【易错题】高一数学下期末试卷(及答案)(1)

【易错题】高一数学下期末试卷(及答案)(1)
一、选择题
1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )
A ．
203
B ．
72
C ．
165
D ．
158
2．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
73 B ．
8π
3
- C ．83
D ．
7π
3
- 4．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]
1,4-
C ．1,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．[]
5,5-
5．已知不等式220ax bx ++>的解集为{}
12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ）
A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
B ．112x x x ⎧
⎫<->
⎨⎬⎩⎭
或 C ．{}
21x x -<<
D ．{}
21x x x <->或
6．函数()23sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．,22ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
D ．5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦ 7．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则
下列结论正确的是（ ）
A ．1b =r
B ．a b ⊥r r
C ．1a b ⋅=r r
D ．()
4C a b +⊥B u u u r r r
8．若||1OA =u u u v ，||3OB =u u u v ，0OA OB ⋅=u u u v u u u v
，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设
OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则m
n
的值为（ ）
A ．
13
B ．3
C ．
3 D ．3
9．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．
的是 A ．11()()2
2
a
b
>
B ．ln ln a b >
C ．
11a b
> D ．11
ln ln a b >
10．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32
a b
+的最小值是( )
A ．23
B ．24
C ．25
D ．26
11．函数2
ln ||y x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,
24,1,0,
x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪
⎨
-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+
的最大值为 A ．6
B ．19
C ．21
D ．45
二、填空题
13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．
14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．
15．设向量(12)(23)a b ==r r
，，，，若向量a b λ+r r 与向量(47)c =--r
，
共线，则λ= 16．如图，在矩形中，
为边
的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为
圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （
在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边
所围成
的平面图形绕直线
旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .
17．已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且
0578
a b c GA GB GC ++=u u u
r u u u r u u u r r ，则角B 的大小是__________． 18．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有________个．
19．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．
20．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．
三、解答题
21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示． 组号
分组
频数
频率
第1组 [)160,165 5 0.050
第2组 [)165,170 ① 0.350
第3组 [)170,175 30 ②
第4组 [)175,180 20 0.200 第5组
[)180,185
10
0.100
（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．
22．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙
10
9
8
6
8
7
9
7
8
8
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．
23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若7c =
33
ABC S ∆=
ABC ∆的周长. 24．已知函数()sin()(0,0)3
f x A x A π
ωω=+
>>的部分图象如图所示.
（1）求A 和ω的值；
（2）求函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；
（3）若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值. 25．
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y （千亿元）
5
6
7
8
10
（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程
^
^^
t y b a =+
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款.
附：回归方程^
^
^
t y b a =+中
1
1
2
22
1
1
()(),
{()
.
n n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b x x x
nx a y bx ====---==
--=-∑∑∑∑
26．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），
3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =60AED ∠=o . （1）求ABE △区域的面积；
（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即133
1,2,,2222
M a b n =+
====;又由23≤成立，则循环，即2838
2,,,33323
M a b n =+
====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =
+====;又由43≤不成立，则出循环，输出15
8M =． 考点：算法的循环结构
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++
⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】
()11a ax y
x y a x y y x
⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .
若0xy <，则0y
x
<，从而
1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；
若0xy >，则
0y
x
>，0x y >.
①当0a <时，
1ax y
a y x
+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
≥不恒成立； ③当0a >时，
())
2
1
1111a ax y x y a a a x y y x
⎛⎫++=+++≥+=+=
⎪⎝⎭，
当且仅当=y 时，等号成立.
所以，
)
2
19≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.
故选：C. 【点睛】
本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为
21118222123233π
π-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.
4．C
解析：C 【解析】
∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−
1
2
⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
本题选择C 选项.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得
,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】
220ax bx ++>Q 的解集为{}12x x -<<
1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <
1212122
b
a a
⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨
=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：1
12x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
故选：A 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：
()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
其单调增区间满足：()23222232
k x k k Z π
π
πππ+≤-≤+∈， 解得：()713
1212
k x k k Z ππππ+
≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选A . 【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
7．D
解析：D 【解析】
试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q r
r ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．
由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
o
r r r r r ．
()()
2422a b BC AB BC BC AB BC BC
∴+⋅=+⋅=⋅+u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2
12cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭
o u u u r u u u r ．()
4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．
考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】
解：30AOC ︒∠=Q
cos ,OC OA ∴<>=u u u r u u u r
2OC OA OC OA
⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r
(
)
mOA nOB OA mOA nOB
OA
+⋅∴=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r
2= 1OA =Q
，OB =，0OA OB ⋅=u u u r u u u
r
2
=
229m n ∴=
又C Q 在AB 上
0m ∴>，0n > 3m n
∴=
故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】
依题意01a b <<<，由于12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11
ln ln a b
>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11
a b
>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得
()323232a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，对其变形可得326613a b a b b
a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】
根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，
则
()32326632131325a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当1
5
a b ==时等号成立. 即
32
a b
+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

【详解】
由题函数定义域为0x ≠，2
2
()()ln ||ln ||()f x x x x x f x -=-+-=+=，函数为偶函数，图像关于y 轴对称，B,C 选项不符合，当0x →时，y →-∞，则函数图像大致为A 选项所示. 故选：A 【点睛】
此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。

12．C
解析：C 【解析】
分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.
详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：5
1x y x y +=⎧⎨
-+=⎩
，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可
知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.
点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.
二、填空题
13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3
解析：3 【解析】 【分析】 【详解】
如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．
14．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式
解析：1
n
-
【解析】
原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：
1
111n n S S +-= ，即
111
1n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n n n S =-+--=- ，即1
n S n
=-
. 【点睛】这类型题使用的公式是1
1
{
n n n S a S S -=-
1
2
n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是
消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.
15．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学
解析：2 【解析】
【分析】
由题意首先求得向量a b λ+r r ，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值.
【详解】
a b
λ+r r =(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=. 故答案为2． 【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中圆柱的底面半径为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋转体的组合体 解析：
【解析】
由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为
；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为
；则所求几何体的体积为 .
考点：旋转体的组合体.
17．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件 解析：3
π
【解析】
由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=u u u r u u u r u u u r ，代入0578
a b c GA GB GC ++=u u u
r u u u r u u u r r 可得
()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，故578
a b c
==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491
cos 802
t t t B t +-==
，故3B π=，应填答案3π． 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法
则，将其转化为()()05787
a b c b GA GC -+-=u u u
r u u u r r ，然后再借助向量相等的条件待定出三角形
三边之间的关系
578a b c
==，最后运用余弦定理求出3
B π=，使得问题获解． 18．3【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝8即圆心（﹣1-2）半径r ＝2∴圆心到直线x+y+1＝
解析：3 【解析】 【分析】
圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，判断即可得到距离． 【详解】
圆方程变形得：（x +1）2+（y +2）2＝8，即圆心（﹣1，-2），半径r ＝，
∴圆心到直线x +y +1＝0的距离d ==，
∴r ﹣d =
则到圆上到直线x +y +1＝03个， 故答案为3. 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，解题时注意点到直线的距离公式的合理运用.
19．x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的
解析：x －y ＋2＝0 【解析】 【分析】
设直线l 方程为y ＝kx +b ，由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称，利用121C C l k k ⨯=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ，从而得到直线方程． 【详解】
由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2）， ∵圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y +4＝0关于直线l 对称， ∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y ＝kx +b ， ∴
2020k ---n ＝﹣1且022+＝k •022
-+b ， 解得k ＝1，b ＝2，故直线方程为x ﹣y ＝﹣2， 故答案为：x －y ＋2＝0． 【点睛】
本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．
20．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是
解析：
6
【解析】 【分析】
由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果． 【详解】
由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，
=
∴几何体的体积是211132π⨯⨯⨯=，
【点睛】
本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.
三、解答题
21．（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）35
. 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图． （2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．
（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为
1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概
率． 【详解】
（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，
②第3组的频率为
30
0.300100
=， 频率分布直方图如图所示，
（2）因为第3,4,5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组： 30
6360
⨯=人， 第4组：人，
第5组：
10
6160
⨯=人， 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为
1C ，
则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），
其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：
11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），
31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），
∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93
155
=． 【点睛】
本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．
22．（1）的平均数为8,标准差为2,乙的平均数为8,标准差为30
；（2）乙 【解析】 【分析】 【详解】
(1)根据题中所给数据,则甲的平均数为
,
乙的平均数为,
甲的标准差为,
乙的标准差为,
故甲的平均数为8,标准差为2,乙的平均数为8,标准差为305
; (2)
,且
,
乙的成绩较为稳定, 故选择乙参加射箭比赛. 考点：平均数与方差 23．（1）3
C π
=（2）57【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成
2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1
cos ,2
C =
从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=
12cos sin()sin cos 23
C A B C C C π∴+=⇒=
⇒= （2）1313
sin 36222ABC S ab C ab ab ∆=
⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=Q
2213a b ∴+=，2
()255a b a b ∴+=⇒+=
ABC ∆∴的周长为57考点：正余弦定理解三角形. 24．（1）2A =，2ω=;（2）[0,]12
π
和7[
,]12π
π;（3）173
π. 【解析】
【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得224
312
4T
A π
π
π
ω
==-
=
，，进而求出2ω=；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
求
出单调增区间51212
x k ππ
ππ-≤≤+，（k Z ∈），然后求出函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,
12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦.（3）先求出函数()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭中的512x k ππ=+或34
x k π
π=+（k Z ∈），进而借助周期性求出b a -的最大值为217533
T ππ+
=。

解：（1）2A =， 2,243124T πππωω
=-==. （2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，（k Z ∈）
得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，（k Z ∈） 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （3）由()2sin 213f x x π⎛
⎫
=+
=- ⎪⎝
⎭得512x k ππ=+或34
x k π
π=+（k Z ∈）. 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -的最大值为217533
T ππ+
=. 25．（Ⅰ） 1.2.6ˆ3y
t =+，（Ⅱ）10.8千亿元. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出,x y ，2
1
1
,.n
n
nt i
ny i i i i l t
nt l t y nty ===
-=-∑∑的值，然后代
入ˆny
nt
l b l =求得ˆb ，再代入ˆˆa y bt =-求出ˆa 值，从而就可得到回归方程 1.2.6ˆ3y t =+， （Ⅱ）将6t =代入回归方程 1.2.6ˆ3y
t =+可预测该地区2015年的人民币储蓄存款． 试题解析： （1）列表计算如下
这里11136
5,3,7.2.55
n i i i i n t t y y n n =====
=
===∑∑ 又2
2
1
1
555310,120537.212.n
n
nt i
ny i i i i l t
nt l t y nty ===
-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑
从而12 1.2,7.2 1.2
3 3.610
ˆˆˆny nt
l b
a y bt l ==
==-=-⨯=. 故所求回归方程为 1.2.6ˆ3y
t =+. （2）将6t =代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
1.26 3.610.8(ˆ).y
=⨯+=
千亿元 考点：线性回归方程. 26
．（12百米. 【解析】 【分析】
（1）由余弦定理求出4AB =百米，由此能求出ABE V 区域的面积；（2）记
AEB α∠=，在ABE V 中，利用正弦定理求出sin α和cos α的值，当CH DE ⊥时，水管长最短，由此能求出当水管CH 最短时的长.
【详解】
（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==
o
在ABE V 中，由余弦定理得222
2cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即
2211AB AB =++，所以4AB =百米
所以11sin 41222
ABE S AB BE ABE V =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. （2）记AEB α∠=，在ABE V 中，sin sin AB AE ABE
α=∠，即4sin α=
，
所以sin ,cos 77
αα=
==
， 当CH DE ⊥时，水管CH 最短， 在Rt ECH V 中，
2π2π2π
sin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫
=∠=-=- ⎪⎝⎭百米.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，利用同角三角函数关系式求三角函数值，并求三角形面积，属于基础题.（1）根据余弦定理，可直接求得AB 的长度，由三角形面积公式即可求得ABE S V 的面积；（2）根据最短距离为垂直距离，可求得CH 的长.。