人教版高中数学必修二3.3.2两点间的距离 课件
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| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系。
小试牛刀
1.求下列两点间的距离： (1)A(6，0),B(-2，0) (2)C(0，-4),D(0，-1）
∴△A BC 为等腰三角形．
题组二 坐标法在平面几何的应用
例3.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和。
D
C
A
B
分析：首先建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关量，然后进行 代数计算，最后把代数计算的结果“翻译”成几何关系。
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直 线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)。
2.已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间 的距离等于10，求点P的纵坐标。
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条
建立坐标系，用坐 标表示有关的量。
进行有关的 代数运算。
把代数运算结果“翻 译”成几何关系。
注意：要认真体会适当建立坐标系对证明的重要性， 它可以简化计算。
课堂小结
1、平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是：
y
P
o
x
| OP | x2 y2
精典题例
题组一 两点间距离公式的运用
例1. 若ABC的顶点为A（3，1）、B（-1，-2） 和C（-1，1），求其周长。
解：
AB (31)2 (1 2)2 5 BC (11)2 (2 1)2 3
AC (31)2 (11)2 4
∴ 周长=AB+BC+AC=5+3+4=12。
3.3.2 两点间的距离
y
M2
P1
P2
x
M1
|P1P2|=x2-x1
|M1M2|=y2-y1
平面上两点之间的距离怎么求？
y P1
P2
o
x
合作探究
（1）x1≠x2, y1=yy2
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
（2） x1 = x2, y1 ≠ y2 y
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y P1
o
x
P2
新课感知
如图 3－3－1，已知 x 轴上一点 P1(x0，0)和 y 轴上一点 P2(0，y0)，那么点 P1 和 P2 的距离为多少？
图 3－3－1
解： 根据勾股定理知|P1P2|＝ x20＋y20.
特别地，原点O与任一点P（x,y）的距离：
例 2.在 x 轴上到 A(－4，3)和 B(2，6)两点的距离 相等的点 P 的坐标为________．
54，0
变式训练
以 A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[ 解 析 ] |A B| ＝ （5－1）2＋（5－4）2 ＝ 17 ， |A C| ＝ （5－4）2＋（5－1）2＝ 17， |BC|＝ （4－1）2＋（4－1）2＝ 18，∴A B ＝A C，
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得C(a+b,c)
点C的纵坐标等于 点D的纵坐标
y
D (b ,c)
C (a+b ,c)
C、D两点横 坐标之差为a
o A (0,0)
B (a,0)
x
y
D (b,c)
C (a+b,c)
o A (0,0)
B (a,0)
x
| AB |2 a2 , | CD |2 a2 | AD |2 b2 c2 , | BC |2 b2 c2 | AC |2 (a b) 2 c2 , | BD |2 (b - a) 2 c2 | AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | AC |2 | BD |2
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
o
x
| P1P2 || y2 y1 |
（3）x1≠x2,y1≠y2
y P1 (x1,y1)
Q (x2,y1)
P2 (x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
平面内任意两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是：
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系。
小试牛刀
1.求下列两点间的距离： (1)A(6，0),B(-2，0) (2)C(0，-4),D(0，-1）
∴△A BC 为等腰三角形．
题组二 坐标法在平面几何的应用
例3.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和。
D
C
A
B
分析：首先建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关量，然后进行 代数计算，最后把代数计算的结果“翻译”成几何关系。
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直 线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)。
2.已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间 的距离等于10，求点P的纵坐标。
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条
建立坐标系，用坐 标表示有关的量。
进行有关的 代数运算。
把代数运算结果“翻 译”成几何关系。
注意：要认真体会适当建立坐标系对证明的重要性， 它可以简化计算。
课堂小结
1、平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是：
y
P
o
x
| OP | x2 y2
精典题例
题组一 两点间距离公式的运用
例1. 若ABC的顶点为A（3，1）、B（-1，-2） 和C（-1，1），求其周长。
解：
AB (31)2 (1 2)2 5 BC (11)2 (2 1)2 3
AC (31)2 (11)2 4
∴ 周长=AB+BC+AC=5+3+4=12。
3.3.2 两点间的距离
y
M2
P1
P2
x
M1
|P1P2|=x2-x1
|M1M2|=y2-y1
平面上两点之间的距离怎么求？
y P1
P2
o
x
合作探究
（1）x1≠x2, y1=yy2
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
（2） x1 = x2, y1 ≠ y2 y
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y P1
o
x
P2
新课感知
如图 3－3－1，已知 x 轴上一点 P1(x0，0)和 y 轴上一点 P2(0，y0)，那么点 P1 和 P2 的距离为多少？
图 3－3－1
解： 根据勾股定理知|P1P2|＝ x20＋y20.
特别地，原点O与任一点P（x,y）的距离：
例 2.在 x 轴上到 A(－4，3)和 B(2，6)两点的距离 相等的点 P 的坐标为________．
54，0
变式训练
以 A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[ 解 析 ] |A B| ＝ （5－1）2＋（5－4）2 ＝ 17 ， |A C| ＝ （5－4）2＋（5－1）2＝ 17， |BC|＝ （4－1）2＋（4－1）2＝ 18，∴A B ＝A C，
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得C(a+b,c)
点C的纵坐标等于 点D的纵坐标
y
D (b ,c)
C (a+b ,c)
C、D两点横 坐标之差为a
o A (0,0)
B (a,0)
x
y
D (b,c)
C (a+b,c)
o A (0,0)
B (a,0)
x
| AB |2 a2 , | CD |2 a2 | AD |2 b2 c2 , | BC |2 b2 c2 | AC |2 (a b) 2 c2 , | BD |2 (b - a) 2 c2 | AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | AC |2 | BD |2
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
o
x
| P1P2 || y2 y1 |
（3）x1≠x2,y1≠y2
y P1 (x1,y1)
Q (x2,y1)
P2 (x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
平面内任意两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是：