2021-2022年高三数学上学期期末考试试题理(VIII)

2021-2022年高三数学上学期期末考试试题理(VIII)
xx．01 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的．
1．i为虚数单位，复数在复平面内对应的点到原点的距离为( ) A．B．C．D．1
2．已知集合A=，B=，且A∩B=，则A∪B=( )
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是( )
A．命题“2≥1”是假命题
B．命题“”的否定是：<0
C．命题“若，则”的否命题是“若，则a≤b”
D．“”是“”充分不必要条件
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4．函数的图象的大致形状是( )
5．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样：③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．
其中说法正确的为( )
A ．①②③
B ．②③
C ．②③④
D ．③④
6．设D ，E ，F 分别△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点，则=( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．一个圆柱的正视图是面积为6的矩形，它的侧面积为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若，则22cos cos 4
4ππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭（ ）
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A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知过双曲线的左焦点和虚轴端点E 的直线交双曲线右支于点P ，若E 为线段EP 的中点，则该双曲线的离心率为( )．
A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，其中，给出下列结论：
①最小正周期为；②；③函数是偶函数；
④；⑤.
其中正确结论的个数是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．
11．若函数
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()()2315x f x f m m =-+==，且，则__________．
12．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为__________．
13．如果实数x ，y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩
则目标函数的最大值是
_________．
14．若2是函数的零点，则在内任取一点，使的概率是_________．
15．直线与圆相切，切点在第一象限内，则的最小值为_________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别，()()()()2sin cos sin f x x x A B C x R =+++∈，函数的图象关于点对称. (I)求A ；
(II)若的面积为，求的值．
17．(本小题满分12分)
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已知等差数列中，为其前n 项和，．
(I)求数列的通项公式；
(II)令()112112,3,n n n n n b n b T b b b a a -=
≥==++⋅⋅⋅+，若对一切都成立，求m 的
最小值．
18．(本小题满分12分)
某高中学校为展示学生的青春风采，举办了校园歌手大赛，该大赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的学生按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等5名学生参加决赛．
(I)求决赛中学生甲、乙恰好排在前两位的概率；
(Ⅱ)若决赛中学生甲和学生乙之间间隔的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX ．
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面ABCD 是直角梯形，AD// BC ，，平面底面ABCD ，
Q为AD的中点，
1
2,1,3
2
PA PD BC AD CD
=====.
(I)求证：平面平面PAD；
(II)在棱PC上是否存在一点M，使二面角?若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由．
20．(本题满分13分)
已知椭圆，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为的正三角形，过椭圆C 的右焦点作斜率为的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．(I)求椭圆C的标准方程；
(II)过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，试求的取值范围。

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21．(本题满分14分)
设函数，且存在两个极值点，其中。

(I)求实数a的取值范围；
(II)证明不等式：
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高三年级期期末教学质量抽测试题
理数答案 xx.1
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．A 9．B 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．
11． 12．713．114． 15．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()2sin cos()sin()
f x x x A B C
=+++
=-+-------------1分
2sin(cos cos sin sin)sin
x x A x A A
2
=-+=+
()2sin cos cos2sin sin sin sin2cos cos2sin
f x x x A x A A x A x A
-----------------------------------------3分
因为函数的图象关于点对称．所以，---------4分
即，又，-------------------5分
（Ⅱ）∵，△ABC的面积为，
，，------------------------------6分
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222π
64264cos28
3
a=+-⨯⨯=，---------------------------7分． ---------------------------8分
222
cos
7
C==，---------------------------10分
6π)(24
AC CB C
⋅=⨯-==-
∴．---------12分17．解：(Ⅰ) 设等差数列{a n}的公差为d，
由a2＋a6＝6，S3＝5得，---------------------------2分
解得
⎩
⎨
⎧a1＝1，
d＝
2
3
，
-----------------------------------------------4分
∴a n＝
2
3
n＋
1
3
.------------------------------------------------5分(Ⅱ)当n≥2时，b n＝
1
a
n
a
n－1
＝
1
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2
3
n＋
1
3
·
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2
3
n－
1
3
＝
9
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2n－1
－
1
2n＋1
,--------6分
当n＝1时，上式同样成立，-----------------------------------7分
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实用文档 ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝92⎝
⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1,----------------9分
又92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1随n 递增，且92⎝
⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜92·1≤m ，----------------10分
又m ∈，∴m ≥5，----------------------------------------11分 ∴ m 的最小值为5．--------------------------------------------12分
18．解：（Ⅰ）设“学生甲、乙恰好排在前两位”为事件，则 ．--------------------------------------3分
(Ⅱ)随机变量的可能的值为0，1，2，3．---------------------4分 ------------------------------------5分
11332355
3(1),10C C A P X A ===----------------------------------7分 2112322255
1(2),5C C C A P X A ===--------------------------------9分 -----------------------------------10分
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-----------------------------------------------------11分 因为321101231510510
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．------------------12分 18．（本小题满分12分）
解： (Ⅰ) Q 为AD 的中点，
//,DQ BC DQ BC ∴=且
所以四边形是平行四边形，-----------------------1分
即 -----------------------2分
∵PA =PD ，
又-----------------------4分
所以平面PQB ⊥平面PAD . -------------5分
(Ⅱ) ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，
又，且
-----------------------6分
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以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量(001)(),(3)(3)Q P C =-，
，，0,0,00,0，,1，，0.n ---7分 设满足条件的点存在，则
(,,3),(13,),PM x y z MC x y z =-=---
令其中
(1)(3),3()x t x y t y z t z =--⎧⎪∴=⎨⎪-=-⎩,133t x t t y z ⎧=-+⎪⎪⎪∴=⎨⎪⎪=⎪⎩ 在平面中，33(0,3,0),(),1t t QB QM t ==-+----------9分 设平面的一个法向量
则有
平面的一个法向量 -----------------------10分
二面角为
2
3cos30||||30t ⋅∴︒===++|n m |n m 解得 -----------------------11分
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所以满足条件的点存在，是棱的靠近点的四等分点. ------12分
20．（本小题满分13 分）
解：（Ⅰ）设右焦点的坐标为，易知面积为的正三角形的边长为2， 依题意知，22214,1,2
a b c c a =+===-------------2分 所以，椭圆的方程为．---------------------------3分
（Ⅱ）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，
将其代入中得，2222(34)84120k x k x k +-+-=，-------4分 其中，，设， 则22121222
8412,3434k k x x x x k k -+==++，----------------------------5分 312122286()223434k k y y k x x k k k k
-+=+-=-=++∴，----------------6分 因为为线段的中点，所以，点的坐标为．
故点的坐标为，-----------------------------7分
又直线的斜率为， 直线的方程为2
22
314()3434k k y x k k k --=--++，------------------9分
实用文档 令得，，则点的坐标为，
所以，，-------10分
又||AB ==
2212(1)34k k +==+．-----------------11分
所以，22
||3412(1)||34DP k k AB k +===++-------------12分 又
所以，的取值范围是------------------------------13分
21．（本小题满分14 分）
解：（Ⅰ）由题意，()2(2)2
a f x x x x '=-
>-+，-----------------1分 ∵函数存在两个极值点，且，
∴关于的方程，
即在内有两个不相等实根．--------------2分
令，
则 -----------------------------------------3分
实用文档 解得．所以，实数的取值范围．-------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知12122,22,10.a x x x x x ⎧=-⎪⎪+=-⎨⎪-<<⎪⎩
21122222
ln(2)42(2)ln()4x a x x x x x x -+==+-+-+，---------10分 令，则，且42(2)ln 4x x x x
=--+-+， 令4()2(2)ln 4(01)F x x x x x x
=--+-+<<，则------------------11分 2242(2)44()12ln 2ln 1(01)x F x x x x x x x x
-'=-+++=-++<<------12分 ∴2323
8422(24)()x x F x x x x x +-''=-++=， ∵，∴即在上是减函数，
∴，∴在上是增函数，------------13分 ∴，即，
所以，．------------------------------------14分C32327 7E47 繇{27862 6CD6 泖27947 6D2B 洫v@33220 81C4 臄39918 9BEE 鯮22142 567E 噾29371 72BB 犻 30988 790C 礌m33667 8383 莃。