河南省南阳市第一中学高二下学期第三次月考数学(文)试

2018 年春期南阳一中高二年级第三次月考
文科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若关于x 的一元二次实系数方程 2
0x px q ++=有一个根为1i +（i 为虚数单位），则
p q +的值是（ ）
A ．-1
B ．0
C ． 2
D ．-2
2.若洗水壶要用 1 分钟、烧开水要用 10 分钟、洗茶杯要用 2 分钟、取茶叶要用 1 分钟、
沏茶 1 分钟，那么较合理的安排至少也需要 （ ） A ．10分钟 B ．11分钟 C ．12分钟 D ．13分钟
3.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是 （ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等． A ．① B ．③ C ．①② D ．．①②③
4.．老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算113151719S =++++”，发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是（ ）
A ．
B ． C.
D ．
5.在吸烟与患肺病这两个变量的计算中，下列说法正确的是 ( )
A ．若2
x 的值大于6.635 ，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病
B.从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸 烟，那么他有 99%的可能患有肺病
C.若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 5%的可能性 使得推断出现错误
D.以上三种说法都不正确
6.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在 1，2，3，4 号位子上（如图）， 第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位,.....,这样交替进行下去，那么第 2013 次互换座位后，小兔的座位对应的是( )
A ．编号 1
B ．编号 2 C. 编号 3 D ．编号 4
7.已知复数 ααsin i cos 1+=Z 和复数 ββsin i cos 2+=Z ，则复数12Z ⋅Z 的实部是( )
A ．)sin(βα-
B ．)sin(βα+ C. )cos(
βα- D ．)cos(βα+ 8.观察下列各等式：
,24
22
41010,2411477,2433455,2466422=---+-=-+-=-+-=-+—依照以上各式
成立的规律，得到一般性的等式为( )
A ．
24)8(84=---+-n n n n B ．24
)1(5
)1(4)1(1n =-++++-++n n n C.
24)4(44=-+++-n n n n D ．24
)5(5
4)1n 1n =-+++-++n n （ 9.根据如图样本数据得到的回归方程为a b +X =y
ˆ，若样本点的中心为()5,0.9．则当x 每增加 1 个单位时，y 就( )
A ．增加 1.4 个单位
B ．减少 1.4 个单位 C.增加 7.9 个单位 D ．减少 7.9 个单位
10.若 C z ∈，且1i 22=-+z ，则i 22--z 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．5 11.设函数 )(x f 的定义域为R ，00(0X X ≠
）是 )(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是
( )
A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤
B ．0x -是)(x f -的极小值点 C.0x -是)(-x f 的极小值点 D ．0x -是)(-x f -的极小值点 12.已知函数 ,cos (x x f e
x
=
）记''
12132()(),()),()(),f x f x f x f x f x f x ===（…， 则
),)(()('1++N ∈=n x f x f n n 则 )(2015x f 等于( )
A ．x e
x
sin 21007 B ．x e x
cos -2
1008
C.
)cos (sin 21006
x x e x
- D ．)cos (sin 2
1007
x x e x
+
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题“R b a ∈,，若 011=-+-b a ，则 1==b a ”用反证法证明时应假设为 ．
14.已知函数 ()ln ,f x a x a R =∈ ，若曲线 )(x f y = 与曲线 x x g =
)(在交点处有共 同
的切线，a 的值是 ． 15.给出下列四种说法：
①2i - 是虚数，但不是纯虚数；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
③已知 R y ∈，x ，则 i 1i x +=+y 的充要条件为1y x ==； ④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确说法的为 ．
16. 若集合 1A ，2A ，…，n A 满足A A A A n = ...21，则称 21,A A ，…，n A 为集合 A 的一种拆分，已知:
①当{}32121,,a a a A A = 时，有 3
3种拆分；
②当 {}4321321,,,a a a a A A A = 时，有 4
7种拆分；
③当 {}543214321,,,,a a a a a A A A A = 时，有5
15种拆分；…
由以上结论,推测出一般结论：
当{}132121,...,,...+=n n a a a a A A A 时，有 种拆分．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知 z z z f -+=1)( ，且i 310)(+=-z f ，求复数z . 18.用综合法或分析法证明： （1）如果 0,0>>b a ，那么2
lg lg 2lg
b
a b a +≥
+； （2）设 0,0>>y x ，求证：
3
133
2
1
22
)()y x y x +>+（ 19.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”．
（1）求 )(),(),(AB P B P A P ；
（2）当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，问两颗骰子的点数之和大于 8 的概率为多少？ 20．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了 105 个样本，统计结果为：服药的共有 55 个样本，服药但患病的仍有 10 个样本，没有服药且未患病的有 30个样本. （1）根据所给样本数据完成 22⨯ 列联表中的数据；
（2）请问能有多大把握认为药物有效？
(参考公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n x ++++-=独立性检验临界值表
21. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验； （Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；
（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程 ；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
附：对于一组数据),(11v u ，)2,2v u （ ，…，（),n n v u ，其回归直线u V βα+= 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为
∑∑==--=n 1
i 2
i
1
i i i
)(u
)
v -)((ˆu v u u
n
β
，u βνα
ˆ-ˆ= .
22.已知函数)0x 2x ln -x 2
≠++=a x
a a f （）
（ （I ）若曲线)(x f y =在点))1(1f ，（ 处的切线与直线 02=-y x 垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数 )(x f 的单调性；
（Ⅲ）当 )0,(-∞∈a 时，记函数 )(x f 的最小值为 )(a g ，求证：4
)(--≤e a g ；
2018 年春期南阳一中高二年级第三次月考
文科数学答案
一、选择题
1-5:BCDCC 6-10:ADABB 11、12：DD 二、填空题
13.1,1≠≠b a 或 14. 2
e
15. ③ 16.
1)12+-n n （ 三、解答题
17.解()|1|,()|1|f z z z f z z z =+--=-+，设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-.由
()103f z i -=+，得|1()|103a bi a bi i -++-=+
，所以10,3,a b =-=⎪⎩
解方程组得5,3.a b =⎧⎨
=-⎩所以复数.35i z -=
18.证明（1）综合法：,lg 2
lg ,2,0,0ab b
a a
b b a b a ≥+∴≥+∴
>> 又.2
lg lg 2lg ,2lg lg lg 21lg b
a b a b a ab ab +≥+∴+==分析法：,0,0>>b a
,0>+∴b a 要证,2lg lg 2lg
b a b a +≥+只需证,lg 2lg 2ab b a ≥+即证,lg )2
lg(2
ab b a ≥+ 只需证,)2
(
2
ab b a ≥+即证
,4)2ab b a ≥+（即证⋅≥-0)2b a （ 而0)(2
≥-b a 恒成立，故原不等式成立.
（2）∴>>,0,0y x 要证明,)()(3
133
2
122
y x y x +>+
只需证明,)()(2
33
3
22
y x y x +>+即证,0)323(2
2
2
2
>+-y xy x y x 只需证03
8)3(3323.03232
22
2
2
2
>+-
=+->+-y y x y xy x y xy x 成立，∴原式成立； 19.解（1）设x 为掷红骰子得的点数，y 为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为),,y x （建立一一对应的关系，由题意作图如图
.
显然：.36
5
)(,1853610)(,313612)(=====
AB P B P A P (2) 方法一 .12
5
)()()|(==
A n A
B n A B P 方法二 5
()5
36(|).1()12
P AB P B A P A ===
20. 解：解依据题意得，服药但没有病的45人，没有服药且患病的20可列下列22联表 （2）假设服药和患病没有关系，则2
x 的观测值应该很小，
而,109.6)
)()()(()(2
2
=++++-=
d b c a d c d a bc ad n x
,024.56.109>由独立性检验临界值表可以得出，由97.5%的把握药物有效；
21.解：（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以
.3
1
155)(==
A P （Ⅱ）由数据求得24,11==y x 由公式求得718=b ，再由bx y a -=求得7
30=a 所以y 关于x 的线性回归方程为7
30
718-=x y （Ⅲ）当10=x 时，1501504,222777
y =
-=< 同样，当6x =时，78786,122777
y =
-=< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.
22.解：（Ⅰ）由已知可知)(x f 的定义域为{}
0>x x ，
)0(12)(22
'
>+--=x x
a x a x f 根据题意可得，'(1)2(1)2f =⨯-=-
2
212a a ∴--+=- 1a ∴=或32
a =-
（Ⅱ）2
22'
)
2)((12)(x
a x a x x a x a x f -+=+--= ①0>a 时，由'()0f x >可得a x 2> 由'()0f x <可得a x 20<<
)(x f ∴在),2(+∞a 上单调递增，在)2,0(a 上单调递减
②当0<a 时，
由'()0f x >可得a x -> 由'()0f x <可得a x -<<0
()x f ∴在),(+∞-a 上单调递增，在),0(a -上单调递减
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当)0,(-∞∈a 时，函数)(x f 的最小值)(a f -
故a a a a f a g 3)ln()()(---=-= 则4)ln()('
---=a a g
令0)('=a g 可得1()40n a ---=
4a e -∴=-
当a 变化时，)(),('
a g a g 的变化情况如表：
4--=∴e a 是)(a g 在)0,(-∞上的唯一的极大值，从而是)(a g 的最大值点，
当0<a 时，44
max ()()g a g e e --=-=-
0a ∴<时，.)(4--≤e a g。