永州市祁阳县2018届高三数学上学期第二次月考试题文

湖南省永州市祁阳县2018届高三数学上学期第二次月考试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1。

已知集合{}{}2
2,0.2,|20A B x x x =-=--=,则A B =（）
A ．∅
B ．｛2｝
C ．{0}
D ．｛—2}
2.复数
i i
z +-=
12在复平面上对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3。

已知命题“R ∈∃x ，使0
21)1(22
≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范
围是()
A ．)1,(--∞
B ．)3,1(-
C ．),3(+∞-
D ．)1,3(- 4.设0,x y R >∈，则“x y >”是“||x y >”的()
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 5。

已知()1
14
5
279722,,,l o g 979x x
f x a b c --⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()(),,fafbfc 的大小顺序
为（）
A ．()()()fb fa fc <<
B ．()()()fc fb fa <<
C ．()()()fc fa fb <<
D ．()()()fb fc fa <<
6. 为得到函数
1co s()2y x =的图象，只需将函数1sin()
23y x π
=+的图象（) A ．向右平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向左平移个单位
7。

已知y x
,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≤+03045y x y x y x ,则下列目标函数中，在点)1
,4(处取得最大值的是（）
A ．y x z -=51
B ．y x z +-=3
C ．
1
5z x y
=--D ．y x z -=3
8、在平面直角坐标系中，()()0,0,3,4O P ,将向量O P 按逆时针旋转34
π后，得
向量O Q ，则点Q 坐标是（)
A ．(72,2)-
-B ．722,22⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
C ．()26,1-
-D ．(4
6,2)-
9. 已知函数
()2ln x f x x x
=-
，则函数()y f x =的大致图像为（）
10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出 的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（) A ．B ．
C ．
D ．4
11、若
1
()s i n 22s i n 3f x x -x m x =+在(),-
∞+∞单调递增，则m 的取值范围是（)
A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．11,3⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．1
1,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
D ．11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
12．设函数)cos (sin )(x x e x f x
-= EMBED Equation.DSMT4 (02016)x π≤≤，则函数)(x f 的各
极小值之和为（)
A ．220162(1)1e e e πππ
---B ．21008(1)1e e e πππ--- C ．210082(1)1e e e πππ
---D ．220142(1)
1e e e πππ---
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13、已知
1
t a n ,2
α=
则c o s 2α=.
14、在A B C 中,54
s i n ,c o s 135
A B ==
，则c o s C = 15。

已知函数2015
()2015s i n 2015t a n 2015f x x x x =+++，且(2015)2016f -=，则(2
015)f 的
主视图
侧视图
俯视图
值为___________.
16、定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()(),f x f x '<且
()02
,f = EMBED Equation.DSMT4
()2x
f x e <
的
解集为.
三、解答题：本大题6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤。

17.（本小题10分）ABC ∆中,内角C B A
,,的对边分别为c b a ,,， 1
sin 2sin 22
+=+C B A 。

(Ⅰ)求角C 的大小；
（Ⅱ）若2=a ，1=c ，求ABC ∆的面积.
18、(本小题10分）已知函数2
31()s i n 2c o s 22f x x x =
--,
()x R ∈
（I ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（II ）设A B C ∆的内角,,A BC 的对边分别为,,a b c ，且3c =,()0f C =，若向量
(1,s i n )m A =与向量(2,s i n )n
B =共线，求,a b 的值。

19、（本小题10分）为迎接党的“十九”大的召开,某校组织了“歌颂
祖国，紧跟党走”党史知识竞赛，从参加考试的学生中抽出50名学生，将其成绩（满分100分，成绩均为整数）分成六段[40,50),[50,60)，…，[90,100]后绘制频率分布直方图（如图所示）
（Ⅰ）求频率分布图中a 的
值；
（Ⅱ）估计参加考试的学生得分不低于80的概率; (Ⅲ）从这50名学生中，随机抽取得分在[40,60] 的学生2人，求此2人得分都在[40,50]的概率.
20．(本小题12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形,且∠DAB=60°，PA=PD ，
M 为CD 的中点，BD ⊥PM ． （Ⅰ)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
(Ⅱ）若∠APD=90°，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为233
，
求三棱锥A ﹣PBM 的高．
21。

（本小题12分)已知函数
()(1)()
a
f x x a l n xa R x =--+∈。

（Ⅰ）当01a <≤时,求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使()f x x ≤恒成立，若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在，说明理由。

选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多
做，则按所做的第一题计分.
22、［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)
以平面直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位，已知曲线1
C 的参数方程为
c o s ,
s in ,
x y αα=⎧⎨
=⎩，
(α为参数，且[]0,απ∈），曲线2
C 的极坐标方程为2s i n.ρθ=-
(1）求1C 的极坐标方程与2
C
的直角坐标方程；
（2））若P 是1
C 上任意一点,过点P 的直线交2
C 于点M,N ，求P M P N
⋅的取值范围.
23、［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知()()1220f x x x a a =+-->
（Ⅰ)当12
a =
时，求不等式()1f x >的解集；
（Ⅱ）若f （x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围。

2018届祁阳高考补习学校第二次月考
文科数学试题参考答案
一、选择题： 1.B
【解析】由题意得{}{}2
2,0.2,|20{1,2}A B x x x =-=--==-,所以{2}A B =,故选
B 。

2。

D
【解析】()()()2121311(1)22
i i i z i
i i i ---===-++-对应点
1
3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限故选D 。

3。

B
【解析】原命题是假命题，则其否定是真命题,即
()
2
1,2102x R x a x ∀∈+-+>恒成立， 故判别式()()2
140,1,3a a --<∈-.
4。

C
【解析】由题意得,例如35>-,而35>-是不成立的，但由||x y >时，x y
>是成立的，所以“x y >"是“||x y >”的必要而不充分条件,故选C. 5. B
【解析】()f x 为单增函数，1
11445
799()()()977a b c fa fb fc -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>=>∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6。

D
()111s i n s i n c o s ()232223
y x x x ππϕπ
ϕ⎡⎤⎛⎫
=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
∴=
【解析】
7. D
【解析】在直角坐标系内作出可行域如下图所示,由线性规划
知识可知，目标函数1
5
z x y =-与3z x y =
-+均是
在
点(5,1)A
--处取得最大值,目标函数1
5
z x y =-
-在
点(1,4)C 处取得最大值,目标函数y x z -=3在点(4,1)B
处取得最大值，故选D 。

8、B 9. A 【解析】
2
2l n l n ()()()x x
f x x x f x
x x --=--=+≠--,因此()f x 不是奇函数，图象不
会关于原点对称,B 、C 不正确,在0x >时，
3
2
l n l n ()x x x
f x x x x -=-=
,易知此
时()f x 无零点，因此D 错，只有A 正确．故选A ． 10．C
【解析】该几何体S A B C D -如图，其体积为
故选C 。

11．D 12．D
【解析】因为)cos (sin )(x x e x f x
-=,所以x e x f x
sin 2)('=,当)2,2(πππ+∈k k x 时,
'()0f x >，当)2,2(πππk k x -∈时，'
()0f x <，则N k k x ∈=(2π,且101≤≤k ）是函数
18(222)23
3
V =⋅⨯⋅=
)cos (sin )(x x e x f x
-= EMBED Equation.DSMT4 (
02016)x π≤≤的极小值点，
则极小值为ππk
e k
f 2)2(-=(N k ∈,且101≤≤k ），
则函数)(x f 的各极小值之和为ππ21007221])(1[e e e --- EMBED Equation.DSMT4 ππ2201421)1(e e e ---=；
故选D ．
二、填空题：
13． 14．
3365-
15.2014
【解析】
()
()4030(2015)2014f x f x f +-=∴=
16、定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()(),f x f x '<且
()02
,f = EMBED Equation.DSMT4
()2x
f x e <
的解集为(),0-
∞。

三、解答题:本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．【答案】（Ⅰ）
2
2s i n
s i n 12
A B
C +=+,
在A B C ∆中,
2
2s i n
s i n 1
2
C
A B C C ππ-++=∴=+……………1分
22c o s s i n 1c o s s i n 2C C C C
=+∴= (3)
分
()0,4C C π
π∈
∴
= (5)
分
(Ⅱ）方法①由余弦定理知
2222
22c o s 1,122242
2101c a b a b C c a C b b
b b b π=+-==∴=+-+=∴=
……8分
11s i n 22A B C
S a b C ∆==
(10)
分
方法②在A B C ∆中，由正弦定理：
1
sin 4
π
=
,s i n 1A ∴=,90A
=︒…8分
11
22ABC S bc ∆∴==
(10)
分
18．解：（I ）
31c o s 21
()s i n 2222
x f x x +=--
=
sin(2)16x π
-
-，则()f x 的最小值是-2,最小
正周期是22T ππ=
=. （II ）
()s i n (2)10
6
f C C π
=--=,则
sin 216C π⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭
，
0,022C C π
π<<∴<<,
112666
C πππ∴-<-<，
26
C π∴-
=，
3
C π
=
(1,s i n )
m A =与(2,s i n )n B =共线∴1s in 2s in A
B
=
，
由正弦定理得，1
2
a b =①，由余弦定理得，
222
2c o s
3
c a b a b π
=+-，即
3=2
2
a b a b +-②
由①②解得1,2a b ==。

19．【解】（Ⅰ）因为110)028.02022.00018.0004.0(=⨯+⨯+++a ，所以00.0=a
(Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名学生得分不低于80的频率为4.010)018.0022.0(=⨯+，
所以参加考试的学生得分不低于80的概率的估计值为0.4. （Ⅲ）所抽出的50名学生得分在［50，60）的有：50×0.006×10＝
3（人）,即为3
2
1
,,A
A A ;
得分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人)，即为2
1,B B 。

从这5名学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种,它们是
{}{}{}{},,,,,,,,21113121B A B A A A A A {}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,2123132212312B B B A B A B A B A A A 又因为所抽取2人的评分都在
[40，50）的结果有1种,即{}2
1
,B B ，故所求的概率为
10
1
=
p 。

20．【解答】(1）证明：取AD 的中点E,连接
PE,EM,AC ．
∵PA=PD ，∴PE ⊥AD ．
∵底面ABCD 为菱形,∴BD ⊥AC, 又EM ∥AC,∴EM ⊥BD ．
又BD ⊥PM ，∴BD ⊥平面PEM ，
则BD ⊥PE ，∴PE ⊥平面ABCD ．
又PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ． （2)解：设PA=PD=a ，由∠APD=90°，可得，
，
．
由（1）可知PE ⊥平面ABCD ，则V PABCD ==
，
∴,则，AD=2．
可得PE=1，
，PB=PM=2．
∴，．
设三棱锥A ﹣PBM 的高为h ，则由V A ﹣PBM =V P ﹣ABM 可得
．
即
．∴三棱锥A ﹣PBM 的高为．
21。

【解答】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为),0(
+∞， 22
1()(1)
'()1a a x ax f x x x x +--=+-=.。

.。

.。

.。

2
分
当01a <<时，由'()0f x >得，0xa <<或1x <<+∞，由'()0f x <得，1a x <<，
故函数()f x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞,单调减区间为(,1)a ．.。

.....。

..3分
当1a =时，'()0,()f x fx ≥的单调增区间为(0,)+∞．。

..。

.......。

4分
（2）()f x x ≤恒成立可转化为(1)0a ax I n x ++≥恒成立,
令()(1)x a a x I n x ϕ=++，则只需()0x ϕ≥在(0,)x ∈+∞恒成立即可， '()(1)(1)xa l n x ϕ=++．
当10a
+>时，在1
(0,)
x e ∈时,'()0x ϕ<,在1
(,)
x e ∈+∞时，'()0x ϕ> ()x ϕ的最小值为1
()
e
ϕ，由1()0
e
ϕ≥得
11
a e ≥
-，
故当11a e ≥
-时()f x x ≤恒成立，.。

..。

.。

..。

..8
分
当10a +=时，()1x ϕ=-，()0x ϕ≥在(0,)x ∈+∞不能恒成立,
当10a +<时,取1x =，有(1)1a ϕ=<-，()0x ϕ≥在(0,)x ∈+∞不能恒成立，.。

.10
分
综上所述当
11
a e ≥
-时，使()f x x ≤恒成立。

………………12分
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分.
22、［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分）
以平面直角坐标系原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位，已知曲线1
C 的参数方程为c o s ,
s in ,
x y αα=⎧⎨
=⎩,
（α为参数，且[]0,απ∈)，曲线2
C 的极坐标方程为2s i n.ρθ=-
（1)求1
C 的极坐标方程与2
C 的直角坐标方程；
(2））若P 是1
C 上任意一点，过点P 的直线交2
C 于点M,N,求P M P N
⋅的取值范围。

解:（Ⅰ)消参得2
2
1x y +=，因0πα≤≤，所以11,01x y -≤≤≤≤，所以1
C 是22
1x y +=在x 轴上方部分，所以1
C 极坐标方程1(0π)ρθ=≤≤，.
曲线2
C 直角坐标方程为22
(1)1x y ++=
（Ⅱ)设0
(,)P x y ，则0
01y ≤≤，直线倾斜角为α,则参数方程：00cos sin x x t y y t αα
=+⎧⎨
=+⎩
（为参数)。

代入2
C
直角坐标方程得22
00(c o s )(s i n 1)1x t y t αα
++++=
P M P N
⋅=
|12|y +，
001
y ≤≤，∴
[]
1,3P M P N ⋅∈
23、[选修4—5：不等式选讲](10分）
已知()()1220f x x x a a =+-->
(Ⅰ）当
1
2
a =
时，求不等式()1f x >
的解集；
学必求其心得，业必贵于专精
11 （Ⅱ）若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围。

【解】（Ⅰ）当
12a =时，f （x )>1化为｜x +1｜-2|x-1｜＞1， 等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩,解得2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
（Ⅱ）由题设得14,1
()314,1214,2x a x f x x a x a
x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩,
所以()f x 图像与x 轴围成三角形三顶点41
(,0)3a A -，
(41,0)Ba +，(2,2+1)C aa ，2
2
(21)3A B C S a =+.由题设得22
(21)63a +>，()1,a ∈+∞。