(6).训练题(六)解答

二、对于直线上的两个点集A 和B ，如果A 能经过适当平移后重合于B ，则说这两个集是相等的；试确定，闭区间[1,1]-能否分解成两个互不相交的相等的点集？
解：设[1,1],A B A B =-=∅ ，且存在0a >，使得x A x a B ∈⇔+∈， 今设x A ∈，则x a B +∈；
当21x a +≤时，考虑点2x a +的归属：假若2x a B +∈，则有x a A +∈，矛盾！
于是有 2x a A +∈ (1)
显然，集B 的最小点是1a -+，（事实上，如有1a α<-+，使B α∈，则 a A α-∈，但是1a α-<-，矛盾！），于是[1,1)a A --+⊂ ……○2. 类似可知，(1,1]a B -⊂，（事实上，如有1a β>-，使A β∈，则a B β+∈，而1a β+>，矛盾！）
于是，当x A ∈，必有1x a ≤- (3)
将○2改记为[12,12)na a na A -+-++⊂ ……○4，其中0n =.
我们来证明，对任何n N ∈，○4式皆成立.对n 归纳：据○2知，0n =时，结论成立；设对于某个自然数n N ∈，○4式成立，则据平移，有
[1(21),1(22))n a n a B -++-++⊂，而[1,1]B ⊂-，则()1221n a -++≤， 注意()()1221221n a na a -++=-++≤，据所设○4式，012x na A =-+∈，以及
()021221x a na a +=-++≤，所以由○
1，02x a A +∈，即()122n a A -++∈； 进而由○3得，()1221n a a -++≤-；即()1221a n a -+++≤，所以
[1(22),1(22))n a a n a A -++-+++⊂，（若该区间有某点0x B ∈，则0x a A -∈，而0[1(21),1(22))x a n a n a B -∈-++-++⊂，矛盾！），即○4式对于1n +成立．因此对任何n N ∈，○4式皆成立.于是对任何n N ∈，12na A -+∈，这与集A 的有界性矛盾！
因此闭区间[1,1]-不能分解成两个互不相交的相等的点集．
四、设()f x 是给定的次数为正整数的实系数多项式，证明：对于每个正数c ，
存在一个正整数0n 满足如下条件：对每个次数0n ≥且首项系数为1的实系数多项式()p x ，满足不等式()()f p x c ≤的整数x 的个数均不超过()p x 的次数．
讲解：由于()f x 的次数1≥，则当x →∞时，()f x →+∞，故00,0c x ∀>∃>， 只要0x x >，就有()f x c >；而满足0x x ≤的整数x 只有有限多个，从而使得
()f x c ≤的整数x 只有有限多个．
今设()p x 是任一个首项系数为1的k 次实系数多项式，其中0k n ≥，（0n 待定）， 任取1k +个互不相同的整数：121k b b b +<<< ，由拉格朗日插值多项式，有 ()()11k j i i i j i j x b p x p b b b +=≠-=-∑∏
，因为()p x 的首项系数为1，比较两边的首项系数，得
()()1
111111k k i i i i j i j i i j i j p b p b b b b b ++==≠≠=≤--∑∑∏∏
……○1 设()()(){}
121max ,,,k p b p b p b M += ，因12111i i i k b b b b b b -++<<<<<<< 为不同的整数，其中小于i b 的b 值有1i -个，故121,,,i i i i b b b b b b ---- 是1i -个不同的正整数，其乘积()1!i ≥-，又因在这1k +个数中，大于i b 的有1k i +-个，所以 ，121,,,i i i i i k b b b b b b +++--- 是1k i +-个不同的正整数，于是其乘积
()1!k i ≥+-，因此得，()()1!1!i j i j b b i k i ≠-≥-+-∏ ……○
2 由○1得，()()()11111111!1!k k i i i j i i j p b M i k i b b ++==≠≤≤⋅-+--∑∑∏
()()11!!1!1!
k i M k k i k i +==-+-∑ 11102!!!
k
k k i r k k i r M M M C C k k k +-==⋅===∑∑，所以 00!!22n k n k M ≥≥； 今取0n 为满足000!2
n n x >的最小正整数；由于0M x >，故有()f M c >，而 ()()0max i i M p b p b ==，即在121,,,k b b b + 中，至少有一个整数0i b 使得 ()00i p b M x =>，从而()()0i f p b c >，因此在121,,,k b b b + 中，满足()()i f p b c ≤的整数至多k 个，而由121,,,k b b b + 的任意性可知，任何1k +个整数中，至多k 个
整数x 满足()()f p x c ≤，从而在全体整数中，满足()()f p x c ≤的整数至多k 个．（其中()deg k p x =），。