2.2 平面向量的线性运算 . 教学课件PPT
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其中真命题的代号是____________(写出所有真命题的代号)．
【答案】①②③④
要点阐释 1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的， 但使用的前提还是有区别的：当一个向量的起点与另一个向量的终 点重合时，宜用三角形法则，特别是当两个向量共线时，宜用三角 形法则；当两个向量的起点重合时，宜用平行四边形法则．三角形 法则在求多个向量的和时会更简单方便，只要做到多个向量“首尾 相连”，然后从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的 向量即为这多个向量的和．
2．向量加法的交换律和结合律必须牢记，这是以后学习各种 向量运算的基础，在本节的作用可以用来进行向量的求和及化简．
3．解决向量加法的有关问题必须画图，这要求同学们应养成 良好的画图习惯，这也是培养数形结合能力的一个好机会．
典例剖析
知识点 1 向量的加法 【例 1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点， 则下列结论中正确的是( )
【答案】D
3．有一边长为 1 的正方形 ABCD，设A→B＝a，B→C＝b，A→C＝c， 则|a＋b＋c|＝________.
【答案】2 2
4．如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题： ①|A→C＋A→F|＝2|B→C| ②|A→D|＝2|A→B＋A→F| ③|A→D|＝|A→B＋B→C＋C→D| ④|A→B＋F→E|＝|A→C|
(2)O→P＋R→S＋Q→R＋P→Q＝O→P＋P→Q＋Q→R＋R→S＝O→Q＋Q→R＋R→S＝ O→R＋R→S＝O→S.
2．如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD， DA 的中点，化简下列各式：
(1)D→G＋E→A＋C→B； (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B.
解：
(1)D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋B→E ＝G→E；
(2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋A→E ＝E→A＋A→E＝0.
知识点 3 向量模的计算 【例 3】 若|a|＝3，|b|＝5，问|a＋b|的范围怎样？
A.A→B＋A→C＝B→C
B.A→D＋O→D＝D→A
C.A→O＋O→D＝A→C＋C→D D.A→B＋B→C＋C→D＝D→A
思路点拨：用三角法则或平行四边形法则进行计算．
【答案】C
1.如图所示，O 为正六边形的中心，化简下列各式：①O→A＋O→C； ②B→C＋F→E；③O→A＋E→D＋F→E.
解： 根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则及正六边形的 边角关系可得： ①O→A＋O→C＝O→B； ②B→C＋F→E＝A→O＋O→D＝A→D； ③O→A＋E→D＋F→E＝O→A＋A→B＋B→C＝O→B＋B→C＝O→C.
3．已知两个非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a， A→D＝b，若 A，B，D 三点不共线，以 AB，AD 为邻边作平行四边 形 ABCD，则向量A→C＝a＋b，这种求两个向量和的作图法则，叫 做向量求和的平__行___四__边__形_法则．
4．当 a，b 不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|，一般地，有|a＋b|≤|a| ＋|b|.
5．向量加法满足： ①交换律，即 a＋b＝__b_＋__a___. ②结合律，即(a＋b)＋c＝a＋__(b_＋__c_)__.
自主探究 用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求 a＋b，所得的 结果一样吗？为什么？
解：所得结果完全一样． 理由是，在如图的三角形法则中所得的三角形 ABC 与四边形 法则所得的平行四边形 ABCD 中的三角形 ABC 是全等的．
知识点 2 交换律与结合律 【例 2】 化简下列各式： (1)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A； (2)O→P＋R→S＋Q→R＋P→Q.
思路点拨： 运用交换律和结合律把各式化成“首尾相连”的形式．
解：
(1)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝A→C ＋C→D＋D→F＋F→A＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0；
解：由题意可得，|A→B＋B→C|＝|A→C|＝ 122＋52＝13.
误区解密 类比不当而出错
【例题】给出以下三个命题：①若向量 a∥b 且 b∥c，则 a∥c；
②若向量A→B＝C→D，则四边形 ABCD 是平行四边形； ③|a＋b|<|a|＋|b|. 其中正确命题的个数是________．
预习测评 1．梯形 ABCD 中，AD∥BC，则O→A＋A→B＋B→C＝( )
A.C→D B.O→C C.D→A D.C→O
【答案】B
2．(2013 年uuu汕r 头uu二ur 模u)如uur图,正六边形 AB C D E F 中, BA CD EF =( )
A.0uuur B. uBuEur C. uAuDur D. CF
自学导引 1．求两个向量_和___的运算，叫做向量的加法． 2．已知两个非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a， B→C＝b，再作向量A→C，则向量A→C叫做 a 与 b 的_和___，记作 a＋b. 这种求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的_三__角__形___法则．对 于零向量与任一向量 a，我们规定 a＋0＝0＋a＝_a___.
思路点拨：按 a，b 是否共线分别作出图形讨论．
来自百度文库
解：当 a，b 同向共线时，如图 1，
图1 |a＋b|＝3＋5＝8； 当 a，b 反向共线时，如图 2，
图2 |a＋b|＝5－3＝2； 当 a，b 不共线时，如图 3，
图3 根据三角形中两边之和大于第三边可知，|a＋b|<5＋3＝8. 综上可得，|a＋b|的范围是[2,8]．
方法点评：
向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模之间的关系是||a|－|b||≤|a＋ b|≤|a|＋|b|；
若 a，b 同向共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|； 若 a，b 反向共线，则|a＋b|＝||a|－|b||； 若 a，b 不共线，则||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
3．在矩形 ABCD 中，长 AB＝12，宽 AD＝5，求|A→B＋B→C|.
【答案】①②③④
要点阐释 1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的， 但使用的前提还是有区别的：当一个向量的起点与另一个向量的终 点重合时，宜用三角形法则，特别是当两个向量共线时，宜用三角 形法则；当两个向量的起点重合时，宜用平行四边形法则．三角形 法则在求多个向量的和时会更简单方便，只要做到多个向量“首尾 相连”，然后从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的 向量即为这多个向量的和．
2．向量加法的交换律和结合律必须牢记，这是以后学习各种 向量运算的基础，在本节的作用可以用来进行向量的求和及化简．
3．解决向量加法的有关问题必须画图，这要求同学们应养成 良好的画图习惯，这也是培养数形结合能力的一个好机会．
典例剖析
知识点 1 向量的加法 【例 1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点， 则下列结论中正确的是( )
【答案】D
3．有一边长为 1 的正方形 ABCD，设A→B＝a，B→C＝b，A→C＝c， 则|a＋b＋c|＝________.
【答案】2 2
4．如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题： ①|A→C＋A→F|＝2|B→C| ②|A→D|＝2|A→B＋A→F| ③|A→D|＝|A→B＋B→C＋C→D| ④|A→B＋F→E|＝|A→C|
(2)O→P＋R→S＋Q→R＋P→Q＝O→P＋P→Q＋Q→R＋R→S＝O→Q＋Q→R＋R→S＝ O→R＋R→S＝O→S.
2．如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD， DA 的中点，化简下列各式：
(1)D→G＋E→A＋C→B； (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B.
解：
(1)D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋B→E ＝G→E；
(2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋A→E ＝E→A＋A→E＝0.
知识点 3 向量模的计算 【例 3】 若|a|＝3，|b|＝5，问|a＋b|的范围怎样？
A.A→B＋A→C＝B→C
B.A→D＋O→D＝D→A
C.A→O＋O→D＝A→C＋C→D D.A→B＋B→C＋C→D＝D→A
思路点拨：用三角法则或平行四边形法则进行计算．
【答案】C
1.如图所示，O 为正六边形的中心，化简下列各式：①O→A＋O→C； ②B→C＋F→E；③O→A＋E→D＋F→E.
解： 根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则及正六边形的 边角关系可得： ①O→A＋O→C＝O→B； ②B→C＋F→E＝A→O＋O→D＝A→D； ③O→A＋E→D＋F→E＝O→A＋A→B＋B→C＝O→B＋B→C＝O→C.
3．已知两个非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a， A→D＝b，若 A，B，D 三点不共线，以 AB，AD 为邻边作平行四边 形 ABCD，则向量A→C＝a＋b，这种求两个向量和的作图法则，叫 做向量求和的平__行___四__边__形_法则．
4．当 a，b 不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|，一般地，有|a＋b|≤|a| ＋|b|.
5．向量加法满足： ①交换律，即 a＋b＝__b_＋__a___. ②结合律，即(a＋b)＋c＝a＋__(b_＋__c_)__.
自主探究 用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求 a＋b，所得的 结果一样吗？为什么？
解：所得结果完全一样． 理由是，在如图的三角形法则中所得的三角形 ABC 与四边形 法则所得的平行四边形 ABCD 中的三角形 ABC 是全等的．
知识点 2 交换律与结合律 【例 2】 化简下列各式： (1)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A； (2)O→P＋R→S＋Q→R＋P→Q.
思路点拨： 运用交换律和结合律把各式化成“首尾相连”的形式．
解：
(1)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝A→C ＋C→D＋D→F＋F→A＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0；
解：由题意可得，|A→B＋B→C|＝|A→C|＝ 122＋52＝13.
误区解密 类比不当而出错
【例题】给出以下三个命题：①若向量 a∥b 且 b∥c，则 a∥c；
②若向量A→B＝C→D，则四边形 ABCD 是平行四边形； ③|a＋b|<|a|＋|b|. 其中正确命题的个数是________．
预习测评 1．梯形 ABCD 中，AD∥BC，则O→A＋A→B＋B→C＝( )
A.C→D B.O→C C.D→A D.C→O
【答案】B
2．(2013 年uuu汕r 头uu二ur 模u)如uur图,正六边形 AB C D E F 中, BA CD EF =( )
A.0uuur B. uBuEur C. uAuDur D. CF
自学导引 1．求两个向量_和___的运算，叫做向量的加法． 2．已知两个非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a， B→C＝b，再作向量A→C，则向量A→C叫做 a 与 b 的_和___，记作 a＋b. 这种求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的_三__角__形___法则．对 于零向量与任一向量 a，我们规定 a＋0＝0＋a＝_a___.
思路点拨：按 a，b 是否共线分别作出图形讨论．
来自百度文库
解：当 a，b 同向共线时，如图 1，
图1 |a＋b|＝3＋5＝8； 当 a，b 反向共线时，如图 2，
图2 |a＋b|＝5－3＝2； 当 a，b 不共线时，如图 3，
图3 根据三角形中两边之和大于第三边可知，|a＋b|<5＋3＝8. 综上可得，|a＋b|的范围是[2,8]．
方法点评：
向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模之间的关系是||a|－|b||≤|a＋ b|≤|a|＋|b|；
若 a，b 同向共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|； 若 a，b 反向共线，则|a＋b|＝||a|－|b||； 若 a，b 不共线，则||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
3．在矩形 ABCD 中，长 AB＝12，宽 AD＝5，求|A→B＋B→C|.