镇江市八年级上学期1月月考期末复习数学试题

镇江市八年级上学期1月月考期末复习数学试题
一、选择题
1．如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数为（ ）
A ．12+
B ．21-
C ．2
D ．
32
2．若一次函数(2)1y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ） A ．2k <
B ．2k >
C ．0k >
D ．k 0<
3．如图，∠A ＝30°，∠C ′＝60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称，则∠B 度数为（ ）
A ．30
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
4．下列四个实数中，属于无理数的是（ ） A ．0
B ．9
C ．
23
D ．12
5．已知点P （1+m ，3）在第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <- B ．1m >- C ．1m ≤- D ．1m ≥- 6．点(3,2)A -关于y 轴对称的点的坐标为（ ）
A ．(3,2)
B ．(3,2)-
C ．(3,2)--
D ．(2,3)-
7．如图，正方形OACB 的边长是2，反比例函数k
y x
=
图像经过点C ，则k 的值是（ ）
A ．2
B ．2-
C ．4
D ．4-
8．给出下列实数：
227、2539 1.442
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相
邻两个1之间依次多一个0)，其中无理数有( ) A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
9．已知一次函数y=kx+b ，函数值y 随自变置x 的增大而减小，且kb ＜0，则函数y=kx+b
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数111y k x b =+与222y k x b =+的部分自变量和对应函数值如下： x -4 -3 -2 -1 y
-1
-2
-3
-4
x -4 -3 -2 -1 y
-9
-6
-3
当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >-
B ．2x <-
C ．1x >-
D ．1x <-
二、填空题
11．写出一个比4大且比5小的无理数：__________.
12．已知点P （a ，b ）在一次函数y=x +1的图象上，则b ﹣a=_____． 13．点（−1，3）关于x 轴对称的点的坐标为____．
14．一个等腰三角形的两边分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是_________. 15．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
16．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____． 17．在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点坐标分别是A （-4，-1），B （1,1），将线段AB 平移后得到线段A B ''（点A 的对应点为A '），若点A '的坐标为（-2,2）则点
B '的坐标为________________
18．若代数式321
x
x -+有意义，则x 的取值范围是______________.
19．若一次函数y x a =-+与y x b =+的图像的交点坐标(,1010)m ，则
a b +=__________．
20．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点F ，点点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E 。

若BD=3，DE=5，则线段EC 的长为______．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，过点B 作BE CD ⊥，垂足为点E ，过点
A 作AF BE ⊥，垂足为点F ，且BE AF =.
（1）求证：ABF BCE ∆≅∆；
（2）连接BD ，且BD 平分ABE ∠交AF 于点G .求证：BCD ∆是等腰三角形. 22．如图1，在直角坐标系xoy 中，点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，点A 的对应点为点C ．
（1）若A （6，0），B （0，4），求点C 的坐标；
（2）以B 为直角顶点，以AB 和OB 为直角边分别在第一、二象限作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △OBE ，连DE 交y 轴于点M ，当点A 和点B 分别在x 、y 轴的正半轴上运动时，判断并证明AO 与MB 的数量关系．
23．阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
问题（1）：根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？___________填“是”或“否”）
问题（2）：已知Rt ABC 中，两边长分别是5，52，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是_____________；
问题（3）：如图，以AB 为斜边分别在AB 的两侧作直角三角形，且AD BD =，若四边形ADBC 内存在点E ，使得AE AD =，CB CE =.试说明：ACE △是奇异三角形. 24．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是()0,2，动点A 从原点O 出发，沿着x 轴正方向移动，以AB 为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABP ∆，设动点A 的坐标为
()(),00t t ≥.
(1)当2t =时，点P 的坐标是 ；当1t =时，点P 的坐标是 ； (2)求出点P 的坐标(用含t 的代数式表示)；
(3)已知点C 的坐标为()1,1，连接PC 、BC ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，求当t 为何值时，当PQB ∆与PCB ∆全等. 25．计算与求值： （1）计算：()2
0312*******
+
-- （2）求x 的值：24250x -=
四、压轴题
26．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．
（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
27．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．
28．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．
①请直接写出∠AEB 的度数为_____；
②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；
(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．
29．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．
（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；
（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段
DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．
30．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．
（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AC 与BD 交于点P ，BD+AC=9，
∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC ＜90°，且点C 到直线BD 的距离是3，求△ABC 与△BCD 的面积之和．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出正方形对角线的长，然后根据实数与数轴的关系解答即可.
【详解】
22
11
2，
∴点A2.
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．2．B
解析：B
【解析】
【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围．
【详解】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大，
∴k-2＞0，
∴k＞2，
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y 随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3．C
【解析】
【分析】
由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．
【详解】
∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C′＝60°；
∴∠B＝180°−30°-60°＝90°．
故选：C．
【点睛】
主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据无理数的定义，即可得到答案.
【详解】
=D正确；
03
=，2
3
是有理数，故ABC错误；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记定义.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
令点P的横坐标小于0，列不等式求解即可．
【详解】
解：∵点P P（1+m，3）在第二象限，
∴1+m＜0，
解得： m＜-1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．6．A
【解析】 【分析】
根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】
解：根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴点(3,2)A -关于y 轴对称的点为(3,2)． 故选：A 【点睛】
本题考查了坐标系中的轴对称，掌握坐标系中的轴对称的特点是解题的关键.在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据正方形的性质，即可求出点C 的坐标，然后代入反比例函数解析式里即可． 【详解】
解：∵正方形OACB 的边长是2， ∴点C 的坐标为（2,2） 将点C 的坐标代入k
y x
=
中，得 22
k =
解得：4k = 故选C ． 【点睛】
此题考查的是求反比例函数的比例系数，掌握用待定系数法求反比例函数的比例系数是解决此题的关键．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】
解：−5，
实数：
227、2
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之
间依次多一个02
、-0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）共3个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
9．A
解析：A 【解析】
试题分析：根据一次函数的性质得到k ＜0，而kb ＜0，则b ＞0，所以一次函数y=kx+b 的图象经过第二、四象限，与y 轴的交点在x 轴是方． 解：∵一次函数y=kx+b ，y 随着x 的增大而减小， ∴k ＜0，
∴一次函数y=kx+b 的图象经过第二、四象限； ∵kb ＜0， ∴b ＞0，
∴图象与y 轴的交点在x 轴上方，
∴一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限． 故选A ．
考点：一次函数的图象．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据表格可确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断． 【详解】
解：根据表格可得y 1=k 2x+b 1中y 随x 的增大而减小，y 2=k 2x+b 2中y 随x 的增大而增大． 且两个函数的交点坐标是（-2，-3）． 则当x ＜-2时，y 1＞y 2． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及两函数交点坐标是关键．
二、填空题
11．答案不唯一，如： 【解析】 【分析】
根据无理数的定义即可得出答案．
∵42=16，52=25，∴到之间的无理数都符合条件，如：．
故答案为答案不唯一，如：．
【点睛】
本题考查了无理数的
解析：
【解析】
【分析】
根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】
∵42=16，52=25．
故答案为．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12．1
【解析】
∵点P（a，b）在一次函数y=x+1的图象上，
∴b=a+1，
∴b-a=1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是把点P （a，b）代入一次函数
解析：1
【解析】
∵点P（a，b）在一次函数y=x+1的图象上，
∴b=a+1，
∴b-a=1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是把点P（a，b）代入一次函数的解析式．
13．（-1，-3）．
【解析】
【分析】
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
解：点（-1，3）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-3），
故答案是：（-1，
解析：（-1，-3）．
【解析】
【分析】
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】
解：点（-1，3）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-3），
故答案是：（-1，-3）．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
14．22
【解析】
【分析】
等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
①当腰是4，底边是9时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当
解析：22
【解析】
【分析】
等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
①当腰是4，底边是9时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当底边是4，腰长是9时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22.
故答案为22.
【点睛】
考查等腰三角形的性质以及三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
15．5或
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的
解析：5
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4=
②长为3、45；
∴或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用． 16．27
【解析】
【分析】
把代入多项式，得到的式子进行移项整理，得，根据平方的非负性把和求出，再代入求多项式的值．
【详解】
解：将代入，
得：
移项得：
，
，即，
时，
故答案为：27
【点睛
解析：27
【解析】
【分析】
把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．
【详解】
解：将x a =代入2269x x k ++=-，
得：2269a a k ++=-
移项得：2269a a k ++=-
22(3)a k ∴+=-
2(3)0a +，20k -
30a ∴+=，即3a =-，0k =
x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=
故答案为：27
【点睛】
本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．
17．（3,4）
【解析】
分析：首先根据点A 和点A′的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点B′的坐标．
详解：∵A 的坐标为(－4，－1)，A′的坐标为(－2，2)， ∴平移法则为：先向
解析：（3,4）
【解析】
分析：首先根据点A 和点A ′的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点B ′的坐标．
详解：∵A 的坐标为(－4，－1)，A ′的坐标为(－2，2)， ∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴点B ′的坐标为(3，4)．
点睛：本题主要考查的是线段的平移法则，属于基础题型．线段的平移法则就是点的平移法则，属于基础题型．
18．【解析】
【分析】
代数式有意义，则它的分母2x+1≠0，由此求得x 的取值范围．
【详解】
∵代数式有意义，
∴2x+1≠0，
解得x≠．
故答案为：x≠．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件． 解析：12
x ≠-
【解析】
【分析】 代数式
321
x x -+有意义，则它的分母2x+1≠0，由此求得x 的取值范围． 【详解】 ∵代数式321
x x -+有意义，
解得x≠12
-． 故答案为：x≠12-
． 【点睛】
本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
19．2020
【解析】
【分析】
把分别代入与，然后把两个式子相加即可求解.
【详解】
把分别代入与，得
-m+a=1010①，m+b=1010②，
①+②得
a+b=2020.
故答案为：2020.
解析：2020
【解析】
【分析】
把(,1010)m 分别代入y x a =-+与y x b =+，然后把两个式子相加即可求解.
【详解】
把(,1010)m 分别代入y x a =-+与y x b =+，得
-m+a=1010①，m+b=1010②，
①+②得
a+b=2020.
故答案为：2020.
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适应此函数的解析式是解答此题的关键．
20．2
【解析】
【分析】
根据△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点F ．求证∠DBF＝∠FBC，∠ECF ＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即
解析：2
【分析】
根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．求证∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝
∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．
【详解】
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3，FE＝CE，
∴CE＝DE−DF＝5−3＝2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据ASA证明ΔABF≌ΔBCE即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余、角平分线的性质以及余角的性质可得∠DBC=∠BDE，根据等角对等边即可得到BC=CD，从而得到结论．
【详解】
（1）∵BE⊥CD，AF⊥BE，
∴∠BEC=∠AFB=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠BAF=∠EBC．
在ΔABF和ΔBCE中，
∵∠AFB=∠BEC，AF=BE，∠BAF=∠EBC，
∴ΔABF≌ΔBCE．
（2）∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°．
∵∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°．
∵BD分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBC=∠BDE，
∴BC=CD，
即ΔBCD是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明
ΔABF≌ΔBCE．
22．（1）C(－4，－2)；（2）AO＝ 2MB．证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）过C点作y轴的垂线段，垂足为H点，证明△ABO≌△BCH，利用全等三角形的性质结合C在第三象限即可求得C点坐标；
（2）过D点作DN⊥y轴于点N，证明△DBN≌△BAO，根据全等三角形对应边相等BN＝AO，DN＝BO，再证明△DMN≌△EMB，可得MN＝MB，于是可得AO＝2MB.
【详解】
（1）解：过C点作y轴的垂线段，垂足为H点．
∴∠BHC＝∠AOB＝90°，
∵A（6，0），B（0，4）
∴OA=6，OB=4
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO＋∠OBC＝90°，又∠ABO＋∠OAB＝90°，
∴∠OBC＝∠OAB，
∵在△ABO和△BCH中
BHC AOB
OBC OAB
AB BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ABO≌△BCH，
∴AO＝BH＝6，CH＝BO＝4，
∴OH＝2，
∴C(－4，－2)．
（2）AO＝ 2MB．
过D点作DN⊥y轴于点N，
∴∠BND＝∠AOB＝90°，
∵△ABD、△OBE为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠OBE＝90°，AB＝BD，BO＝BE，
∴∠DBN＋∠ABO＝∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠DBN＝∠BAO，
∴△DBN≌△BAO，
∴BN＝AO，DN＝BO，
在△DMN和△EMB中，
∵DN＝BO=BE，∠DNM＝∠EBM，∠DMN＝∠EMB，∴△DMN≌△EMB，
∴MN＝MB＝1
2
BN＝
1
2
AO
∴AO＝2MB．
【点睛】
本题考查坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质.能正确作出辅助线，并根据全等三角形的判定定理证明三角形全等是解决此题的关键. 23．（1）是；（2）53；（3）见解析
【解析】
【分析】
问题（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可．
问题（2）分c是斜边和b是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义．
问题（3）利用勾股定理得AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，由AD=BD，则AD=BD，所以2AD2=AB2，加上AE=AD，CB=CE，所以AC2+CE2=2AE2，然后根据新定义即可判断△ACE是奇异三角形．
【详解】
（1）解：设等边三角形的一边为a ，则a 2+a 2=2a 2，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：是；
（2）解：①当52为斜边时，另一条直角边
225255， ∵22255252（或22255225）
∴Rt △ABC 不是奇异三角形，
②当5，52是直角边时，斜边
2252553 ∵22
553=100，2252100 ∴222553=252，
∴Rt △ABC 是奇异三角形，
故答案为53；
（3）证明
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴AC 2+BC 2=AB 2，AD 2+BD 2=AB 2，
∵AD=BD ，
∴2AD 2=AB 2，
∵AE=AD ，CB=CE ，
∴AC 2+CE 2=2AE 2，
∴△ACE 是奇异三角形．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，奇异三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用．
24．(1) (2，2)；(
32，32)； (2) P(2t 2+，2t 2+)；(3) 22+2. 【解析】
【分析】
(1) 当2t =时，三角形AOB 为等腰直角三角形， 所以四边形OAPB 为正方形，直接写出结
果；当1
t=时，作PN⊥y轴于N，作PM⊥x轴与M，求出△BNP≌△AMP，即可得到ON+OM=OB-BN+OA+AM=OB+OA，即可求出；
(2) 作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，求出△BEP≌△AFP，即可得到
OE+OF=OB+BE+OA+AF=OB+OA，即可求出；
(3) 根据已知求出BC值，根据上问得到OQ=2t
2
+
，△PQB≌△PCB，BQ=BC，因为
OQ=BQ+OB，即可求出t.
【详解】
(1) 当2
t=时，三角形AOB为等腰直角三角形如图
所以四边形OAPB为正方形，所以P(2，2)
当1
t=时，如图
作PN⊥y轴于N，作PM⊥x轴与M
∴四边形OMPN为矩形
∵∠BPN+∠NPA=∠APM+∠NPA=90°
∴∠BPN =∠APM
∵∠BNP=∠AMP
∴△BNP≌△AMP
∴PN=PM BN=AM
∴四边形OMPN为正方形，OM=ON=PN=PM
∴ON+OM=OB-BN+OA+AM=OB+OA=2+1=3
∴OM=ON=PN=PM=32 ∴ P(32，32
) (2) 如图
作PE ⊥y 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，则四边形OEPF 为矩形
∵∠BPE+∠BPF=∠APF+∠BPF=90°
∴ ∠BPE =∠APF
∵∠BEP=∠AFP
∴ △BEP ≌△AFP
∴PE=PF BE=AF
∴四边形OEPF 为正方形，OE=OF=PE=PF
∴OE+OF=OB+BE+OA+AF=OB+OA=2+t
∴ OE=OF=PE=PF=
2t 2
+ ∴ P(2t 2+，2t 2+)； (3) 根据题意作PQ ⊥y 轴于Q ，作PG ⊥x 轴与G
∵ B(0，2) C(1，1)
∴2
由上问可知P(
2t 2+，2t 2+)，OQ=2t 2
+ ∵△PQB ≌△PCB
∴
∴
+2=
2t 2+
解得 t=.
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质、全等三角形、直角坐标系等概念，关键是作出正方形求出相应的全等三角形.
25．（1）
52；（2）52x =±. 【解析】
【分析】
（1）分别计算零指数幂，利用平方根的性质化简，计算立方根和算术平方根，然后把所得的结果相加减；
（2）依次移项，系数化为1，两边同时开平方即可.
【详解】
解：（1）原式=115(3)2++--
=52
； （2）移项得：2425x =，
系数化为1得：2
254
x =， 两边同时开平方得：52
x =±. 【点睛】
本题考查实数的混合运算和利用平方根解方程.（1||a =，
2(0)a a =≥；（2）中需注意的是方程右边的常数项（正数）有正负两个平方根，不要漏解．
四、压轴题
26．（1）5y x =+；（2）3）PB 的长为定值
52 【解析】
【分析】
（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；
（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．
【详解】 （
1）对于直线:5L y mx m =+．
当0y =时，5x =-．
当0x =时，5y m =．
()5,0A ∴-，()0,5B m ．
OA OB =．
55m ∴=．
解得1m =．
∴直线L 的解析式为5y x =+．
（2）5OA =，17AM =．
∴由勾股定理，
2222OM OA AM =-=．
180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．
90AOB ∠=︒．
90AOM BON ∴∠+∠=︒．
90AOM OAM ∠+∠=︒．
BON OAM ∴∠=∠．
在AMO ∆与OBN ∆中，
90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
．
()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．
22BN OM ∴==．．
（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．
AEB ∆为等腰直角三角形，
AB EB ∴=
90ABO EBG ∠+∠=︒．
EG BG ⊥，
90GEB EBG ∴∠+∠=︒．
ABO GEB ∴∠=∠．
AOB EBG ∴∆≅∆．
5BG AO ∴==，OB EG =
OBF ∆为等腰直角三角形，
OB BF ∴=
BF EG ∴=．
BFP GEP ∴∆≅∆．
1522
BP GP BG ∴===． 【点睛】
本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．
27．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；
（2）先判断出MF=NG ，OF=MG ，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；
（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q （1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论.
【详解】
证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥l
∴∠ACB ＝∠ADC
∵∠ACE ＝∠ADC+∠CAD ，∠ACE ＝∠ACB+∠BCE
∴∠CAD ＝∠BCE ，
∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC
∴△ACD ≌△CBE ，
∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，
（2）解：如图2，过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，交FM 的延长线于G ，
由已知得OM ＝ON ，且∠OMN ＝90°
∴由（1）得MF ＝NG ，OF ＝MG ，
∵M（1，3）
∴MF＝1，OF＝3
∴MG＝3，NG＝1
∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，
∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，
∴点N的坐标为（4，2），
（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，
对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3
∴P（0，3），
∴OP＝3
由y＝0得x＝1，
∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°
∴∠PSQ＝45°＝∠QPS
∴PQ＝SQ
∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1
∴S（4，1），
设直线PR为y＝kx+b，则
3
41
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
k
2
b3
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴直线PR为y＝﹣
1
2
x+3
由y＝0得，x＝6
∴R（6，0）．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.
28．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由见解析.【解析】
【分析】
（1）①由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，
∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ．
【详解】
（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ，
∴∠ACD=∠BCE ，
在△ACD 和△BCE 中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ACD ≌△BCE ，
∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
②AD=BE.
证明：∵△ACD ≌△BCE ，
∴AD=BE ．
（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由如下：
∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC ， CD = CE ， ∠ACB =∠DCB =∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD = ∠BCE ，
∴△ACD ≌△BCE ，
∴AD = BE ，∠BEC = ∠ADC=135°．
∴∠AEB =∠BEC －∠CED =135°－ 45°= 90°．
在等腰直角△DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，
∴CM =DM= ME ，∴DE = 2CM ．
∴AE = DE+AD=2CM+BE ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．
29．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）BF BP BD +=．
【解析】
【分析】
（1）利用含30的直角三角形的性质得出12
BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；
（3）同（2）的方法得出结论．
【详解】
解：（1）
90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =， 点D 是AB 的中点，
BC BD ∴=，
故答案为：BC BD =；
（2）BF BP BD +=，
理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =， 点D 是AB 的中点，
BC BD ∴=，
DBC ∴∆是等边三角形，
60CDB ∴∠=︒，DC DB =，
线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，
60PDF ∴∠=︒，DP DF =，
CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠，
CDP BDF ∴∠=∠，
在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DCP DBF ∴∆≅∆，
CP BF ∴=，
CP BP BC +=，
BF BP BC ∴+=，
BC BD =，
BF BP BD ∴+=；
（3）如图③，BF BD BP =+，
理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =
， 点D 是AB 的中点， BC BD ∴=，
DBC ∴∆是等边三角形，
60CDB ∴∠=︒，DC DB =，
线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，
60PDF ∴∠=︒，DP DF =，
CDB PDB PDF PDB ∴∠+∠=∠+∠，
CDP BDF ∴∠=∠，
在DCP ∆和DBF ∆中，
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DCP DBF ∴∆≅∆，
CP BF ∴=，
CP BC BP =+，
BF BC BP ∴=+，
BC BD =，
BF BD BP ∴=+．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．
30．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC 与△ACD 是偏差三角形，理由见解析；（3）
272
【解析】
【分析】
（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C 的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；
（2）在AD 上取一点H ，使得AH=AB ，易证△CAH ≌△CAB ，进而可得∠D=∠CHD ，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；
（3）延长CA 至点E ，使AE=BD ，连接BE ，由SAS 可证∆BDC ≅∆EAB ，得EA=BD ，点B 到直线EA 的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】
（1）∵当AC=AB 时，△OAB 与△OAC 是偏差三角形，A (3，2)，B (4，0)，
∴点C 的坐标为（2，0），如图1，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠OCA+∠ACB=180°，
∴∠OBA+∠OCA=180°，
故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；
（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下：
如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB．
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAH=∠CAB，
又∵ AC=AC，
∴△CAH≌△CAB（SAS），
∴CH=CB，∠B=∠AHC，
∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，
∴∠D=∠CHD，
∴CH=CD，
∴CB=CD，
∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，∴△ABC与△ACD是偏差三角形；
（3）如图3中，延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，
∴∠BDC=∠BAE，
又∵AB=CD，
∴∆BDC≅∆EAB（SAS），
∴EA=BD，
∵点C到直线BD的距离是3，
∴点B到直线EA的距离是3，
∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=1
2
∙（AC+EA）×3 =
1
2
∙（AC+BD）×3 =
1
2
×9×3=
27
2
．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。