7.1 平面向量的概念及线性运算

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2020年高一下学期第1讲:平面向量的基本概念与线性运算(含解析)

2020年高一下学期第1讲:平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
3若a,b满足|a| |b|且a与b同向,贝y a b;
4若两个向量相等,则它们的起点和终点分另重合;
5若a//b,b//c,则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中,正确的是()
a.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E,设AB占,AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD;
…uuumu,亠
(2)若OE OA,求实数的值.
26.如图,已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点,且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及;
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,),则P的轨迹一定通过
ABC的()
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图,四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发,沿正方形
A点,其中
UUU
AP
UUL
AB
AE,下列判断正确的是()
3
|CB|,

AB BC,贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr

《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算

《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算

小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的;
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题:
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小,又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量. (3) 长度等于1的向量单位向量.
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量. [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量.
BC CD
(2) 证明:A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k,使k a+b和a+k b共线.
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同,当t= 时,
1 ab 三个向量 a , tb, 3


的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量.
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算

第1讲 平面向量的概念及线性运算

第1讲 平面向量的概念及线性运算
第五章 平面向量、复数
第1讲 平面向量的概念及线性运算
1
2
必备知识
核心考点
自主排查
师生共研
3
高 考 总 复 习
课标要求
考情分析
1.了解向量的实际背景,理解平面向量
的概念和两个向量相等的含义,理解向 虽然近两年在本讲没有直接命
量的几何表示.
题,但在考查其他知识点时,
2.掌握向量加法、减法的运算,理解其
形为(
A.平行四边形
)
B.菱形
C.矩形

D.梯形
解析:选C.因为 = −,可得 = ,所以四边形是平行四
边形.
又 − = + ,可得 = ,
所以平行四边形的对角线相等,
因此四边形是矩形.故选C.
37
高 考 总 复 习
A. +
B. −
C. −

)
D. +
解析:选C. = + = + = + ( − ) = − .
故选C.
高 考 总 复 习
3.(人教A版必修第二册P22T4改编)化简:

(1) − + + =____;
经常涉及向量的加法、减法及
几何意义.
数乘运算以及它们的几何意义.
3.掌握向量的数乘运算及其几何意义,
预计2025年高考仍会考查线性
理解两个向量共线的含义.
运算,题型以选择题、填空题
4.了解向量线性运算的性质及其几何意
为主,难度属中、低档.
义.
PART
1
必备知识
第五章
自主排查
5

高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思

高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析:本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习,是对学生所学知识的融通和运用,也是学生对学习平面向量的总结和探索。

正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。

二、学情分析:本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算,继续深入学习,是一节复习课。

学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识,,这为本节课的学习提供了一定的知识保障,在此基础上,本节课将继续加深学生对基础知识的理解,加强平面向量的线性运算,这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课.为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算,将采用多媒体课件进行演示,以提高学生的学习兴趣,使之能达到良好的教学效果。

三、教学目标:1、了解向量的实际背景;2、理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3、理解向量的几何表示;4、掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义;6、了解向量线性运算的性质及其几何意义;四、教学重点和教学难点:(一)教学重点:1、理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;2、理解向量的几何表示;3、掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义;5、了解向量线性运算的性质及其几何意义;(二)教学难点:平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具:多媒体、粉笔等。

六、教学过程:向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:abba+=+;(2)结合律:cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量-b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格,布置任务学生加深学生对新知识的理解共线.其中错误说法的序号是________. 考点二 平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1.在△ABC 中,D 为AB 的中点,点E 满足EC EB 4=,则ED = ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2.在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =3DC ,E 为BC 的中点,则AE 等于 ( )A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3.在△ABC 中,AB =2,BC =3,∠ABC =60°,AD 为BC 边上的高,O 为AD 的中点,若BC AB AO μλ+=,其中λ,μ∈R ,则λ+μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成,并回答问题培养学生语音表达能力,激发学生七、板书设计:平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一:2、向量的线性运算考点二:3、共线向量定理考点三:八、教学反思:总体情况良好,基本满意,大多数学生可以换换掌握!九、作业反馈:分析作业中存在的问题,查找原因,并进行总结和反馈。

中职数学 下册 课件-第七章 平面向量

中职数学 下册 课件-第七章 平面向量
第七章 平面向量
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算
7.2平面向量的坐标表示 7.2.1平面向量的坐标 7.2.2向量线性运算的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示
7.3平面向量的内积 7.2.1平面向量的内积 7.2.2内积的坐标表示
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地,设向量a与向量b不共线,在平面上任取一点A
依次作 AB a,BC b,则向量AC 叫做向量a与向量b的和,
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
数量
向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
【新知识】向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
a 始点
终点
始点
终点
A
B
a 用字母表示 AB, 或
始点
终点
1【.向(模新量)表知的示大识:小】(模向| A)量B: | 的向或有量| a关A|B概或念a 的大小
向量是不能比较大小的,但
向量的模是可以进行大小比较的.
a
| a || b | √
b
a b
×
2.两个基本向量:
零向量: 模 为零的 向量(方向不确定). 表示: 0, | 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km, 另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km, 两架飞机的位移相同吗?分别用有向线段表示两架 飞机的位移.
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算

平面向量的概念及线性运算-高考数学复习

平面向量的概念及线性运算-高考数学复习

相反 的向量;
目录
(6)平行向量:方向相同或
相反 的非零向量,也叫做共线向
量,规定:零向量与任意向量平行.
提醒
单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相
同;与向量 a 平行的单位向量有两个,即向量

||

||
和-
.
目录
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量
b =5( a + b )=5 ,∴ , 共线.
又它们有公共点 B ,∴ A , B , D 三点共线.
目录
(2)试确定实数 k ,使 ka + b 和 a + kb 共线.
解:∵ ka + b 与 a + kb 共线,
∴存在实数λ,使 ka + b =λ( a + kb ),即 ka + b =λ a +λ kb ,
=(

目录
1
解析:如图所示,∵ D 为 BC 的中点,∴ = ( +
2
2
1
1
),∵ =2 ,∴ = = + ,
3
3
3
1பைடு நூலகம்
1
1
∴ = - = -( + )=- +
3
3
3
2
,故选A.
3
目录
解题技法
目录
1.
1
若 P 为线段 AB 的中点, O 为平面内任一点,则 = ( +
2
).
2.
1
若 G 为△ ABC 的重心,则 + + =0; = ( +
3
).
3. =λ +μ (λ,μ为实数),若点 A , B , C 共线,则λ

平面向量的概念及其线性运算

平面向量的概念及其线性运算
Page 12
答案 ②③
12
探究提高 关键. 关键.
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的 正确理解向量的相关概念及其含义是解题的
(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. 相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性 . 相等向量具有传递性 (3)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. 共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. 共线向量即为平行向量 (4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解 向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量. 向量可以平移 题时,不要把它与函数图象移动混为一谈. 题时, 不要把它与函数图象移动混为一谈. a a (5)非零向量 a 与 的关系是: 是 a 方向上的单位向量. 的关系是: 方向上的单位向量. 非零向量 |a| |a|
Page 17
17
→ =2AB, → 变式训练 2 △ ABC 中,AD 3 DE∥BC 交 AC 于 E,BC 边上的中 ∥ , 线 AM 交 DE 于 N.设AB= a,AC= b, 设→ ,→ , 用 a、b 表示向量 → 、BC、DE、DN、 、 表示向量AE → → → → → AM、AN.
Page 6
6
基础自测 → 的结果等于________. → 1.化简 → - QP+MS-MQ的结果等于 OS .化简OP → → .
→ → → → → → → → 解析 OP-QP+MS-MQ=OP+PQ-(SM+MQ) → → → → → =OQ-SQ=OQ+QS=OS.
2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定 不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量;
记作 0 非零向量 a 的单位向 a 量为± 量为 |a| 0 与任一向量平行或

平面向量的线性运算

平面向量的线性运算

平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。

平面向量之间可以进行线性运算,包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。

本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。

一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中,向量由两个有序实数对表示,分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

设向量 a 的分量为 (a1, a2),则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j,其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。

二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j, b = b1i + b2j,其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。

向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。

三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j, b = b1i + b2j,其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。

向量的减法也满足交换律和结合律。

四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j,实数 k,k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。

数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。

五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b,当且仅当存在实数 k,使得 a = kb,称向量 a 和 b 共线。

若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反,则称向量 a 和b 平行。

2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an,其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。

对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn,向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。

3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3,使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0,称向量组 a1, a2, a3 共面。

平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算
一、平面向量的线性运算(三角形重心问题)
例 1、在△ABC 中,D、E 分别为 BC,AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE,设
AB a , AC b ,试用 a , b 表示 AD , AG 。
变式 1: (2007 年高考北京卷)已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且
2OA OB OC 0 ,那么(
A、 AO OD
) C、 AO 3OD D、 2 AO OD )
B、 AO 2OD
变式 2:G 为△ABC 内一点,且满足 GA GB GC 0 ,则 G 为△ABC 的( A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
变式 3:若 OA OB OC 0 ,且 OA OB OC ,则△ABC 是
D、
4 3 a b 5 5
AB AC m AM 成立,则 m=
A、5 B、4 C、3 D、2 变式 6:在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 CB a , CA b , a 1 ,
b 2 ,则 CD =(
A、 a
) B、
1 3
2 b 3
2 1 a b 3 3
C、
3 4 a b 5 5
三角形;
变 式 4 : 设 G 是 ABC 的 重 心 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 , 若
3 aGA bGB cGC 0 则角 A ( 3 A、 90 B、 60
) C、 45


D、 30

变 式 5 : 已 知 △ ABC 和 点 M 满 足 MA MB MC 0 , 若 存 在 实 数 m 使 得

平面向量的概念及线性运算(基础)-教案

平面向量的概念及线性运算(基础)-教案

学员编号:年级:高一课时数:3学员姓名:辅导科目:数学学科教师:授课主题第07讲---平面向量的概念及线性运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解向量、向量的相等、共线向量等概念;②掌握向量、向量的相等、共线向量等概念;③熟练掌握向量的线性运算法则:加法法则,减法法则,数乘法则。

授课日期及时段T(Textbook-Based)——同步课堂*创设情境兴趣导入如图7-1所示,用100N①的力,按照不同的方向拉一辆车,效果一样吗?图7-1一、平面向量的概念:1、平面向量:在数学与物理学中,有两种量.只有大小,没有方向的量叫做数量(标量),例如质量、时间、温度、面积、密度等.既有大小,又有方向的量叫做向量(矢量),例如力、速度、位移等.平面上带有指向的线段(有向线段)叫做平面向量,线段的指向就是向量的方向,线段的长度表示向量的大小.如图7-2所示,有向线段的起点叫做平面向量的起点,有向线段的终点叫做平面向量的终点.以A为起点,B为终点的向量记作AB.也可以使用小写英文字母,印刷用黑体表示,记作a;手写时应在字母上面加箭头,记作a.2、向量的模长:向量的大小叫做向量的模.向量a,AB的模依次记作a,AB.3、零向量:长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的.知识梳理aAB图7-2、平行四边形法则:如图7-4所示,这说明,在平行四边形ABCD aa起点相同的两个向量a、b,其差a-b仍然是一个向量,的终点,终点是被减向量a的终点.()()3a a a λμλμ+=+ ;()()a b a b λλλ+=+4 .考点一:平面向量的基本概念 例1、给出下列六个命题:① 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ② 若|a |=|b |,则a =b ;③ 若AB →=DC →,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形; ④ 在ABCD 中,一定有AB →=DC →; ⑤ 若m =n ,n =p ,则m =p ; ⑥ 若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 其中错误的命题有________.(填序号)【解析】两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点,故①不正确;|a |=|b |,由于a 与b 方向不确定,所以a 、b 不一定相等,故②不正确;AB →=DC →,可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况,所以③不正确;零向量与任一向量平行,故a ∥b ,b ∥c 时,若b =0,则a 与c 不一定平行,故⑥不正确.故答案为①②③⑥;例2、在平行四边形ABCD 中(图7-5),O 为对角线交点.(1)找出与向量DA 相等的向量; (2)找出向量DC 的负向量;(3)找出与向量AB 平行的向量.【解析】要结合平行四边形的性质进行分析.两个向量相等,它们必须是方向相同,模相等;两个向量互为负向量,它们必须是方向相反,模相等;两个平行向量的方向相同或相反.解: 由平行四边形的性质,得(1)CB =DA ;(2)BA =DC -,CD DC =-;(3)BA //AB ,DC //AB ,CD //AB . 考点二:平面向量的线性表示例1、一艘船以12 km/h 的速度航行,方向垂直于河岸,已知水流速度为5 km/h ,求该船的实际航行速度.典例分析ADCB图7-5O【解析】如图7-10所示,AB 表示船速,AC 为水流速度,由向量加法的平行四边形法则,AD 是船的实际航行速度,显然22AD AB AC =+=22125+=13.又512tan =∠CAD ,利用计算器求得6723CAD '∠≈︒. 即船的实际航行速度大小是13km/h ,其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒.例2、 用两条同样的绳子挂一个物体(图7-11).设物体的重力为k ,两条绳子与垂线的夹角为θ,求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小. 【解析】利用平行四边形法则,可以得到1212cos F F F k +==θ,所以 12cos k F =θ.例3、已知如图7-14(1)所示向量a 、b ,请画出向量a -b .【解析】如图7-14(2)所示,以平面上任一点O 为起点,作OA =a ,OB =b ,连接BA ,则向量BA 为所求的差向量,即BA = a -b .例4、在平行四边形ABCD 中,O 为两对角线交点如图7-16,AB =a ,AD =b ,试用a , b 表示向量AO 、OD .求出向量AC 与【解析】因为12AO AC =,12OD BD =,所以需要首先分别BD .AC =a +b ,BD =b −a ,BbOaAba(1)(2)图7-14ABD CF 1F 2kθ 图7-11图7-16因为O 分别为AC ,BD 的中点,所以 1122==AO AC (a +b )=12a +12b ,OD =12BD =12(b −a )=−12a +12b . 例5、平行四边形OADB 的对角线交点为C ,BM →=13BC →,CN →=13CD →,OA →=a ,OB →=b ,用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.【解析】BA →=a -b ,BM →=16BA →=16a -16b ,OM →=OB →+BM →=16a +56b .OD →=a +b ,ON →=OC →+CN →=12OD →+16OD→=23OD →=23a +23b .MN →=ON →-OM →=12a -16b . 考点三:共线向量例1、设两个非零向量a 与b 不共线.(1) 若AB →=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ).求证:A 、B 、D 三点共线; (2) 试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.【解析】(1) 证明:∵ AB →=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ),∴ BD →=BC →+CD →=2a +8b +3(a -b )=5(a +b )=5AB →. ∴ AB →,BD →共线.又它们有公共点B ,∴ A 、B 、D 三点共线. (2) 解:∵ k a +b 与a +k b 共线, ∴ 存在实数λ,使k a +b =λ(a +k b ), 即(k -λ)a =(λk -1)b .又a 、b 是两不共线的非零向量, ∴ k -λ=λk -1=0. ∴ k 2-1=0.∴ k =±1.例2、已知a 、b 是不共线的向量,AB →=λa +b ,AC →=a +μb (λ、μ∈R ),当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________.【解析】由AB →=λa +b ,AC →=a +μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →=tAC →,所以λa +b =t(a +μb )=t a+tμb ,即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ=t ,1=tμ,所以λμ=1.考点四:向量共线的应用例1、如图所示,设O 是△ABC 内部一点,且OA →+OC →=-2OB →,则△AOB 与△AOC 的面积之比为________. 【解析】如图所示,设M 是AC 的中点,则OA →+OC →=2OM →. 又OA →+OC →=-2OB →, ∴ OM →=-OB →, 即O 是BM 的中点, ∴ S △AOB =S △AOM =12S △AOC ,即S △AOB S △AOC =12. 例2、如图,△ABC 中,在AC 上取一点N ,使AN =13AC ;在AB 上取一点M ,使得AM =13AB ;在BN的延长线上取点P ,使得NP =12BN ;在CM 的延长线上取点Q ,使得MQ →=λCM →时,AP →=QA →,试确定λ的值.【解析】∵AP →=NP →-NA →=12(BN →-CN →)=12(BN →+CN →)=12BC →, QA →=MA →-MQ →=12BM →+λMC →,又∵AP →=QA →,∴12BM →+λMC →=12BC →,即λMC →=12MC →,∴λ=12.P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1.在下列判断中,正确的是( )①长度为0的向量都是零向量; ②零向量的方向都是相同的; ③单位向量的长度都相等; ④单位向量都是同方向; ⑤任意向量与零向量都共线. A .①②③ B .②③④ C .①②⑤D .①③⑤【解析】由定义知①正确,②由于两个零向量是平行的,但不能确定是否同向,也不能确定是哪个具体方向,故不正确.显然,③、⑤正确,④不正确,所以答案是D. 2.向量(AB →+MB →)+(BO →+BC →)+OM →等于( )A .BC →B .AB →C .AC →D .AM →【解析】原式=AB →+BC →+MB →+BO →+OM →=AC →+0=AC →;故选C 。

平面向量的概念及线性运算教案

平面向量的概念及线性运算教案

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标:(1)了解向量、向量的相等、共线向量等概念; (2)掌握向量、向量的相等、共线向量等概念. 能力目标:通过这些内容的学习,培养学生的运算技能与熟悉思维能力.【教学重点】向量的线性运算.【教学难点】已知两个向量,求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件.【教学设计】从“不同方向的力作用于小车,产生运动的效果不同”的实际问题引入概念. 向量不同于数量,数量是只有大小的量,而向量既有大小、又有方向.教材中用有向线段来直观的表示向量,有向线段的长度叫做向量的模,有向线段的方向表示向量的方向.数量可以比较大小,而向量不能比较大小,记号“a >b ”没有意义,而“︱a ︱>︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例,借助于位移来引入向量的加法运算.向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上,通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b ),它可以通过几何作图的方法得到,即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时,必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ,是数乘运算,其结果记作λa ,它是一个向量,其方向与向量a 相同,其模为a 的λ倍.由此得到λ⇔=a b a b ∥.对向量共线的充要条件,要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7-1所示,用100N①的力,按照不同的方向拉一辆车,效果一样吗?图7-1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中,有两种量.只有大小,没有方向的量叫做数量(标量),例如质量、时间、温度、面积、密度等.既有大小,又有方向的量叫做向量(矢量),例如力、速度、位移等.平面上带有指向的线段(有向线段)叫做平面向量,线段的指向就是向量的方向,线段的长度表示向量的大小.如图7-2所示,有向线段的起点叫做平面向量的起点,有向线段的终点叫做平面向量的终点.以A为起点,B为终点的向量记作AB.也可以使用小写英文字母,印刷用黑体表示,记作a;手写时应在字母上面加箭头,记作a.图7-2向量的大小叫做向量的模.向量a,AB的模依次记作a,AB.模为零的向量叫做零向量.记作0,零向量的方向是不确定的.总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN,它们所在的直线平行,两个向量的方向相同;向量CD与PQ所在的直线平行,两个AB与MN,方向相同,模相等;平HG与TK,方向相反,模相等.我们所研究的向量只有大小与方向两个要素.的模相等并且方向相同时,称向量b.也就是说,向量可以在平面内任意平移,具有这种性质的向量叫做自由向量.AB = MN ,GH = -TK . ABCD 中(图7-5),O 为对角线交点DA 相等的向量; DC 的负向量;)找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析.两个向量相等,它们必须是方向相同,模相等;两个向量互为负向量,它们必须是方向相反,模相等;两个平行向量的方向相同或相反.CB =DA ;BA =DC -,CD DC =-; BA //AB ,DC //AB ,CD //AB . 强化练习如图,∆ABC 中,D 、E 、F 分别是三边的中点,试写EF 相等的向量;AD 共线的向量OC 相等的向量;)OC 的负向量;OC 共线的向量.巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC .AB =a , BC =b ,则向量AC 叫做向量+b ,即b =AB +BC =AC (求向量的和的运算叫做向量的加法.上述求向量的和的方三角形法则.可以看到:依照三角形法则进行向量abaAD=BC,AB+AD=AB+BC=AC这说明,在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和.这种求和向量加法的平行四边形法则.平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法具有以下的性质:总结归纳AB表示船速,AC 为水流速度,由向量加法的平行四边形法则,AD 是船的实际航行速度,显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ,利用计算器求得6723'≈︒1.即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒.过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21.如图,已知a,b,求a+b.2.填空(向量如图所示):(1)a+b =_____________ ,(2)b+c =_____________ ,(3)a+b+c =_____________ .3.计算:(1)AB+BC+CD;(2)OB+BC+CA.启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候,减去一个数可以看作加上这个数的相反数.质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似,可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差.即总结归纳(图1-15)bbaa (1)(2)第1题图=OA,b OB,则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=.()=-=BA(7.OA OB观察图7-13可以得到:起点相同的两个向量a、b,b仍然是一个向量,叫做a与b的差向量,其起点是减的终点,终点是被减向量a的终点.OA=a,OB=b,连接BA为所求的差向量,即BA= a-b .【想一想】当a与b共线时,如何画出 b .*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间(2)BC BA -=______________, (3)OD OA -=______________.2.如图,在平行四边形ABCD 中,设AB = a ,AD = b ,试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB .启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7-15可以看出,向量OC 与向量a 共线,并且OC =3a .图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的模为||||||a a λ=λ (7.3) 若||λ≠a 0,则当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同,当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反.由上面定义可以得到,对于非零向量a 、b ,当0λ≠时,有 λ⇔=a b a b ∥ (7.4)一般地,有 0a = 0,λ0 = 0 .数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算,容易验证,对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、,向量数乘运算满足如下的法则:()()111=-=-a a a a , ;()()()()2a a a λμλμμλ== ;()()3a a a λμλμ+=+ ;()()a b a b λλλ+=+4 . 【做一做】请画出图形来,分别验证这些法则.向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似,因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形,可直接应用于向量的运算中.但是,要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的.仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中,O 为两对角线交点如图7-16,AB =a ,AD =b ,试用a , b 表示向量AO 、OD .分析 因为12AO AC =,12OD BD =,所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC+b ,BD =b −a ,=a 因为O 分别为AC ,BD 的中点,所以1122==AO AC (a +b )=12a +12b ,强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7-16OD=12BD=12(a+12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa+μb叫做a, b的一个.如果l =λa+μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA,使OA=12(向量、向量的模、向量相等是如何定义的?向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB.a与向量的模相等并且方向相同时,称向量相等,记作*归纳小结本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?过程AB+BC+CD;(OB+BC+CA.活动探究读书部分:教材书面作业:教材习题7.A组(必做);7.1 B 【教师教学后记】。

平面向量的基本概念及线性运算 教案

平面向量的基本概念及线性运算 教案
【教学建议】
一.易忽视零向量这一特殊向量
二.准确理解向量的基本概念是解决类题目的关键.1.相等向量具有传递性,非零向量平行也具有传递性.共线向量平行向量和相等向量均与向量的起点无关.
三.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念,向量只有两个要素:大小、方向;而有向线段有三个要素:起点、方向、长度.
四.进行向量的线性运算时,要尽可能转化到三角形或平行四边形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来解.
对于B,由题意得 ,又 ,所以 共线,从而得到A、B、D三点共线,故B正确.
对于C,由题意得 ,又 ,所以 不共线,故A、C、D三点不共线,所以C不正确.
对于D,由题意得 不共线,所以B、C、D三点不共线.
故选B.
3.设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=________.
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.
巧用系数判共线
=λ +μ (λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1;反之,也成立.
【题干】给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量 与 相等.则所有正确命题的序号是()
A.①B.③C.①③D.①②
【题干】如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若 =λ +μ (λ,μ∈R),则λ+μ等于()
A.1B. C. D.
【答案】B
【解析】∵E+ =λ +μ ,
∴λ+μ= + = .
【题干】设平面向量 不共线,若 = +5 , =-2 +8 , =3( ),则
平面向量的基本概念及线性运算
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《平面向量的概念及线性运算》教学反思

《平面向量的概念及线性运算》教学反思

《平面向量的概念及线性运算》教学反思本节课主要是要让学生理解平面向量的基本概念:向量、有向线段、零向量、单位向量、平行(共线)向量、相等向量、相反向量;掌握基本方法:向量加法的三角形法则、平行四边形法则、向量的减法法则、数乘向量的运算法则。

因为向量知识比较抽象,就像学生说的有点“横空出世”,很难想到,学生容易产生厌烦的情绪。

建议:1、借助图形帮助学生理解,把抽象的问题转化为形象具体的问题;2、向量有两种表示方法:即有向线段和字母法,但是书写时必须加箭头,必须强调这一点。

7.2平面向量的坐标表示反思:本节课主要是要让学生理解向量坐标化的意义,并且能熟练掌握平面向量的坐标运算。

向量的坐标表示比较好理解,所以课上没有太多问题。

只是课上和学生的交流太少,几乎都是自己在讲,而且学生的呼应不够,有时候问他们,并没有多少人会回答。

建议:1.在表示向量时要注意与表示点的坐标的区别,前者有等号连接,后者无等号,这点要向学生强调;2.必须强化“数形结合”的思想;3.多和学生进行眼神交流。

4.讲解速度可以放慢一点。

7.3平面向量的内积反思:本节课主要是①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②理解平面向量夹角的定义和内积运算公式;③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

由于公式比较多,学生有点消化良;学生对数量积的性质、运算律不够灵活应用。

建议:1、讲课速度放慢点,花多点时间放在练习上。

让学生熟练数量积的性质、运算律的应用,发展学生从特殊到一般的能力,培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

2、鼓励学生积极参与到课堂中来。

第七章反思和体会向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。

由于平面向量理论性强,内容抽象,解题方法独特。

高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1

高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1

【例2】:如图,设O是正六边形的中心,分别写 出图中与向量 、 相等的向量, OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解:
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题:
(1)若a = b, b = c,则a = c。
两个向量a、 b,其差a − b仍然是一
个向量,其起点是减向量b的终点,
B b O a
A
终点是被减向量a的终点.
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法:在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点;2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则:
多个向量相加, 如:AB BC CD DE EF AF ,
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定:零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量:长度相等且方向相反的向量。

平面向量的概念及线性运算知识点讲解+例题讲解(含解析)

平面向量的概念及线性运算知识点讲解+例题讲解(含解析)

平面向量的概念及线性运算一、知识梳理1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.结论:(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→+OB →+OC →=0;(2)四边形ABCD 中,E 为AD 的中点,F 为BC 的中点,则AB→+DC →=2EF →;(3)对于平面上的任一点O ,OA →,OB →不共线,满足OP →=xOA →+yOB →(x ,y ∈R ),则P ,A ,B 共线⇔x +y =1.二、例题精讲 + 随堂练习考点一 平面向量的概念【例1】 (1)设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使a |a |+b|b |=0成立的是( ) A.a =2b B.a ∥b C.a =-13bD.a ⊥b解析 (1)由a |a |+b |b |=0得a |a |=-b |b |≠0,即a =-b|b |·|a |≠0,则a 与b 共线且方向相反,因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时,能使a |a |+b|b |=0成立.对照各个选项可知,选项A 中a 与b 的方向相同;选项B 中a 与b 共线,方向相同或相反;选项C 中a 与b 的方向相反;选项D 中a 与b 互相垂直.(2)给出下列四个命题: ①若|a |=|b |,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB →=DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件; ③若a =b ,b =c ,则a =c ; ④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③B.①②C.③④D.②④解析:(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →=DC →,∴|AB →|=|DC →|且AB →∥DC →,又A ,B ,C ,D 是不共线的四点,∴四边形ABCD 为平行四边形;反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则|AB →|=|DC→|, AB→∥DC →且AB →,DC →方向相同,因此AB →=DC →. ③正确.∵a =b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同,又b =c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故|a |=|b |且a ∥b 不是a =b 的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A【训练1】 (1)如图,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P ,点E ,F 分别在两腰AD ,BC 上,EF 过点P ,且EF ∥AB ,则下列等式中成立的是( )A.AD →=BC →B.AC →=BD →C.PE→=PF →D.EP→=PF → (2)给出下列说法:①非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件; ②若AB→与BC →共线,则A ,B ,C 三点在同一条直线上; ③a 与b 是非零向量,若a 与b 同向,则a 与-b 反向; ④设λ,μ为实数,若λa =μb ,则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________.解析 (1)根据相等向量的定义,分析可得AD→与BC →不平行,AC →与BD →不平行,所以AD→=BC →,AC →=BD →均错误,PE →与PF →平行,但方向相反也不相等,只有EP →与PF →方向相同,且大小都等于线段EF 长度的一半,所以EP→=PF →.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确,④错误. 答案 (1)D (2)④考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量的线性运算【例2-1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →=( ) A.34AB →-14AC → B.14AB →-34AC →C.34AB →+14AC →D.14AB →+34AC →解析 ∵E 是AD 的中点,∴EA →=-12AD →,∴EB→=EA →+AB →=-12AD →+AB →, 又知D 是BC 的中点, ∴AD→=12(AB →+AC →), 因此EB→=-14(AB →+AC →)+AB →=34AB →-14AC →. 答案 A角度2 利用向量线性运算求参数【例2-2】 (1)如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE→=λBA →+μBD →(λ,μ∈R ),则λ+μ等于( )A.1B.34C.23D.12解析 (1)∵E 为线段AO 的中点,∴BE→=12BA →+12BO →=12BA →+12×12BD →=12BA →+14BD →=λBA →+μBD →, ∴λ+μ=12+14=34.(2)在锐角△ABC 中,CM→=3MB →,AM →=xAB →+yAC →(x ,y ∈R ),则x y =________.解析:(2)由题设可得AM→=CM →-CA →=34CB →+AC →=34(AB →-A C →)+AC→=34AB →+14AC →, 则x =34,y =14.故x y =3. 答案 (1)B (2)3【训练2】 (1)如图所示,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB→=a ,AC →=b ,则AD →=( )A.a -12b B.12a -bC.a +12bD.12a +b解析 (1)连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点, 得CD ∥AB 且CD→=12AB →=12a ,所以AD→=AC →+CD →=b +12a .(2)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC .若DE →=λ1AB →+λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________. 解析:(2)DE→=DB →+BE →=12AB →+23BC → =12AB →+23(AC →-AB →)=-16AB →+23AC →, ∵DE →=λ1AB →+λ2AC →,∴λ1=-16,λ2=23, 因此λ1+λ2=12. 答案 (1)D (2)12考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB→=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ).求证:A ,B ,D 三点共线; (2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.(1)证明 ∵AB→=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ).∴BD →=BC →+CD →=2a +8b +3(a -b )=2a +8b +3a -3b =5(a +b )=5AB →.∴AB →,BD →共线,又它们有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线.(2)解 ∵k a +b 与a +k b 共线,∴存在实数λ, 使k a +b =λ(a +k b ),即k a +b =λa +λk b , ∴(k -λ)a =(λk -1)b .∵a ,b 是不共线的两个非零向量, ∴k -λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k =±1.【训练3】 (1)已知a ,b 是不共线的向量,AB →=λa +b ,AC →=a +μb ,λ,μ∈R ,则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1D.λμ=1(2)已知A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式x 2OA →+xOB →+BC →=0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{0} B.∅ C.{-1}D.{0,-1}解析 (1)因为A ,B ,C 三点共线,所以AB →∥AC →,设AB →=mAC →(m ≠0),则λa +b =m (a +μb ),所以⎩⎨⎧λ=m ,1=mμ,所以λμ=1.(2)法一 若要x 2OA →+xOB →+BC →=0成立,BC →必须与x 2OA →+xOB →共线,由于OA →-OB→=BA →与BC →共线,所以OA →和OB →的系数必须互为相反数,则x 2=-x ,解得x =0或x =-1,而当x =0时,BC →=0,此时B ,C 两点重合,不合题意,舍去.故x=-1.法二 ∵BC→=OC →-OB →,∴x 2OA →+xOB →+OC →-OB →=0,即OC→=-x 2OA →-(x -1)OB →,∵A ,B ,C 三点共线, ∴-x 2-(x -1)=1,即x 2+x =0,解得x =0或x =-1.当x =0时,x 2OA →+xOB →+BC→=0,此时B ,C 两点重合,不合题意,舍去.故x =-1. 答案 (1)D (2)C三、课后练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .( )(3)向量AB→与向量CD →是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上.( )(4)当两个非零向量a ,b 共线时,一定有b =λa ,反之成立.( ) 解析 (2)若b =0,则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a ,b 都是单位向量,则a =b ;③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )A.①B.③C.①③D.①②解析 根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量AB →与BA →互为相反向量,故③错误. 答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OA →+OB →+OC →+OD →等于( ) A.OM → B.2OM → C.3OM→D.4OM→ 解析 OA →+OB →+OC →+OD →=(OA →+OC →)+(OB →+OD →)=2OM →+2OM →=4OM →. 答案 D4.(2019·东莞调研)如图所示,已知AC →=3BC →,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,则下列等式中成立的是( )A.c =32b -12aB.c =2b -aC.c =2a -bD.c =32a -12b解析 因为AC →=3BC →,OA →=a ,OB →=b ,所以OC →=OA →+AC →=OA →+32AB →=OA →+32(OB→-OA →)=32OB →-12OA →=32b -12a . 答案 A5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →=12BC →且|AB →|=|DC →|,则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形解析 因为AD →=12BC →,所以AD →∥BC →,且|AD →|=12|BC →|,所以四边形ABCD 为以AD 为上底,BC 为下底的梯形.又|AB →|=|DC →|,所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形. 答案 A6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量,且向量a +λb 与-(b -2a )共线,则λ=________.解析 依题意知向量a +λb 与2a -b 共线,设a +λb =k (2a -b ),则有(1-2k )a +(k +λ)b =0,所以⎩⎨⎧1-2k =0,k +λ=0,解得k =12,λ=-12. 答案 -127.已知点O ,A ,B 不在同一条直线上,点P 为该平面上一点,且2OP →=2OA →+BA →,则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →=2OA →+BA →,所以2AP →=BA →,所以点P 在线段AB 的反向延长线上,故选B.8.(2019·青岛二模)设D ,E ,F 分别为△ABC 三边BC ,CA ,AB 的中点,则DA →+2EB →+3FC →=( ) A.12AD →B.32AD →C.12AC →D.32AC →解析 因为D ,E ,F 分别为△ABC 三边BC ,CA ,AB 的中点,所以DA →+2EB →+3FC→=12(BA →+CA →)+2×12(AB →+CB →)+3×12×(AC →+BC →)=12BA →+AB →+CB →+32BC →+32AC →+12CA →=12AB →+12BC →+AC →=12AC →+AC →=32AC →. 答案 D9.已知△ABC 和点M 满足MA →+MB →+MC →=0,若存在实数m 使得AB →+AC →=mAM →成立,则m =________.解析 由已知条件得MB →+MC →=-MA →,如图,延长AM 交BC 于D 点,则D 为BC 的中点.同理E ,F 分别是AC ,AB 的中点,因此点M 是△ABC 的重心, ∴AM →=23AD →=13(AB →+AC →),则m =3.10.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量,AB →=3e 1+2e 2,CB →=k e 1+e 2,CD →=3e 1-2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为________. 解析 由题意,A ,B ,D 三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB→=λBD →. 又AB →=3e 1+2e 2,CB →=k e 1+e 2,CD →=3e 1-2k e 2,所以BD →=CD →-CB →=3e 1-2k e 2-(k e 1+e 2)=(3-k )e 1-(2k +1)e 2,所以3e 1+2e 2=λ(3-k )e 1-λ(2k +1)e 2, 又e 1与e 2不共线,所以⎩⎨⎧3=λ(3-k ),2=-λ(2k +1),解得k =-94.11.在△ABC 中有如下结论:“若点M 为△ABC 的重心,则MA →+MB →+MC →=0.”设a ,b ,c 分别为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,点M 为△ABC 的重心. 若aMA →+bMB→+33cMC →=0,则内角A 的大小为________,当a =3时,△ABC 的面积为________.解析 由aMA →+bMB →+33cMC →=aMA →+bMB →+33c (-MA →-MB →)=⎝⎛⎭⎪⎫a -33c MA →+⎝⎛⎭⎪⎫b -33c MB →=0,且MA →与MB →不共线,∴a -33c =b -33c =0,∴a =b =33c .△ABC 中,由余弦定理可求得cos A =32,∴A =π6.若a =3,则b =3,c =33,S △ABC =12bc sin A =12×3×33×12=934.答案 π6 934。

平面向量的概念及其线性运算

平面向量的概念及其线性运算

辅导讲义课 题平面向量的概念及其线性运算教学内容一、知识梳理1、向量的有关概念及表示方法 (1)向量的有关概念 名称 定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)零向量 长度为0的向量;其方向是任意的 记作0单位向量 长度等于1个单位的向量平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量 平行向量双叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为0(2)向量的表示方法①字母表示法,如:,a AB等; ②几何表示法:用一条有向线段表示向量。

2、向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a b b a +=+ 。

(2)结合律:()()a b c a b c ++=++减法求a 与b的相反向量b -的和的运算叫做a 与b的差数乘求实数λ与向量a的积的运算(1).a a λλ=(2)当λ>0时,a λ 与a 的方向相同;当λ<0时, a λ 与a 的方向相反;当λ=0时, a λ =0()();a a λμλμ=();a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ+=+注:式子2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+ 的几何意义为:平行四边形两条对角线的平方和等于它们四条边的平方和。

3、向量(0)a a ≠ 与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ,使.b a λ=注:用向量法证明三点A 、B 、C 共线时,首先求出AB AC 、,然后证明AB AC λ=,即AB AC 与共线即可。

方法提示:①数学中研究的向量是自由向量:两个向量只要它们的模相等、方向相同,它们就是相等向量,而与它们的起点在哪里没有关系。

这就为我们应用向量带来方便,可以任意选取有向线段的起点,可以把向量自由平移。

②向量的线性运算规律:向量的加减法都可以推广到若干个向量间进行。

平面向量的概念与线性运算知识点

平面向量的概念与线性运算知识点

平面向量的概念与线性运算知识点平面向量是二维空间中的量,可以看作是带有方向和长度的箭头。

它通常用有序数对表示,即(x,y)。

其中,x称为向量的横坐标,y称为向量的纵坐标。

平面向量可以进行很多运算,其中包括线性运算,即向量的加法和数乘。

1.向量的加法:向量的加法定义为:对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂),它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。

加法满足以下性质:-交换律:A+B=B+A-结合律:(A+B)+C=A+(B+C)-零向量:对于任意向量A,存在一个零向量0,使得A+0=0+A=A2.向量的数乘:向量的数乘定义为:对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k,它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。

数乘满足以下性质:- 结合律:k*(l*A) = (kl)*A-1的作用:1*A=A-0的作用:0*A=0除了加法和数乘外,还可以进行向量的减法和向量的数量积。

3.向量的减法:向量的减法定义为:对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂),它们的差定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。

减法满足以下性质:-A-A=04.向量的数量积:向量的数量积(也称为内积、点积)定义为:对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂),它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。

用符号表示为A·B。

数量积的性质:-交换律:A·B=B·A-结合律:(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-分配律:A·(B+C)=A·B+A·C向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得:A·B = ,A,,B,cosθ其中,A,和,B,分别表示向量A和向量B的长度,θ表示向量A和向量B之间的夹角。

除了上述基本概念和运算外,还有一些与平面向量相关的重要知识点,如向量的模、单位向量、向量的垂直和平行关系、共线与共点等等。

高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件

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a+b=λLeabharlann a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,
∴ λ-1=0 1+λ=0
,λ 无解,故假设不成立,即 a+b 与 a-b 不平行,故选 D.
错源二:向量有关概念理解不当
【例2】 如图,由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M,则集合M的元 素个数为________.
错解:正方体共有12条棱,每条棱可以表示两个向量,一共有24个向量.答案是24. 错解分析:方向相同长度相等的向量是相等向量,故AA1―→=BB1―→=CC1―→ = DD1―→ , AB―→ = DC―→ = D1C1―→ = A1B1―→ , AD―→ = BC―→ = B1C1―→=A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了. 正解:12条棱可以分为三组,共可组成6个不同的向量,答案是6. 答案:6
错解分析:错解一,忽视了 a≠0 这一条件.错解二,忽视了 0 与 0 的区别,AB―→+
BC―→+CA―→=0;错解三,忽视了零向量的特殊性,当 a=0 或 b=0 时,两个等号同时
成立.
正解:∵向量 a 与 b 不共线,
∴a,b,a+b 与 a-b 均不为零向量.
若 a+b 与 a-b 平行,则存在实数 λ,使
∴|AM―→|=12|AD―→|=12|BC―→|=2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部,且OA―→+OB―→+ 2OC―→=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:由 OC―→=-12(OA―→+OB―→),设 D 为 AB 的中点, 则 OD―→=12(OA―→+OB―→), ∴OD―→=-OC―→,∴O 为 CD 的中点, ∴S△AOC=12S△ADC=14S△ABC,∴SS△△AAOBCC=4.故选 B.
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任意向量a, b及任意实数、,向量数乘运算满足如下的法则:
向量加法及数乘运算
1 1 a在形a, 式上1与 a实数a的 有;关运算规 2 律的相去 a类括似号,、因移a此项 ,、实合数并a运同;算类中项
3 等运变算形中,. a可但直是接,a 应要用注a于意;向向量量的的
4 运的算.a 与b数 的 运a算的意b.义是不同
观察图7−4中的向量 AB 与 MN ,所在的直线平行,两个向量的 方向相同;向量 CD 与 PQ 所在的直线平行,两个向量的方向相反.
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上, 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量.
N
B
E
M
K A
H
L
Z
CD
FK
Q
P
G
图7−4
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量.
OD 1 BD 1(b − a)= 1 a+ 1 b,
2
2
22
1 a+ 1 b和 1 a+ 1 b 都叫做向量a,b的线性组合,或者说, 22 22
AO、OD 可以用向量a,b线性表示.
巩固知识 典型例题
一般地, a+ b叫做a, b的一个线性组合(其中, 均为实数),如果l = a+b,则称l可以用a,b线性表示.
D
F
(2)与 AD 共线的向量.
B
E
C
第1题图
略.
2.如图,O点是正六边形ABCDEF的中心,试写出
(1)与 OC 相等的向量;
F
E
(2) OC 的负向量; (3)与 OC 共线的向量.
A
OD
B
C
第2题图
略.
创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中(A处)出发,向正南方向行走500 m到
达超市(B处),买了文具后,又沿着北偏东60°角方向行
我们经常用箭头来表示方向,带有方向的线段叫做有向线段. 通常使用有向线段来表示向量.线段箭头的指向表示向量的方向,
线段的长度表示向量的大小.平面上带有指向的线段(有向线段) 叫做平面向量,指向就是向量的方向,线段的长度表示向量的大
小.如右图所示,有向线段的起点叫做平面向量的起点,有向线
段的终点叫做平面向量的终点.以A为起点,B为终点
的向量记作 AB, 也可以使用小写英文字母,印
B a
刷用黑体表示,记作a;手写时应在字母上面 A
加箭头,记作 a .平面内的有向线段表示的向量称为平面向量.
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中,有两种量.只有大小,没有方向的量 做数量(标量) ,例如质量、时间、温度、面积、密度等. 既有大小,又有方向的量叫做向量(矢量), 如力、速度、位移等.
B
个向量,其起点是减向量b的终点,
b
a
终点是被减向量a的终点.
O
巩固知识 典型例题
例5 已知如图所示向量a 、b ,请画出向量a − b.
a b
O
b
a
A
解 如图所示,以平面上任一点O 为起点,作OA =a,OB =b,连接BA, 则向量 BA 为所求,即
BA = a − b . B
运用知识 强化练习
向量的大小叫做向量的模.向量a, AB 的模依次记作 a ,AB .
模为零的向量叫做零向量.记作0, 零向量的方向是不确定的.
模为1的向量叫做单位向量.
B a A
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km,另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km, 两架飞机的位移相同吗?分别用有向 线段表示两架飞机的位移.
向量的大小叫做向量的模.向量a, AB 的模依次 记作 a ,AB.
向量a与向量b的模相等并且方向相同时,称向量 a与向量b相等,记作a = b .
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
继续探索 活动探究
读书部分:阅读教材相关章节 书面作业:教材习题7.1A组(必做)
教材习题7.1B组(选做) 实践调查:试着用向量的观点解释
A
走200 m到达学校(C处)(如
图).王涛同学这两次位移的 总效果是从家(A处)到达了学
500m
C 200m
校(C处).
位移AC 叫做位移 AB与位移 脑思考 探索新知
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地,设向量a与向量b不共线,在平面上任取一点A
依次作 AB a,BC b,则向量AC 叫做向量a与向量b的和,
记作a+b ,即
a b AB BC AC. (7.1)
求向量的和的运算叫做向量的加法.上述求向量的和的方法
叫做向量加法的三角形法则.
动脑思考 探索新知
(1)a+b与b+a相等吗?请画出图来说明. (2)如果向量a和向量b共线,如何画出它们的和向量?
动脑思考 探索新知
D
C 如图所示,ABCD为平行四边形,由于
利用计算器求得 CAD 6723
即船的实际航行速度大小是13km/h,其方向与河岸线的夹角约6723.
巩固知识 典型例题
例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k,两条 绳子的方向与垂线的夹角为 ,求物体受到沿两条绳子的方向的 拉力 f1与 f2 的大小.
解 利用平行四边形法则,可以得到
与数的运算相类似,可以将向量a与向量b的负向量的和定义 为向量a与向量b的差.即
a − b = a+(−b).
设a OA , b OB ,则
OA OB OA (OB)= OA BO BO OA BA.

OA OB BA.
(7.2)
观察图可以得到:起点相同的
a-b
A
两个向量a、 b,其差a − b仍然是一
向量a与向量 b平行记作a//b.
规定:零向 量与任何一个向 量平行.
动脑思考 探索新知
图7−4中的平行向量 AB与 MN,方向相同,模相等;平行 向量GH 与TK ,方向相反,模相等.
向量只有
N
大小与方向两
B
E
个要素.当向 M K
量a与向量b的 A
模相等并且方
H
向相同时,称 L
向量a与向量b Z
A
B AD BC,根据三角形法则得
AB AD AB BC AC.
这说明,在平行四边形ABCD中,AC 所表示的向量就是AB 与 AD 的和.这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则.
平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法 具有以下的性质:
(1) a+0 = 0+a=a; a+(− a)= 0; (2) a+b = b+a; (3) (a+b)+ c = a +(b+c).
D
C
O
(3)找出与向量 AB 平行的向量.
要结合平行四边形 的性质进行分析.两个 向量相等,它们必须是 方向相同,模相等;两 个向量互为负向量,它 们必须是方向相反,模 相等;两个平行向量的 方向相同或相反.
A
B
图7-5
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中(图7-4),O为对角线交点.
(1)找出与向量 DA 相等的向量; (2)找出向量 DC 的负向量;
向量a与向量 b平行记作a//b.
规定:零向 量与任何一个向 量平行.
动脑思考 探索新知
下图中,哪些向量是共线向量?
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上, 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量.
N
B
E
M
TK A
H
L
Z
CD
FK
Q
P
G
图7−4
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量.
f2
f1
f1 f2 2 f1 cos k ,
k
所以
f1
k. 2 cos
动脑思考 探索新知
根据例题4的分析,判断在单杠上悬挂身体时,两臂 成什么角度时,双臂受力最小?
运用知识 强化练习
计算:
1 AB BC CD ; 2 OB BC CA.
1 AD; 2OA.
动脑思考 探索新知
D
C
O
(3)找出与向量 AB 平行的向量. 解 由平行四边形的性质,得
A
B
图7-4
(1) CB DA; (2) BA DC,CD DC; (3)BA// AB,DC // AB,CD // AB.
运用知识 强化练习
1. 如图,ABC中,D、E、F分别是三边的中点,试写出
A
(1)与 EF 相等的向量;
生活中的一些问题.
作业
| a || || a |
(7.3)
若| a | 0,则当 0 时, a的方向与a的方向相同,当 0时, a的方向与a的方向相反.
由上面定义可以得到,对于非零向量a、b,当 0 时,有
a∥b a b. (7.4)
动脑思考 探索新知
一般地,有 0a= 0, λ0 = 0 .
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算,容易验证,对于
请画出图形来,分别验证这些法则.
巩固知识 典型例题
例6 在平行四边形ABCD中,O为两对角线交点如图, AB =a, AD =b,试用a, b表示向量AO 、OD.
解 AC =a+b, BD =b − a, 因为O分别为AC,BD的中点,所以
AO
1 2
AC
1 2(a+b)=
1 a+ 1 b, 22
计算:
1 AB AD ;
2 BC BA .
1 DB; 2 AC.
创设情境 兴趣导入
观察下图可以看出向量 OC与向量a共线,并且
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