四川省泸县学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析

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泸县2023年秋期高一第一学月考试
数学试题(答案在最后)
本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.
第I 卷选择题(60分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}{}
1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则
C U B A
A.
{}1,6 B.
{}
1,7 C.
{}6,7 D.
{}
1,6,7【答案】C 【解析】
【分析】先求U A ð,再求U B A ⋂ð.
【详解】由已知得{}1,6,7U C A =,所以U B C A ⋂={6,7},故选C .
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算.渗透了直观想象素养.使用补集思想得出答案.2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D 【解析】
【详解】试题分析:命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”.故选D .
考点:命题的否定.
3.正确表示图中阴影部分的是()
A.U A B ⋃ð
B.U U
A B
痧C.()U A B ð D.()
U A B ⋂ð【答案】C 【解析】
【分析】通过并集,交集和补集的概念计算,对四个选项一一判断,得到答案.
【详解】A 选项,如图1,U A B ⋃ð表达的部分为①②③的并集,不满足要求,A 错误;
BD 选项,如图2,U U
A B
痧和()U A B ⋂ð表达的部分均为②③④部分的并集,不满足要求,BD 错误;
C 选项,根据计算,满足题意,C 正确;故选:C
4.“04x <<”的一个必要不充分条件为().
A.04
x << B.02
x << C.0
x < D.4
x <
【答案】D 【解析】
【分析】利用集合关系判定充分必要条件即可.【详解】显然A 项是充要条件,不符合题意;
由“02x <<”可推出“04x <<”,即B 项是充分条件,不符合题意;
“0x <”不能推出“04x <<”,反之“04x <<”也推不出“0x <”,即C 项为既不充分也不必要条件,不符合题意;
易知()0,4真包含于(),4-∞,所以“04x <<”的一个必要不充分条件为“4x <”,故选:D .
5.已知集合{{},1,,A B m B A ==⊆,则m =()
A.0或3
B.0或1
C.1
D.3
【答案】A 【解析】
【分析】由题意可得3m =或m =
,当3m =时,代入两集合检验是否满足B A ⊆,再由m =求
出m 的值,代入两集合检验是否满足B A ⊆,还要注意集中元素的互异性
【详解】因为B A ⊆,所以3m =或m =
.
①若3m =,则{{},1,3A B ==,满足B A ⊆;
②若m =
,则0m =或1m =.
当0m =时,{}{}1,3,0,1,0A B ==,满足B A ⊆;
当1m =1=,集合,A B 不满足元素的互异性,舍去.综上,0m =或3m =,故选:A .
6.设a ,b ,R c ∈,且a b >,则下列不等式成立的是()
A.ac bc >
B.
11a b
< C.22
a b > D.a c b c
+>+【答案】D 【解析】
【分析】利用不等式的性质可判断A 、D ,举反例可判断B 、C ,进而可得正确选项.【详解】对于A :当0c ≤时,由a b >可得ac bc ≤,故选项A 不正确;
对于B :取2a =,1b =-满足a b >,但
11
a b
>,故选项B 不正确;对于C :取2a =,3b =-满足a b >,但22a b <,故选项C 不正确;对于D :由a b >可得a c b c +>+,故选项D 正确;故选:D.7.不等式
2
121x x -≤--的解集为()
A.1
12x x x ⎧⎫≤
≥⎨⎬⎩

或 B.1
12x x x ⎧⎫<
≥⎨⎬⎩

或 C.112x
x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
D.112x
x ⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭
【答案】D 【解析】
【分析】将原不等式转化为整式型即一元二次不等式求解即可.【详解】由
2
121
x x -≤--,2
1021x x -∴
+≤-,整理得1021
x x -≤-,上式等价于()()1210210
x x x ⎧--≤⎨-≠⎩,解得1
12x <≤,
∴不等式
2
121x x -≤--的解集为112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭
.故选:D.
8.若正数,x y 满足20xy x y --=,则2
y
x +的最小值是()
A.2
B.
C.4
D.
【答案】C 【解析】
【分析】由20xy x y --=得21
x y x =
-,代入2y
x +后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为正数,x y 满足20xy x y --=,所以201
x
y x =
>-,则10x ->,
所以1111224211
y x x x x x +
=++=-++≥=--,当且仅当1
11
x x -=-,即2x =时,等号成立.故选:C .
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列命题不正确的是()
A .
x ∃∈R ,210
x +≤B.x ∀∈R ,2
2x x >C.“0a b +=”的充要条件是“
1a
b
=-”D.“1a >,1b >”是“1ab >”的充分条件【答案】ABC 【解析】
【分析】利用二次函数的性质可判断A 选项;利用特殊值法可判断B 选项;利用充分条件、必要条件的定义可判断C 选项;利用充分条件的定义可判断D 选项.
【详解】对于A 选项,x ∀∈R ,210x +>,所以,命题“x ∃∈R ,210x +≤”为假命题,A 错;对于B 选项,当3x =时,22x x <,故命题“x ∀∈R ,22x x >”为假命题,B 错;
对于C 选项,当0a b ==时,0a b +=,则
a
b 无意义,即“0a b +=”⇒“1a b
=-”,另一方面,当1a b =-时,则有a b =-,即0a b +=,即“0a b +=”⇐“1a
b
=-”,
所以,“0a b +=”的充分不必要条件是“1a
b
=-”,C 错;
对于D 选项,当1a >,1b >时,1ab >,即“1a >,1b >”是“1ab >”的充分条件,D 对.故选:ABC.
10.设2{|8150}A x x x =-+=,{|10}B x ax =-=,若A B B = ,则实数a 的值可以为()
A.
15
B.0
C.3
D.
13
【答案】ABD 【解析】
【分析】先将集合A 表示出来,由A B B = 可得B A ⊆,则根据集合A 中的元素讨论即可求出a 的值.【详解】集合2{|8150}{3,5}A x x x =-+==,由A B B = 可得B A ⊆,则分B =∅和{3}=B 或{5}或{3,5},当B =∅时,满足0a =即可;
当{3}=B 时,满足310a -=,解得:13a =;当{5}B =时,满足510a -=,解得:1
5
a =;
当{3,5}B =时,显然不符合条件,所以a 的值可以为11
0,,35
,故选:ABD .
11.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则(

A.0a b c ++<
B.a c b +<
C.0
abc < D.()
2
44b a c a <+【答案】BCD 【解析】
【分析】由二次函数的图象与性质对选项逐一判断.【详解】由题意得0a <,对称轴12b
x a
=-
=,则20b a =->,当1x =时,0y a b c =++>,故A 错误;
当=1x -时,0y a b c =-+<,则a c b +<,故B 正确;当0x =时,0y c =>,则0abc <,故C 正确;
设一元二次方程2
0ax bx c ++=的两根分别为12,x x ,由图象可知124x x a a
-==<,整理可得()2
44b a c a <+,故D 正确.
故选:BCD
12.下列命题中的真命题有()
A.当x >1时,1
1
x x +
-的最小值是3
B.
2
的最小值是2
C.当0<x <105
D.若正数x ,y 为实数,若x +2y =3xy ,则2x +y 的最大值为3【答案】AC 【解析】
【分析】对于A 、C 利用基本不等式分析判断,对于B 由对勾函数的性质分析判断,对于D 根据基本不等式的变形分析判断.【详解】对于选项A 因为1x >,则10x ->,
所以11(1)11311x x x x +
=-++≥=--,当且仅当1
11x x -=
-,即2x =时,等号成立,故选项A 正确;
对于选项B 22
2=
=

等号成立的条件是23x =-,显然不成立,所以等号不成立,不能使用基本不等式,即最小值不为2,令
2t =
≥,则1y t t =+在[)2,+∞上单调递增,所以2t =时取得最小值
5
2
,故选项B 错误;对于选项C 因为010x <<,则100x ->
(10)
52
x x +-≤
=,
当且仅当10x x =-,即5x =时,等号成立,故选项C 正确;对于选项D 由23x y xy +=得
12133y x
+=,故
()()12221459
2212333333333x y x y x y x y y x y x ⎛⎫+=+⨯=+⨯+=+++≥+== ⎪⎝⎭,当且仅当
2233x y
y x
=时取等号,故选项D 错误
.故选:AC.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.集合{}
N 6x x ∈≤中的元素为________.
【答案】0,1,2,3,4,5,6【解析】
【分析】由集合的表示可求出.
【详解】{}
{}N 60,1,2,3,4,5,6x x ∈≤=∴该集合中的元素为0,1,2,3,4,5,6.故答案为:0,1,2,3,4,5,6
14.已知11a -<<,23b <<,则23a b -的取值范围是__.【答案】(11,4)--【解析】
【分析】由不等式的基本性质求解即可【详解】解:11a -<<,23b <<,则222a -<<,936b -<-<-,
故由不等式的可加性可知,11234a b -<-<-,故23a b -的取值范围是(11,4)--.故答案为:(11,4)--.
15.正数a ,b 满足3ab a b =++,则ab 的取值范围是___________.【答案】[)9,+∞【解析】
【分析】由基本不等式可得,33ab a b =++≥,解不等式即可.【详解】正数a 、b 满足3ab a b =++,
a b +≥,当且仅当a b =时取等号,
33ab a b ∴=++≥,解得3≥1≤-(舍去),则9ab ≥,当且仅当3a b ==时取等号,即ab 的取值范围是[)9,+∞.故答案为:[)9,+∞.
16.若不等式()()
2
30ax x b +-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立,则()1a b +的最大值为_____.
【答案】6-【解析】
【分析】讨论0b ≤、0b >,根据不等式恒成立,结合一次函数、二次函数的性质,再讨论0a ≠、0a =情况下参数a 、b 之间的数量关系,最后根据目标式并应用基本不等式求最大值,注意等号成立条件.【详解】1、当0b ≤时,题设不等式恒成立,只需30y ax =+≤恒成立,
0a ≠时,由一次函数的性质易知:30y ax =+≤不可能恒成立;
0a =时,30y =>不成立;
∴0b ≤不合要求.
2、当0b >时,由题设有2300ax x b +≥⎧⎨-≤⎩或230
ax x b +≤⎧⎨-≥⎩在()0,+¥
上恒成立,
当0a =时,20x b -≤在()0,+¥上不可能恒成立,不合要求;
当0a ≠时,在()0,+¥上3y ax =+、2
y x
b =-以零点为界两侧单调性相反,且零点相同,
∴3
a -
=,即a =
∴()136a b
+=-≤-⨯-,当且仅当3a =-,1b =时等号成立.
综上,()1a b +的最大值为6-.故答案为:6-.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知非空集合{|2135},{|322}A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤.(1)当10a =时,求,A B A B ;(2)求能使A B B ⋃=成立的a 的取值范围.
【答案】(1){|2122},{|325}A B x x A B x x =≤≤=≤≤ (2)[]6,9【解析】
【分析】(1)当10a =时,求得{|2125},{|322}A x x B x x =≤≤=≤≤,结合集合交集、并集的运算,即可求解;
(2)由A B B ⋃=,得到A B ⊆,结合集合的包含关系,列出不等式组,即可求解.【小问1详解】
解:当10a =时,集合{|2125},{|322}A x x B x x =≤≤=≤≤,
由集合交集和并集的定义与运算,可得{|2122},{|325}A B x x A B x x =≤≤=≤≤ .
【小问2详解】
解:由非空集合{|2135},{|322}A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤,因为A B B ⋃=,可得A B ⊆,
因为A ≠∅,所以35212133522a a a a -≥+⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
,解得69a ≤≤,
所以实数a 的取值范围是[]6,9.
18.已知集合{|16}A x x =-≤≤,{|4}B x x =<,{|523}C x m x m =-<<+.(1)求A B ⋂;
(2)若A C ⊆,求实数m 的取值范围.【答案】(1){}
14A B x x ⋂=-≤<;(2)3
42
m <<.【解析】【分析】
(1)可利用数轴求两个集合的交集;
(2)根据子集关系列出不等式组,解不等式组即得结果.
【详解】(1){}{}{}
16414A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂<=-≤<;(2)因为{}{
}
16523A x x C x m x m =-≤≤=-<<+,,
所以当A C ⊆时,有51236
m m -<-⎧⎨+>⎩,解得3
42m <<,
所以实数m 的取值范围是
3
42
m <<.【点睛】本题考查了集合的交集运算,以及集合之间的包含关系,属于基础题.19.已知函数()()
2
2
1f x ax a x a =-++.
(1)若当0a >时()0f x <在()1,2x ∈上恒成立,求a 范围;(2)解不等式()0f x >.
【答案】(1)1(0,[2,)2⋃+∞;(2)当0a =时,0x <,当1a >时,1x a <
或x a >,当1a =时,1x ≠,当01a <<时,x a <或1x a >
,当10a -<<时,1x a a <<,当1a =-时,x ∈∅,当1a <-时,1a x a
<<.【解析】【详解】试题分析:(1)当0a >时,二次函数的图象开口方向向上,若()0f x <在(1,2)x ∈上恒成立,列出不等式组,即可求解a 范围;(2)由
,即(1)()0ax x a -->,对a 值进行分类讨论,可得不同情况下,不等式的解集.
试题解析:(1)只需()()10{
20f f ≤≤解得[)10,2,2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦(2)()()()()221010
f x ax a x a ax x a =-++>⇔-->当0a =时得到0
x <当0a >时,化为()10x x a a ⎛
⎫--> ⎪⎝⎭当1a >时得到1x a
<或x a >当1a =时得到1x ≠当01a <<时得到x a <或1
x a >
当a<0时,化为()10x x a a ⎛
⎫--< ⎪⎝⎭当10a -<<时得到1x a a
<<当1a =-时得到x ∈∅当1a <-时得到1a x a <<
.考点:二次函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立、二次函数的图象与性质,其中熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键,本题的解答中()0f x <在(1,2)x ∈上恒成立,列出不等式组,即可求解a 范围和把
,转化为(1)()0ax x a -->,再对a 值进行分类讨论解答的基础,着重考查
了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
20.选用恰当的证明方法,证明下列不等式.
(1)已知,,0a b c >,求证:222a b c a b c b c a
++≥++(2)已知a ,b ,c 为正数,且满足1abc =.证明:
222111a b c a b c
++≤++;【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用基本不等式可得222
2,2,2a b c b a c b a a b c a
+≥+≥+≥,三式相加化简可得结论,(2)利用基本不等式可得2222222.2,2a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥,三式相加,结合1abc =,可得结论
【小问1详解】
因为,,0a b c >,所以2222,2,2a b c b a c b a a b c a
+≥+≥+≥,所以222
222a b c b c a a b c b c a
+++++≥++,所以222
a b c a b c b c a
++≥++,当且仅当a b c ==时取等号【小问2详解】
因为a ,b ,c 为正数,2222222.2,2a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥,
所以222222222a b a c b c ab ac bc +++++≥++,
所以222a b c ab ac bc ++++≥,
因为1abc =,所以222111ab ac bc a b c abc a b c ++++≥
=++,当且仅当a b c ==时取等号,即222
111a b c a b c
++≤++
21.已知,a b 1a b =+.(1)求ab 的最大值;
(2)是否存在,a b ,使得
11a b +?并说明理由.【答案】(1)12
(2)不存在,理由见解析
【解析】
【分析】(1)由条件等式及基本不等式求得12
≤ab ,结合等号成立条件确定最值;(2)由(1)及基本不等式求
11a b
+最小值,即可确定存在性.【小问1详解】
,a b
为正实数,且a b+=,
又a b+≥
(当且仅当
2
a b==时取等号)

≥,则
1
2

ab ,且
2
2
a b==取等号,
ab
∴的最大值为1
2
.
【小问2详解】
0,0
a b
>>

11
a b
∴+≥=≥
当且仅当
2
a b==
时等号成立,
<
∴不存在,a b,使得
11
a b
+
.
22.小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为()
W x万元.在年产量不足8万件时,()2
1
3
W x x x
=+万元;在年产量不小于8万件时,()
100
638
W x x
x
=+-万元,每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润()
L x万元关于年产量x万件的函数解析式.注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)()
2
143,08
3
100
35,8
x x x
L x
x x
x

-+-<<
⎪⎪
=⎨
⎛⎫
⎪-+≥

⎪⎝⎭

(2)年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润是15万元
【解析】
【分析】(1)根据题意分08
x
<<和8
x≥求出利润,得利润的分段函数;
(2)分别利用二次函数及均值不等式求最值,比较大小可得函数的最大值.
【小问1详解】
因为每件产品售价为5元,则x (万件)商品销售收入为5x 万元,依题意得:
当08x <<时,()2211534333L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭
,当8x ≥时,()1001005638335L x x x x x x ⎛
⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,∴()2143,08310035,8x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
.【小问2详解】
当08x <<时,()()21693
L x x =--+,此时,当6x =时,()L x 取得最大值9;8x ≥时,(
)100353515L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝
⎭,此时,当100x x =
即10x =时,()L x 取得最大值15;∵915≤,
∴年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润是15万元.。

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