平面向量的概念及线性运算

§5.1 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念 名称 定义备注向量 既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______) 平面向量是自由向量零向量 长度为______的向量；其方向是任意的记作______单位向量 长度等于________的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向____或____的非零向量 0与任一向量______或共线共线向量__________________的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量长度______且方向____的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝____________.(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差________法则 a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝________； (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向________；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向________；当λ＝0时，λa＝______λ(μa )＝______；(λ＋μ)a ＝________； λ(a ＋b )＝_______ 3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ →的结果为________.2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________.5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________.探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a 与a |a |的关系是：a|a |是a 方向上的单位向量.判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；(6)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二 向量的线性运算例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ， 试用a ，b 表示AG →. 题型三 平面向量的共线问题例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值.11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.审题视角 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解. 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线. ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分]∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.①[7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线.[10分]∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.② [12分]由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[14分]批阅笔记 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A 、M 、D 共线和B 、M 、C 共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线. 失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.§5.1 平面向量的概念及线性运算(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题 1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为( )A.1B.2C.3D.42.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝03.已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A.k ＝1且c 与d 同向B.k ＝1且c 与d 反向C.k ＝－1且c 与d 同向D.k ＝－1且c 与d 反向 二、填空题4.设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________.5.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.三、解答题7.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.8.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？B 组 专项能力提升题组一、选择题1.已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A.△ABC 的内部 B.AC 边所在直线上 C.AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A.2B.3C.4D.53.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心二、填空题4.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上). ①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点. 过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的 两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则 m ＋n 的值为______.6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.7.已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________. 三、解答题8.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点. (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.答案要点梳理1.大小 方向 长度 模 零 0 1个单位 相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反2.三角形 平行四边形 (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 三角形(1)|λ||a | (2)相同 相反 0 λμa λa ＋μa λa ＋λb 3.b ＝λa 基础自测1.OS →2.b －12a3.①②③4.－25.A题型分类·深度剖析 例1 ②③变式训练1 解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)不正确，因为AB →与CD →共线，而AB 与CD 可以不共线即AB ∥CD .(7)正确.(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.例2 解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 变式训练2 解 AG →＝AB →＋BG → ＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →) ＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →) ＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m 2a ＋(1－m )b ， ∴⎩⎨⎧ 1－λ＝m 21－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23， ∴AG →＝13a ＋13b . 例3 (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.变式训练3 12课时规范训练A 组1.C2.B3.D4.－15.436.3117.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b ， ∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(a ＋b ). ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b . 即OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ， MN →＝12a －16b . 8.解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )， ∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ， AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa . ∴有⎩⎨⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎨⎧ λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上. B 组1.B2.B3.B4.①②5.26.237.±28.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.(2)证明 显然OM →＝12(a ＋b ). 因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b ). 由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b ) ＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ， 所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又因为a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧ 13－m ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13， 消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。