2018届高三理科数学二轮复习课件：模块二+专题五+解析几何2-5-3

核心考点突破
典例精析 题型突破
考点一 轨迹方程问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立 x、y 之间的关系 F(x，y)＝0； (2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系 数法求方程； (3)相关点法(代入法)：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0) 的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得出要求的轨迹 方程； (4)参数法：将动点的坐标(x，y)表示为第三个变量的函数， 再消参得所求方程．
[ 解析]
由题设知|x1|> 2，A1(－ 2，0)，A2( 2，0)，则有直
y1 线 A1P 的方程为 y＝ (x＋ 2)，① x1＋ 2 －y1 直线 A2Q 的方程为 y＝ (x－ 2)，② x1－ 2 2 x＝x1， 联立①②，解得 y＝ 2y1， x1 2 x1＝ x， ∴ y1＝ 2y， x
3 (2)(ⅰ)当直线 l 的斜率 k 不存在时，x＝± 2 ， 3 所以 y＝± 2 ，所以|AB|＝ 3. 3 又圆半径为 2 . 1 3 3 所以 S△OAB＝2× 3× 2 ＝4.
(ⅱ)当直线 l 的斜率 k 存在时，设直线 l 方程为 y＝kx＋m， x2 2 ＋y ＝1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 3 y＝kx＋m， (1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， －6km 3m2－3 x1＋x2＝ 2，x1x2＝ 2， 1＋3k 1＋3k |m| 3 又直线 l 与圆相切，则有 2 ＝ 2 ， k ＋1 即 4m2＝3(1＋k2)
[ 解]
(1)设点 P(x，y)，因为 A(－ 2，0)，B( 2，0)，所以直
y y 线 PA 的斜率为 (x≠－ 2)， 直线 PB 的斜率为 (x≠ 2)， x＋ 2 x－ 2 1 又直线 PA 的斜率为 k1，直线 PB 的斜率为－ ， 2k1
1 y y 1 x2 － ＝－ (x≠± 2) ，整理得 ＋ y2 所以 · ＝ k1· 2 2 x＋ 2 x－ 2 2k1
2
(1)求点 P 的轨迹方程； → → (2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP· PQ＝1.证明：过点 P 且 垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
[ 解]
→ (1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，
→ NM＝(0，y0)． 2 → → 由NP＝ 2NM得 x0＝x，y0＝ 2 y. x2 y2 因为 M(x0，y0)在 C 上，所以 ＋ ＝1. 2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2.
4 ∴|AB|＋|DE|＝4m ＋4＋m2＋4
2
1 2 ＝4m ＋m2＋8≥4×2＋8＝16，
1 当且仅当 m ＝m2，即 m＝± 1 时，等号成立．
2
∴|AB|＋|DE|的最小值为 16.故选 A.
[ 答案]
A
x2 y2 3．(2017· 济南二模)过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点 F 作一条直线，当直线的斜率为 1 时，直线与双曲线左、右两支各 有一个交点；当直线的斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个不 同的交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
③
x2 2 ∴x≠0，且|x|< 2，因为点 P(x1，y1)在双曲线 2 －y ＝1 上， x2 1 所以 2 －y2 1＝1. x2 2 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为 2 ＋y ＝1(x≠0，且 x≠± 2)．
[ 答案]
x2 2 ＋y ＝1(x≠0 且 x≠± 2) 2
求轨迹方程的 4 步骤 建系设点 → 转化关系 → 化简整理 → 特殊验证
求解直线与圆锥曲线的位置关系的方法在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时一般不是求出这两个点的坐标而是设出这两个点的坐标根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况使用根与系数的关系进行整体代入这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法
模 块 二
专题整合与考点突破篇
专 题 五
ka ka－c 2 1 a－c 1 即 ＝ ，所以 ＝ ，即 a＝3c，所以 e＝ .故选 A. 2 a＋c 3 －a －c－a
[ 答案]
A
2．(2017· 全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( A．16 B．14 C．12 D．10 )
＝1(x≠± 2)， x2 2 所以点 P 的轨迹 C 的方程为 ＋y ＝1(x≠± 2)． 2
(2)设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，在 y 轴上的截 距为 1 的直线 l 的方程为 y＝kx＋1， x2 2 ＋y ＝1， 联立方程得 2 消去 y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解 y＝kx＋1， 4k2 得 x1＝0，x2＝－ ， 1＋2k2 所以|MN|＝ 1＋k2|x1－x2| 4k 8 5 ＝ 1＋k 1＋2k2＝ 9 ，
(1)求椭圆 C 的方程； 3 (2)设与圆 O：x ＋y ＝ 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点， 4
2 2
求△OAB 面积的最大值及取得最大值时直线 l 的方程．
[ 解]
2 1 a2＋3b2＝1， (1)由题意可得： c＝ 6， a 3
2 x a2＝3，b2＝1，所以 3 ＋y2＝1.

考点二 弦长问题 1．直线与圆锥曲线相交时的弦长 当直线与圆锥曲线交于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)时， |AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|＝
1 1＋k 2|y1－y2|.
2．抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
[ 对点训练] 1 2 1．(2017· 河南郑州一模)过抛物线 y＝4x 的焦点 F 作一条倾 斜角为 30° 的直线交抛物线于 A，B 两点，则|AB|＝________.
[ 解析] 抛物线 x2＝4y 的焦点坐标是 F(0,1)， 直线 AB 的方程
2 x ＝4y， 3 为 y＝ 3 x＋1，即 x＝ 3(y－1)．由 消去 x，得 3(y x＝ 3y－1
→ (2)证明：由题意知 F(－1,0)．设 Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ → → → → ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ· PF＝3＋3m－tn，OP＝(m， → n)，PQ＝(－3－m，t－n)． → → 由OP· PQ＝1 得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知 m2＋n2＝2，故 3＋3m－tn＝0. → → → → 所以OQ· PF＝0，即OQ⊥PF. 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ， 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
所以|AB|＝ 1＋k2
2 －6km 12 m －1 2 1＋3k2 － 1＋3k2
1＋10k2＋9k4 ＝ 3· 1＋6k2＋9k4 4k2 ＝ 3· 1＋ 1＋6k2＋9k4 ＝ 3× 1＋ ≤2. 1 2 2＋9k ＋6 k 4
1 3 2 当且仅当 2＝9k ，即 k＝± 时等号成立， k 3 1 1 3 3 S△OAB＝ |AB|×r≤ ×2× ＝ ， 2 2 2 2 3 所以△OAB 面积的最大值为 2 ， 3 此时直线 l 的方程为 y＝± 3 x± 1.
2

整理得 k4＋k2－20＝0，即(k2－4)(k2＋5)＝0， 解得 k＝± 2. 所以直线 l 的方程为 2x－y＋1＝0 或 2x＋y－1＝0.
解决与弦长有关问题的步骤 (1)设方程及点的坐标； (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二 次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式； (4)结合弦长公式求解．
[ 解析] 设 A，B 两点到直线 l 的距离分别为 d1，d2，则 d1＋ d2＝2d＝6， 又因为 A，B 两点在抛物线上， 由定义可知|AF|＋|BF|＝6>|AB|，所以由椭圆定义可知，动点 F 的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴为 6 的椭圆(除与 x 轴交点)． x2 y2 方程为 9 ＋ 5 ＝1(y≠0)，故选 C.
[ 对点训练] 1．(2017· 广东韶关模拟)设 M 是圆 O：x2＋y2＝9 上动点，直 线 l 过 M 且与圆 O 相切，若过 A(－2,0)，B(2,0)两点的抛物线以 直线 l 为准线，则抛物线焦点 F 的轨迹方程是( x2 y2 A. 9 － 5 ＝1(y≠0) x2 y2 C. 9 ＋ 5 ＝1(y≠0) x2 y2 B. 5 － 9 ＝1(y≠0) x2 y2 D. 5 ＋ 9 ＝1(y≠0) )
[ 解析]
由题意知过点 A 的直线 l 的斜率存在且不为 0， 故可
设直线 l 的方程为 y＝k(x＋a)，当 x＝－c 时，y＝k(a－c)，当 x＝ 0 时，y＝ka，所以 M(－c，k(a－c))，E(0，ka)．如图，设 OE 的 中点为 N，则
ka N0， 2 ，由于
B，M，N 三点共线，所以 kBN＝kBM，
[ 解析]
b 1＋a2∈(
b c 由题意可得 1<a<3，则离心率 e＝a＝ 2， 10)
( 2， 10)
a2＋b2 a2 ＝
[ 答案]
x2 4． (2017· 全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C：2 ＋ → → y ＝1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP＝ 2NM.
[ 答案]
C
2．已知 P 是圆 x2＋y2＝4 上的动点，P 点在 x 轴上的射影是 → 1→ D，点 M 满足DM＝2DP，则点 M 的轨迹方程是__________．
[ 解析] 设 M(x，y)，则 D(x,0)， → 1→ 由DM＝ DP知 P(x,2y)， 2 ∵点 P 在圆 x2＋y2＝4 上，
2 x ∴x2＋4y2＝4，故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4 ＋y2＝1.
[ 答案]
x2 2 4 ＋y ＝1
x2 2 3． 已知双曲线 2 －y ＝1 的左、 右顶点分别为 A1， A2， 点 P(x1， y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于 A1、A2 的两个不同的动点，则 直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹方程为____________________．
[ 解析]
由题意可知， 点 F 的坐标为(1,0)， 直线 AB 的斜率存
在且不为 0，故设直线 AB 的方程为 x＝my＋1.
x＝my＋1， 由 2 y ＝4x
得 y2－4my－4＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， ∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4. 1 4 ∵AB⊥DE， ∴直线 DE 的方程为 x＝－my＋1， |DE|＝m2＋4，
解析几何
第三讲
直线与圆锥曲线的位置关系
高考导航 1.由直线与圆锥曲线的位置关系解决直线的方程、圆锥曲线 的方程及其性质等问题． 2．求动点的轨迹问题，以椭圆和抛物线为背景，考查弦长、 定点、定值、范围等综合问题.
高考真题体验
细研真题 探明考向
x2 y2 1．(2016· 全国Ⅲ)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0)的左焦点， A， B 分别为 C 的左， 右顶点． P 为 C 上一点， 且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于 点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( 1 1 2 3 A.3 B.2 C.3 D.4 )
－1)2＝4y，即 3y2－10y＋3＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋ 10 16 y2＝ ，|AB|＝y1＋y2＋2＝ . 3 3 16 [ 答案] 3
x2 y2 2．(2017· 德州模拟)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率
6 6 为 3 ，且过点1， . 3