABC 中,N 是AC 边上一点且AN ―→=12NC ―→,P 是BN 上一点,若AP ―→=m AB ―→+29AC ―→,则实数m 的值是________.解析:如图,因为AN ―→=12NC ―→,P 是BN ―→上一点.所以AN ―→=13AC ―→,AP ―→=m AB ―→+29AC ―→=m AB ―→+23AN ―→,因为B ,P ,N 三点共线,所以m +23=1,则m =13. 答案:135.在△ABC 中,∠A =60°,∠A 的平分线交BC 于点D ,若AB =4,且AD ―→=14AC ―→+λAB ―→(λ∈R),则AD 的长为________.解析:因为B ,D ,C 三点共线,所以14+λ=1,解得λ=34,如图,过点D 分别作AC ,AB 的平行线交AB ,AC 于点M ,N ,则AN ―→=14AC ―→,AM ―→=34AB ―→,因为在△ABC 中,∠A =60°,∠A 的平分线交BC 于点D ,所以四边形ANDM 为菱形,因为AB =4,所以AN =AM =3,AD =3 3.答案:3 3二保高考,全练题型做到高考达标1.已知向量a ,b ,且AB ―→=a +2b ,BC ―→=-5a +6b ,CD ―→=7a -2b ,则一定共线的三点是( ) A .A ,B ,D B .A ,B ,C C .B ,C ,DD .A ,C ,D解析:选A AD ―→=AB ―→+BC ―→+CD ―→=3a +6b =3AB ―→.因为AB ―→与AD ―→有公共点A ,所以A ,B ,D 三点共线.2.已知向量a ,b 不共线,且c =λa +b ,d =a +(2λ-1)b ,若c 与d 共线反向,则实数λ的值为( ) A .1 B .-12C .1或-12D .-1或-12解析:选B 由于c 与d 共线反向,则存在实数k 使c =k d (k <0),于是λa +b =k []a +(2λ-1)b . 整理得λa +b =k a +(2λk -k )b .由于a ,b 不共线,所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ=k ,2λk -k =1,整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-12.又因为k <0,所以λ<0,故λ=-12.3.(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD 中,点E 为CD 的中点,BE 与AC 的交点为F ,设AB ―→=a ,AD ―→=b ,则向量BF ―→=( )A.13a +23b B .-13a -23bC .-13a +23b D.13a -23b解析:选C 如图,因为点E 为CD 的中点,CD ∥AB ,所以BFEF =ABEC =2,所以BF ―→=23BE ―→=23(BC ―→+CE ―→)=23⎝⎛⎭⎫b -12a =-13a +23b . 4.(2018·遂昌期初)已知a ,b 是两个不共线的非零向量,且起点在同一点上,若a ,t b ,13(a +b )三向量的终点在同一直线上,则实数t 的值为( )A .2B .1C .23D .12解析:选D 由题可设13(a +b )=λa +μt b ,因为a ,t b ,13(a +b )三向量的终点在同一直线上,所以有λ+μ=1.所以13=λ,μ=23,所以13=23t ,解得t =12.5.(2019·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点,满足PA ―→+PB ―→+PC ―→=2AB ―→,若S △ABC=6,则△PAB 的面积为( )A .2B .3C .4D .8解析:选A ∵PA ―→+PB ―→+PC ―→=2AB ―→=2(PB ―→-PA ―→),∴3PA ―→=PB ―→-PC ―→=CB ―→,∴PA ―→∥CB ―→,且方向相同,∴S △ABC S △PAB =BC AP =|CB ―→||PA ―→|=3,∴S △PAB =S △ABC3=2. 6.已知O 为△ABC 内一点,且2AO ―→=OB ―→+OC ―→,AD ―→=t AC ―→,若B ,O ,D 三点共线,则t 的值为________.解析:设线段BC 的中点为M ,则OB ―→+OC ―→=2OM ―→. 因为2AO ―→=OB ―→+OC ―→,所以AO ―→=OM ―→,则AO ―→=12AM ―→=14(AB ―→+AC ―→)=14⎝⎛⎭⎫AB ―→+1t AD ―→=14AB ―→+14t AD ―→.由B ,O ,D 三点共线,得14+14t =1,解得t =13.答案:137.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC ―→2=16,|AB ―→+AC ―→|=|AB ―→-AC ―→|,则|AM ―→|=________.解析:由|AB ―→+AC ―→|=|AB ―→-AC ―→|可知,AB ―→⊥AC ―→, 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线, 因此,|AM ―→|=12|BC ―→|=2.答案:28.已知D ,E ,F 分别为△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且BC ―→=a ,CA ―→=b ,给出下列命题:①AD ―→=12a -b ;②BE ―→=a +12b ;③CF ―→=-12a +12b ;④AD ―→+BE ―→+CF ―→=0. 其中正确命题的个数为________.解析:BC ―→=a ,CA ―→=b ,AD ―→=12CB ―→+AC ―→=-12a -b ,故①错;BE ―→=BC ―→+12CA ―→=a +12b ,故②正确;CF ―→=12(CB ―→+CA ―→)=12(-a +b )=-12a +12b ,故③正确;AD ―→+BE ―→+CF ―→=-b -12a +a +12b +12b -12a =0,故④正确.∴正确命题为②③④. 答案:39.设e 1,e 2是两个不共线的向量,已知AB ―→=2e 1-8e 2,CB ―→=e 1+3e 2,CD ―→=2e 1-e 2. (1)求证:A ,B ,D 三点共线;(2)若BF ―→=3e 1-k e 2,且B ,D ,F 三点共线,求k 的值.解:(1)证明:由已知得BD ―→=CD ―→-CB ―→=(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2, ∵AB ―→=2e 1-8e 2, ∴AB ―→=2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线. (2)由(1)可知BD ―→=e 1-4e 2,∵BF ―→=3e 1-k e 2,且B ,D ,F 三点共线, ∴BF ―→=λBD ―→(λ∈R ), 即3e 1-k e 2=λe 1-4λe 2,得⎩⎪⎨⎪⎧λ=3,-k =-4λ. 解得k =12.10.已知a ,b 不共线,OA ―→=a ,OB ―→=b ,OC ―→=c ,OD ―→=d ,OE ―→=e ,设t ∈R ,如果3a =c ,2b =d ,e =t (a +b ),是否存在实数t 使C ,D ,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数t 的值,若不存在,请说明理由.解:由题设知,CD ―→=d -c =2b -3a ,CE ―→=e -c =(t -3)a +t b ,C ,D ,E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ,使得CE ―→=k CD ―→,即(t -3)a +t b =-3k a +2k b ,整理得(t -3+3k )a =(2k -t )b .因为a ,b 不共线,所以有⎩⎪⎨⎪⎧t -3+3k =0,t -2k =0,解得t =65.故存在实数t =65使C ,D ,E 三点在一条直线上.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.如图,在△ABC 中,点D 在线段BC 上,且满足BD =12DC ,过点D 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AM ―→=m AB ―→,AN ―→=n AC ―→,则( )A .m +n 是定值,定值为2B .2m +n 是定值,定值为3 C.1m +1n 是定值,定值为2 D.2m +1n 是定值,定值为3解析:选D 因为M ,D ,N 三点共线,所以AD ―→=λAM ―→+(1-λ)AN ―→.又AM ―→=m AB ―→,AN ―→=n AC ―→,所以AD ―→=λm AB ―→+(1-λ)n AC ―→.又BD ―→=12DC ―→,所以AD ―→-AB ―→=12AC ―→-12AD ―→,所以AD ―→=13AC ―→+23AB ―→.比较系数知λm =23,(1-λ)n =13,所以2m +1n =3,故选D.2.(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点.若AB ―→=λAM ―→+μDB ―→,则λ-μ=________.解析:如图,在平行四边形ABCD 中,AB ―→=DC ―→,所以AB ―→=AM ―→+MB ―→=AM ―→+12CB ―→=AM ―→+12(DB ―→-DC ―→)=AM ―→+12(DB ―→-AB ―→)=AM ―→+12DB ―→-12AB ―→,所以32AB ―→=AM ―→+12DB ―→,所以AB ―→=23AM ―→+13DB ―→,所以λ=23,μ=13,所以λ-μ=13.答案:133.已知O ,A ,B 是不共线的三点,且OP ―→=m OA ―→+n OB ―→(m ,n ∈R ). (1)若m +n =1,求证:A ,P ,B 三点共线; (2)若A ,P ,B 三点共线,求证:m +n =1. 证明:(1)若m +n =1,则OP ―→=m OA ―→+(1-m )OB ―→=OB ―→+m (OA ―→-OB ―→), ∴OP ―→-OB ―→=m (OA ―→-OB ―→), 即BP ―→=m BA ―→,∴BP ―→与BA ―→共线. 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ,∴A ,P ,B 三点共线. (2)若A ,P ,B 三点共线, 则存在实数λ,使BP ―→=λBA ―→, ∴OP ―→-OB ―→=λ(OA ―→-OB ―→). 又OP ―→=m OA ―→+n OB ―→.故有m OA ―→+(n -1)OB ―→=λOA ―→-λOB ―→, 即(m -λ)OA ―→+(n +λ-1)OB ―→=0.∵O ,A ,B 不共线,∴OA ―→,OB ―→不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧m -λ=0,n +λ-1=0,∴m +n =1. 第二节平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模: 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a |=x 21+y 21.(2)向量坐标的求法:①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ―→=(x 2-x 1,y 2-y 1), |AB ―→|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 3.平面向量共线的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.[小题体验]1.已知a =(4,2),b =(-6,m ),若a ∥b ,则m 的值为______.答案:-32.(教材习题改编)已知a =(2,1),b =(-3,4),则3a +4b =________. 答案:(-6,19)3.设e 1,e 2是平面内一组基向量,且a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,则向量e 1+e 2可以表示为另一组基向量a ,b 的线性组合,即e 1+e 2=________a +________b .解析:由题意,设e 1+e 2=m a +n b . 因为a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,所以e 1+e 2=m (e 1+2e 2)+n (-e 1+e 2)=(m -n )e 1+(2m +n )e 2.由平面向量基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧m -n =1,2m +n =1,所以⎩⎨⎧m =23,n =-13.答案:23 -134.已知向量a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m =________. 答案:-11.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.2.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2=y 1y 2,因为x 2,y 2有可能等于0,所以应表示为x 1y 2-x 2y 1=0.[小题纠偏]1.设e 1,e 2是平面内一组基底,若λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1+λ2=________. 答案:02.已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n ∈R ),则m -n 的值为________. 解析:∵ma +nb =(2m +n ,m -2n )=(9,-8),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m +n =9,m -2n =-8,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =5,∴m -n =2-5=-3. 答案:-3考点一 平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2019·温州模拟)如图,在直角梯形ABCD 中,AB =2AD =2DC ,E 为BC边上一点,BC ―→=3EC ―→,F 为AE 的中点,则BF ―→=( )A.23AB ―→-13AD ―→B.13AB ―→-23AD ―→ C .-23AB ―→+13AD ―→D .-13AB ―→+23AD ―→解析:选C 如图,取AB 的中点G ,连接DG ,CG ,易知四边形DCBG 为平行四边形,∴BC ―→=GD ―→=AD ―→-AG ―→=AD ―→-12AB ―→,∴AE ―→=AB ―→+BE ―→=AB ―→+23BC ―→=AB ―→+23⎝⎛⎭⎫AD ―→-12AB ―→=23AB ―→+23AD ―→,于是BF ―→=AF ―→-AB ―→=12AE ―→-AB ―→=12⎝⎛⎭⎫23AB ―→+23AD ―→-AB ―→=-23AB ―→+13AD ―→,故选C.2.在△ABC 中,点M ,N 满足AM ―→=2MC ―→,BN ―→=NC ―→.若MN ―→=x AB ―→+y AC ―→,则x =________;y =________.解析:∵AM ―→=2MC ―→,∴AM ―→=23AC ―→.∵BN ―→=NC ―→,∴AN ―→=12(AB ―→+AC ―→),∴MN ―→=AN ―→-AM ―→=12(AB ―→+AC ―→)-23AC ―→=12AB ―→-16AC ―→. 又MN ―→=x AB ―→+y AC ―→, ∴x =12,y =-16.答案:12 -16L ,且AK ―→=3.如图,已知平行四边形ABCD 的边BC ,CD 的中点分别是K ,e 1,AL ―→=e 2,试用e 1,e 2表示BC ―→,CD ―→.解:设BC ―→=x ,CD ―→=y ,则BK ―→=12x ,DL ―→=-12y .由AB ―→+BK ―→=AK ―→,AD ―→+DL ―→=AL ―→,得⎩⎨⎧-y +12x =e 1, ①x -12y =e 2, ②①+②×(-2),得12x -2x =e 1-2e 2,即x =-23(e 1-2e 2)=-23e 1+43e 2,所以BC ―→=-23e 1+43e 2.同理可得y =-43e 1+23e 2,即CD ―→=-43e 1+23e 2.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二 平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.向量a ,b 满足a +b =(-1,5),a -b =(5,-3),则b 为( ) A .(-3,4) B .(3,4) C .(3,-4)D .(-3,-4)解析:选A 由a +b =(-1,5),a -b =(5,-3),得2b =(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),∴b =12(-6,8)=(-3,4),故选A.2.已知M (3,-2),N (-5,-1),且MP ―→=12MN ―→,则P 点的坐标为( )A .(-8,1)B .⎝⎛⎭⎫-1,-32 C .⎝⎛⎭⎫1,32 D .(8,-1)解析:选B 设P (x ,y ),则MP ―→= (x -3,y +2),而12MN ―→=12(-8,1)=⎝⎛⎭⎫-4,12,所以⎩⎪⎨⎪⎧x -3=-4,y +2=12,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-32,所以P ⎝⎛⎭⎫-1,-32. 3.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB ―→=a ,BC ―→=b ,CA ―→=c ,且CM ―→=3c ,CN ―→=-2b , (1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (3)求M ,N 的坐标及向量MN ―→的坐标.解:由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵m b +n c =(-6m +n ,-3m +8n ),∴⎩⎪⎨⎪⎧-6m +n =5,-3m +8n =-5, 解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-1.(3)设O 为坐标原点,∵CM ―→=OM ―→-OC ―→=3c , ∴OM ―→=3c +OC ―→=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M (0,20).又∵CN ―→=ON ―→-OC ―→=-2b ,∴ON ―→=-2b +OC ―→=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N (9,2),∴MN ―→=(9,-18).[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解. 考点三 平面向量共线的坐标表示(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.已知梯形ABCD ,其中AB ∥CD ,且DC =2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________.解析:∵在梯形ABCD 中,DC =2AB ,AB ∥CD ,∴DC ―→=2AB ―→.设点D 的坐标为(x ,y ),则DC ―→=(4-x ,2-y ),AB ―→=(1,-1),∴(4-x,2-y )=2(1,-1),即(4-x,2-y )=(2,-2),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4-x =2,2-y =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,故点D 的坐标为(2,4). 答案:(2,4)2.已知a =(1,0),b =(2,1).(1)当k 为何值时,k a -b 与a +2b 共线;(2)若AB ―→=2a +3b ,BC ―→=a +m b ,且A ,B ,C 三点共线,求m 的值. 解:(1)∵a =(1,0),b =(2,1), ∴k a -b =k (1,0)-(2,1)=(k -2,-1), a +2b =(1,0)+2(2,1)=(5,2), ∵k a -b 与a +2b 共线, ∴2(k -2)-(-1)×5=0,∴k =-12.(2)AB ―→=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), BC ―→=(1,0)+m (2,1)=(2m +1,m ). ∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ―→∥BC ―→, ∴8m -3(2m +1)=0,∴m =32.[由题悟法]向量共线的充要条件 (1)a ∥b ⇔a =λb (b ≠0);(2)a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)).当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便.[即时应用]1.已知向量a =(-1,2),b =(3,m ),m ∈R ,则“m =-6”是“a ∥(a +b )”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由题意得a +b =(2,2+m ),由a ∥(a +b ),得-1×(2+m )=2×2,所以m =-6.当m =-6时,a ∥(a +b ),则“m =-6”是“a ∥(a +b )”的充要条件.2.(2018·贵阳监测)已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )∥(m -n ),则λ=________. 解析:因为m +n =(2λ+3,3),m -n =(-1,-1), 又(m +n )∥(m -n ),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得λ=0. 答案:03.设向量a ,b 满足|a |=25,b =(2,1),且a 与b 的方向相反,则a 的坐标为________. 解析:∵a 与b 方向相反,∴可设a =λb (λ<0), ∴a =λ(2,1)=(2λ,λ).由|a |=5λ2=25,解得λ=-2或λ=2(舍去), 故a =(-4,-2). 答案:(-4,-2)4.若三点A (2,2),B (a,0),C (0,b )(ab ≠0)共线,则1a +1b 的值等于________.解析:AB ―→=(a -2,-2),AC ―→=(-2,b -2),依题意,有(a -2)(b -2)-4=0,即ab -2a -2b =0,所以1a +1b =12.答案:12一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.在平行四边形ABCD 中,AC 为对角线,若AB ―→=(2,4),AC ―→=(1,3),则BD ―→=( ) A .(-2,-4) B .(-3,-5) C .(3,5)D .(2,4)解析:选B 由题意得BD ―→=AD ―→-AB ―→=BC ―→-AB ―→=(AC ―→-AB ―→)-AB ―→=AC ―→-2AB ―→=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).2.已知A (-1,-1),B (m ,m +2),C (2,5)三点共线,则m 的值为( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选A AB ―→=(m ,m +2)-(-1,-1)=(m +1,m +3), AC ―→=(2,5)-(-1,-1)=(3,6), ∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ―→∥AC ―→,∴3(m +3)-6(m +1)=0, ∴m =1.故选A.3.如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP ―→=x OA ―→+y OB ―→,且BP―→=2PA ―→,则( )A .x =23,y =13B .x =13,y =23C .x =14,y =34D .x =34,y =14解析:选A 由题意知OP ―→=OB ―→+BP ―→,又BP ―→=2PA ―→,所以OP ―→=OB ―→+23BA ―→=OB ―→+23(OA ―→-OB ―→)=23OA ―→+13OB ―→,所以x =23,y =13. 4.(2019·舟山模拟)已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若m a +b 与a -2b 共线,则m 的值为________. 解析:由a =(2,3),b =(-1,2),得m a +b =(2m -1,3m +2),a -2b =(4,-1),又m a +b 与a -2b 共线,所以-1×(2m -1)=(3m +2)×4,解得m =-12.答案:-125.已知向量a =(1,2),b =(x,1),u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,则实数x 的值为________.解析:因为a =(1,2),b =(x,1),u =a +2b ,v =2a -b , 所以u =(1,2)+2(x,1)=(2x +1,4), v =2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为u ∥v ,所以3(2x +1)-4(2-x )=0, 即10x =5,解得x =12.答案:12二保高考,全练题型做到高考达标1.(2018·温州十校联考)已知a =(-3,1),b =(-1,2),则3a -2b =( ) A .(7,1) B .(-7,-1) C .(-7,1)D .(7,-1)解析:选B 由题可得,3a -2b =3(-3,1)-2(-1,2)=(-9+2,3-4)=(-7,-1).2.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m =(a ,3b )与n =(cos A ,sin B )平行,则A =( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析:选B 因为m ∥n ,所以a sin B -3b cos A =0,由正弦定理,得sin A sin B -3sin B cos A =0,又sin B ≠0,从而tan A =3,由于0<A <π,所以A =π3.3.已知A (7,1),B (1,4),直线y =12ax 与线段AB 交于点C ,且AC ―→=2CB ―→,则实数a 等于( )A .2B .1C .45D .53解析:选A 设C (x ,y ),则AC ―→=(x -7,y -1),CB ―→=(1-x,4-y ),∵AC ―→=2CB ―→,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x -7=2(1-x ),y -1=2(4-y ),解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =3.∴C (3,3). 又∵点C 在直线y =12ax 上,∴3=12a ×3,∴a =2.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平面内第一象限内的点,且∠AOC =π4,|OC |=2,若OC ―→=λOA ―→+μOB ―→,则λ+μ=( )A .2 2B . 2C .2D .4 2解析:选A 因为|OC |=2,∠AOC =π4,所以C (2,2),又OC ―→=λOA ―→+μOB ―→,所以(2,2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=2,λ+μ=2 2.5.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→=a ,BD ―→=b ,则AF ―→=( )A.14a +12bB.12a +14bC.23a +13bD.13a +23b 解析:选C 如图,∵AC ―→=a ,BD ―→=b , ∴AD ―→=AO ―→+OD ―→=12AC ―→+12BD ―→=12a +12b .∵E 是OD 的中点, ∴|DE ||EB |=13, ∴|DF |=13|AB |.∴DF ―→=13AB ―→=13(OB ―→-OA ―→)=13×⎣⎡⎦⎤-12 BD ―→⎝⎛⎭⎫-12AC ―→=16AC ―→-16BD ―→=16a -16b , ∴AF ―→=AD ―→+DF ―→=12a +12b +16a -16b =23a +13b ,故选C.6.已知向量a =(1,3),b =(-2,1),c =(3,2).若向量c 与向量k a +b 共线,则实数k =________,若c =x a +y b ,则x +y 的值为________.解析:k a +b =k (1,3)+(-2,1)=(k -2,3k +1),因为向量c 与向量k a +b 共线,所以2(k -2)-3(3k +1)=0,解得k =-1.因为c =x a +y b ,所以(3,2)=(x -2y,3x +y ),即x -2y =3,3x +y =2,解得x =1,y =-1,所以x +y =0.答案:-1 07.已知向量OA ―→=(1,-3),OB ―→=(2,-1),OC ―→=(k +1,k -2),若A ,B ,C 三点能构成三角形,则实数k 应满足的条件是________.解析:若点A ,B ,C 能构成三角形,则向量AB ―→,AC ―→不共线. ∵AB ―→=OB ―→-OA ―→=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), AC ―→=OC ―→-OA ―→=(k +1,k -2)-(1,-3)=(k ,k +1), ∴1×(k +1)-2k ≠0,解得k ≠1. 答案:k ≠18.如图,在正方形ABCD 中,P 为DC 边上的动点,设向量AC ―→=λDB ―→+μAP ―→,则λ+μ的最大值为________.解析:以A 为坐标原点,以AB ,AD 所在直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系(图略),设正方形的边长为2,则B (2,0),C (2,2),D (0,2),P (x,2),x ∈[0,2]. ∴AC ―→=(2,2),DB ―→=(2,-2),AP ―→=(x,2).∵AC ―→=λDB ―→+μAP ―→,∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ+xμ=2,-2λ+2μ=2,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ=2-x2+x ,μ=42+x ,∴λ+μ=6-x 2+x .令f (x )=6-x2+x(0≤x ≤2), ∵f (x )在[0,2]上单调递减,∴f (x )max =f (0)=3,即λ+μ的最大值为3. 答案:39.平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1). (1)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (2)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k . 解:(1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1),所以⎩⎪⎨⎪⎧-m +4n =3,2m +n =2,解得⎩⎨⎧m =59,n =89.(2)a +k c =(3+4k,2+k ),2b -a =(-5,2), 由题意得2×(3+4k )-(-5)×(2+k )=0, 解得k =-1613.10.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AD =13BC ,E ,F 分别为线段AD 与BC 的中点.设BA ―→=a ,BC ―→=b ,试用a ,b 为基底表示向量EF ―→,DF ―→,CD ―→.解:EF ―→=EA ―→+AB ―→+BF ―→=-16b -a +12b =13b -a ,DF ―→=DE ―→+EF ―→=-16b +⎝⎛⎭⎫13b -a =16b -a , CD ―→=CF ―→+FD ―→=-12b -⎝⎛⎭⎫16b -a =a -23b . 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (2,3),B (3,2),C (1,1),点P (x ,y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)内,设OP ―→=m AB ―→-n CA ―→(m ,n ∈R ),则2m +n 的最大值为( )A .-1B .1C .2D .3解析:选B 由已知得AB ―→=(1,-1),CA ―→=(1,2),设OP ―→=(x ,y ),∵OP ―→=m AB ―→-n CA ―→,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =m -n ,y =-m -2n ,∴2m +n =x -y .作出平面区域如图所示,令z =x -y ,则y =x -z ,由图象可知当直线y =x -z 经过点B (3,2)时,截距最小,即z 最大.∴z 的最大值为3-2=1,即2m +n 的最大值为1.2.设A 1,A 2,A 3,A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A 1A 3―→=λA 1A 2―→(λ∈R ),A 1A 4―→=μA 1A 2―→(μ∈R ),且1λ+1μ=2,则称A 3,A 4调和分割A 1,A 2.已知点C (c,0),D (d,0)(c ,d ∈R )调和分割点A (0,0),B (1,0),则下面说法正确的是( )A .C 可能是线段AB 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点C .C ,D 可能同时在线段AB 上D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析:选D 根据已知得(c,0)-(0,0)=λ[(1,0)-(0,0)],即(c,0)=λ(1,0),从而得c =λ.(d,0)-(0,0)=μ[(1,0)-(0,0)],即(d,0)=μ(1,0),得d =μ.根据1λ+1μ=2,得1c +1d =2.线段AB 的方程是y =0,x ∈[0,1].若C 是线段AB 的中点,则c =12,代入1c +1d =2得,1d =0,此等式不可能成立,故选项A 的说法不正确;同理选项B 的说法也不正确;若C ,D 同时在线段AB 上,则0<c ≤1,0<d ≤1,此时1c ≥1,1d ≥1,1c +1d ≥2,若等号成立,则只能c =d =1,根据定义,C ,D 是两个不同的点,矛盾,故选项C 的说法也不正确;若C ,D 同时在线段AB 的延长线上,即c >1,d >1,则1c +1d <2,与1c +1d =2矛盾,若c <0,d <0,则1c +1d 是负值,与1c +1d =2矛盾,若c >1,d <0,则1c <1,1d <0,此时1c +1d <1,与1c +1d =2矛盾,故选项D 的说法是正确的.3.已知三点A (a,0),B (0,b ),C (2,2),其中a >0,b >0.(1)若O 是坐标原点,且四边形OACB 是平行四边形,试求a ,b 的值; (2)若A ,B ,C 三点共线,试求a +b 的最小值. 解:(1)因为四边形OACB 是平行四边形, 所以OA ―→=BC ―→,即(a,0)=(2,2-b ),⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,2-b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =2. 故a =2,b =2.(2)因为AB ―→=(-a ,b ),BC ―→=(2,2-b ), 由A ,B ,C 三点共线,得AB ―→∥BC ―→,所以-a (2-b )-2b =0,即2(a +b )=ab , 因为a >0,b >0,所以2(a +b )=ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22, 即(a +b )2-8(a +b )≥0,解得a +b ≥8或a +b ≤0. 因为a >0,b >0,所以a +b ≥8,即a +b 的最小值是8. 当且仅当a =b =4时,“=”成立.第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1.向量的夹角2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b =b ·a .(2)(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb ). (3)(a +b )·c =a ·c +b ·c .4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a 与b 的夹角为θ.[小题体验]1.已知|a |=2,|b |=6,a ·b =-63,则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案:D2.已知向量a 和向量b 的夹角为30°,|a |=2,|b |=3,则向量a 和向量b 的数量积a ·b =( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C 由题意可得a ·b =|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉=2×3×32=3. 3.已知向量a ,b 均为单位向量,若它们的夹角为60°,则|a +3b |=( ) A.7 B.10 C.13D .4解析:选C 依题意得a ·b =12,则|a +3b |=a 2+9b 2+6a ·b =13.4.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t )b .若b ·c =0,则t =________.解析:因为向量a ,b 为单位向量,所以b 2=1,又向量a ,b 的夹角为60°,所以a ·b =12,由b ·c =0,得b ·[t a +(1-t )b ]=0,即t a ·b +(1-t )b 2=0,所以12t +(1-t )=0,所以t =2.答案:25.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ―→·BD ―→=________.解析:选向量的基底为AB ―→,AD ―→,则BD ―→=AD ―→-AB ―→,AE ―→=AD ―→+12AB ―→,所以AE ―→·BD ―→=⎝⎛⎭⎫AD ―→+12AB ―→ ·(AD ―→-AB ―→)=2. 答案:21.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a ·b =a ·c (a ≠0)不能得出b =c ,两边不能约去一个向量. 2.两个向量的夹角为锐角,则有a ·b >0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有a ·b <0,反之不成立.3.a ·b =0不能推出a =0或b =0,因为a ·b =0时,有可能a ⊥b . 4.在用|a |=a 2求向量的模时,一定要把求出的a 2再进行开方. [小题纠偏]1.若a ,b 是两个互相垂直的非零向量,给出以下式子:①a ·b =0;②a +b =a -b ;③|a +b |=|a -b |;④a 2+b 2=(a +b )2.其中正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:选C 因为a ,b 是两个互相垂直的非零向量,所以a·b =0;所以(a +b )2=a 2+b 2+2a·b =a 2+b 2;(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =a 2+b 2;所以(a +b )2=(a -b )2,即|a +b |=|a -b |.故①③④是正确的,②是错误的.2.设向量a ,b 满足|a |=|b |=1,a ·b =-12,则|a +2b |=________.解析:|a +2b |=(a +2b )2=|a |2+4a ·b +4|b |2= 1+4×⎝⎛⎭⎫-12+4= 3. 答案: 3考点一 平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =( ) A .(-15,12) B .0 C .-3D .-11解析:选C ∵a +2b =(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6), ∴(a +2b )·c =(-5,6)·(3,2)=-3.2.(2018·浙江考前冲刺)若两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |=2|b |=4,则向量a 在a +b 上的投影为( )A. 3 B .3 C. 6D .6解析:选B 由|a +b |=|a -b |,得a 2+2a ·b +b 2=a 2-2a ·b +b 2,即a ·b =0, 由|a +b |=2|b |,得a 2+2a ·b +b 2=4b 2,即a 2=3b 2,所以|a |=3|b |=23, 所以向量a 在a +b 上的投影为a ·(a +b )|a +b |=a 2|a +b |=3.中点,则AB ―→·AD―→3.如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠C =90°,AC =2,D 为BC 的=________.解析:法一:由题意知,AC =BC =2,AB =22, ∴AB ―→·AD ―→=AB ―→·(AC ―→+CD ―→)=AB ―→·AC ―→+AB ―→·CD ―→=|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°+|AB ―→|·|CD ―→|cos 45° =22×2×22+22×1×22=6. 法二:建立如图所示的平面直角坐标系,由题意得A (0,2),B (-2,0), D (-1,0),∴AB ―→=(-2,0)-(0,2)=(-2,-2), AD ―→=(-1,0)-(0,2)=(-1,-2), ∴AB ―→·AD ―→=-2×(-1)+(-2)×(-2)=6. 答案:64.(2019·台州模拟)以O 为起点作三个不共线的非零向量OA ―→,OB ―→,OC ―→,使AB ―→=-2BC ―→,|OA ―→|=4,OA ―→|OA ―→|+OB ―→|OB ―→|=OC ―→|OC ―→|,则OA ―→·BC ―→=________. 解析:法一:由OA ―→|OA ―→|+OB ―→|OB ―→|=OC ―→|OC ―→|,平方得OA ―→|OA ―→|·OB ―→|OB ―→|=-12,即cos ∠AOB =-12,因为OA ―→,OB ―→不共线,所以0°<∠AOB <180°,所以∠AOB =120°.因为AB ―→=-2BC ―→,所以C 为线段AB 的中点.由OA ―→|OA ―→|+OB ―→|OB ―→|=OC ―→|OC ―→|两边同乘以OC ―→|OC ―→|,得cos ∠AOC +cos ∠BOC =1,即cos ∠AOC +cos(120°-∠AOC )=1,解得∠AOC =60°,所以OC 为∠AOB 的平分线,所以OC ―→⊥AB ―→.又|OA ―→|=4,所以|AC ―→|=|BC ―→|=23,所以OA ―→·BC ―→=(OC ―→+CA ―→)·BC ―→=BC ―→2=12.法二:由OA ―→|OA ―→|+OB ―→|OB ―→|=OC ―→|OC ―→|及AB ―→=-2BC ―→,结合向量加法的平行四边形法则得OC 为∠AOB 的平分线,C 为AB 的中点,所以OC ―→⊥AB ―→,且|OA ―→|=|OB ―→|=4,|AC ―→|=|BC ―→|=23,所以OA ―→·BC ―→=(OC ―→+CA ―→)·BC ―→=BC ―→2=12.答案:12[谨记通法]向量数量积的2种运算方法考点二 平面向量数量积的性质(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题. 常见的命题角度有: (1)平面向量的模; (2)平面向量的夹角; (3)平面向量的垂直;(4)与最值、范围有关问题.[题点全练]角度一:平面向量的模1.已知e 1,e 2是单位向量,且e 1·e 2=12.若向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b |=________.解析:法一:∵e 1·e 2=12,∴|e 1||e 2|cos e 1,e 2=12,∴e 1,e 2=60°.又∵b ·e 1=b ·e 2=1>0,∴b ,e 1=b ,e 2=30°. 由b ·e 1=1,得|b ||e 1|cos 30°=1,∴|b |=132=233.法二:由题可得,不妨设e 1=(1,0),e 2=⎝⎛⎭⎫12,32,b =(x ,y ). ∵b ·e 1=b ·e 2=1,∴x =1,12x +32y =1,解得y =33.∴b =⎝⎛⎭⎫1,33,∴|b |= 1+13=233. 答案:233角度二:平面向量的夹角2.(2018·浙江十校联盟适考)若向量a ,b 满足|a |=4,|b |=1,且(a +8b )⊥a ,则向量a ,b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析:选C 由(a +8b )⊥a ,得|a |2+8a ·b =0,因为|a |=4,所以a ·b =-2,所以cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |=-12,所以向量a ,b 的夹角为2π3. 3.已知平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =________.解析:因为a =(1,2),b =(4,2),所以c =m a +b =(m +4,2m +2),|a |=5,|b |=25, 所以c ·a =5m +8,c ·b =8m +20. 因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角, 所以c ·a |c |·|a |=c ·b|c |·|b |, 即5m +85=8m +2025,解得m =2. 答案:2角度三:平面向量的垂直4.(2019·南宁模拟)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°,且|AB ―→|=3,|AC ―→|=2.若AP ―→=λAB ―→+AC ―→,且AP ―→⊥BC ―→,则实数λ的值为________.解析:由AP ―→⊥BC ―→,知AP ―→·BC ―→=0,即AP ―→·BC ―→=(λAB ―→+AC ―→)·(AC ―→-AB ―→)=(λ-1)AB ―→·AC ―→-λAB ―→2+AC ―→2=(λ-1)×3×2×⎝⎛⎭⎫-12-λ×9+4=0,解得λ=712. 答案:7125.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a -b |=2,求证:a ⊥b ;(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值. 解:(1)证明:由题意得|a -b |2=2, 即(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2. 又因为a 2=b 2=|a |2=|b |2=1, 所以2-2a ·b =2, 即a ·b =0,故a ⊥b .(2)因为a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α+cos β=0,sin α+sin β=1,由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β。

平面向量基本概念及运算

平面向量基本概念及运算

第六章平面向量【知识框架】向量及基本概念 二向量的表示''几何意义向量的加法 < 运算律 向量的减法n 几何意义向量的线性运算运算律数乘向量』向量共线的条件平面向量基本定理• I'物理背景与集合意义向量的数量积《运算律性质向量的应用'向量在几何中的应用二平面几何和解析几何i向量在物理中的应用二位移、力学等6. 1向量的基本概念及基本运算(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的模 _(2 )特定大小或关系的向量T① 零向量:模为0的向量,记作 0,其方向是任意的② 单位向量:模为1个单位长度的向量③ 共线向量(平行向量):方向相同或相反的非零向量。

规定:零向量与任何向量共线 ④ 相等向量:模长相等且方向相同的向量⑤ 相反向量:模长相等但方向相反的向量。

规定:零向量的相反向量是它本身 2.向量的表示法① 字母表示法:如小写字母 a , b , c 等,或AB , CD 等 ② 几何表示法:用一条有向线段表示1. 向量的加法、减法(1 )法则:平行四边形法则、三角形法则 (2 )运算律:交换律、结合律 (3)几何意义:平面向量:向量线性运算的坐标表i 向量数量积的坐标表示知识点三:定理与公式1共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个实数’,使得b - ■ a2. 平面向量基本定理:女口果 0(2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数■ 1, '2,使a ='心一心色3 .三点共线定理:平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是:存在实数:■ J ,使得OA = -OB • IOC ,其中-■ - - -1 , 0为平面上任意一点 4.①平面内有任意三点。

、A 、B ,若M是线段AB的中点,则0M 冷0A 0B②ABC 中,M 为BC 边的中点,G 为重心,则 AB BC C^ 0 , GA GB 0③ 向量加法的多边形法则【自主学习】1. 以下命题中,正确命题的序号是 _________ (1 )若 a=b ,贝y a = b (2) 若a,b 都是单位向量,则a =b-fe-f —Ifc—*■—>rf(3) 若a = o,b 二 o,则a 二 b (4)若 a = b 且 a // b,则 a = b(5) 若四边形ABCD 是平行四边形,则 AB 二DC,BC 二DA2. 已知直线x +y =a 与圆x 2 +y 2 =4交于AB 两点,且 OA + OB = OA —OB 。

平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b =λa . 【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题: ①若|a |=|b |,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB →=DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ; ④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A .②③B .①②C .③④D .②④ [答案] A[解析] ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →=DC →,∴|AB →|=|DC →|且AB →∥DC →,又A ,B ,C ,D 是不共线的四点,∴四边形ABCD 为平行四边形;反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则|AB →|=|DC →|,AB →∥DC →且AB →,DC →方向相同,因此AB →=DC →.③正确.∵a =b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同,又b =c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故|a |=|b |且a ∥b 不是a =b 的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③. 【类题通法】1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.3.向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量a 与a |a |的关系:a|a |是与a 同方向的单位向量. 【对点训练】 给出下列六个命题:①若|a |=|b |,则a =b 或a =-b ; ②若AB →=DC →,则ABCD 为平行四边形; ③若a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b ; ④λ,μ为实数,若λa =μb ,则a 与b 共线; ⑤λa =0(λ为实数),则λ必为零;⑥a ,b 为非零向量,a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________. [答案] ①②③④⑤⑥[解析] ①不正确.|a |=|b |.但a ,b 的方向不确定,故a ,b 不一定是相等或相反向量;②不正确.因为AB →=DC →,A ,B ,C ,D 可能在同一直线上,所以ABCD 不一定是四边形.③不正确.两向量不能比较大小.④不正确.当λ=μ=0时,a 与b 可以为任意向量,满足λa =μb ,但a 与b 不一定共线.⑤不正确.当λ=1,a =0时,λa =0.⑥不正确.对于非零向量a ,b ,a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ,b 同向.考点二、平面向量的线性运算【例2】(1) 设D 为△ABC 所在平面内一点,AD →=-13AB →+43AC →,若BC →=λDC →(λ∈R ),则λ=( )A .2B .3C .-2D .-3(2)在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC →,则x =________;y =________.[答案] (1)D (2)12 -16[解析] (1)由AD →=-13AB →+43AC →,可得3AD →=-AB →+4AC →,即4AD →-4AC →=AD →-AB →,则4CD →=BD →,即BD →=-4DC →,可得BD →+DC →=-3DC →,故BC →=-3DC →,则λ=-3.(2)由题中条件得,MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →-AC →)=12AB →-16AC →=xAB →+yAC →,所以x =12,y =-16.【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.【对点训练】1.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点,点P 满足P A →+BP →+CP →=0,AP →=λPD →,则实数λ的值为________.[答案] -2[解析] 因为D 是BC 的中点,则AB →+AC →=2AD →.由P A →+BP →+CP →=0,得BA →=PC →. 又AP →=λPD →,所以点P 是以AB ,AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此AP →=AB →+AC →=2AD →=-2PD →,所以λ=-2.2.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC .若DE →=λ1AB →+λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.[答案] 12[解析] DE →=DB →+BE →=12AB →+23BC →=12AB →+23(AC →-AB →)=-16AB →+23AC →,∵DE →=λ1AB →+λ2AC →,∴λ1=-16,λ2=23,因此λ1+λ2=12.考点三、共线向量定理的应用【例3】(1)已知向量AB →=a +3b ,BC →=5a +3b ,CD →=-3a +3b ,则( ) A .A ,B ,C 三点共线 B .A ,B ,D 三点共线 C .A ,C ,D 三点共线 D .B ,C ,D 三点共线(2)已知向量a ,b 不共线,且c =λa +b ,d =a +(2λ-1)b ,若c 与d 共线反向,则实数λ的值为( )A .1B .-12C .1或-12 D .-1或-12[答案] (1) B (2) B[解析] (1)∵BD →=BC →+CD →=2a +6b =2(a +3b )=2AB →, ∴BD →,AB →共线,又有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线.故选B.(2)由于c 与d 共线反向,则存在实数k 使 c =k d (k <0),于是λa +b =k [a +(2λ-1)b ]. 整理得λa +b =k a +(2λk -k )b .由于a ,b 不共线,所以有⎩⎨⎧λ=k ,2λk -k =1,整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-12.又因为k <0,所以λ<0,故λ=-12.【类题通法】 共线向量定理的应用(1)证明向量共线:对于向量a ,b ,若存在实数λ,使a =λb ,则a 与b 共线. (2)证明三点共线:若存在实数λ,使AB →=λAC →,则A ,B ,C 三点共线. (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. 【对点训练】1.向量e 1,e 2不共线,AB →=3(e 1+e 2),CB →=e 2-e 1,CD →=2e 1+e 2,给出下列结论:①A ,B ,C 共线;②A ,B ,D 共线;③B ,C ,D 共线;④A ,C ,D 共线,其中所有正确结论的序号为________.[答案] ④[解析] 由AC →=AB →-CB →=4e 1+2e 2=2CD →,且AB →与CB →不共线,可得A ,C ,D 共线,且B 不在此直线上.2.设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ=________. [答案] 12[解析] ∵λa +b 与a +2b 平行,∴λa +b =t (a +2b ),即λa +b =t a +2t b ,∴⎩⎨⎧λ=t ,1=2t ,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=12,t =12.。

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平面向量
一、向量的相关概念
1、向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段(向量可以平移)。

如已知A (1,2),B (4,2),则把向量AB 按向量a =(-1,3)平移后得到的向量是_____(3,0)
2、向量的表示方法:用有向线段来表示向量. 起点在前,终点在后。

有向线段的长度表示向量的大小,用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ,b ,…或用AB ,BC ,…表示
(1) 模:向量的长度叫向量的模,记作|a |或|AB |.
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的;
(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±); (4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性。

(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量,记作:a ∥b ,规定零向量和任何向量平行。

提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重
合;③平行向量无传递性!(因为有0);④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线;
(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是-a 。

零向量的相反向量时零向量。

二、向量的线性运算
1.向量的加法:
(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
如图,已知向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB =a ,BC =b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC =+=。

AB BC CD DE AE +++=
特殊情况:a
b a
b a+b b
a a+
b (1)平行四边形法则三角形法则
C B D
C
B
A
对于零向量与任一向量a ,有 a 00+=+ a = a
(2)法则:____三角形法则_______,_____平行四边形法则______
(3)运算律:____ a +b =b +a ;_______,____(a +b )+c =a +(b +c )._______
当a 、b 不共线时,
2.向量的减法:
(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
已知向量a、b,求作向量
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法:在平面内取一点O,
作OA= a, OB= b, 则BA= a?b (指向被减
数)
即a?b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意:用“相反向量”定义法作差向量,a?b = a+(-b)
(?b)
显然,此法作图较繁,但最后作图可统一
a∥b∥c a ? b = a + (?b) a ?
b
3.实数与向量的积:
(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,
规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,λa与a平行.
(2)运算律:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.
特别提醒:
1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

2)向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得b=
λa,即b∥a⇔b=λa(a≠0).。

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