2021_2022学年新教材高中数学第二章圆锥曲线2.3.1抛物线及其标准方程课后素养落实含解析北师

课后素养落实(十五) 抛物线及其标准方程
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x
C [由准线方程x ＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F (2，0)；②该抛物线的焦准距p ＝4．故所求抛物线方程为y 2＝8x ．]
2．若动点P 到定点F (1，0)和直线l ：y ＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( ) A ．线段 B ．直线 C ．椭圆 D ．抛物线 B [设动点P (x ，y )，则x －12＋y －02＝|y |．化简得x ＝1．故动点P 的轨迹是
直线x ＝1．]
3．抛物线y 2＝12ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝12x
C ．y 2＝16x
D ．y 2＝20x
A [准线方程l ：x ＝－3a ，M 到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋3a ＝5．∴a ＝2
3．
∴抛物线方程为y 2＝8x ，故选A ．]
4．抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点的距离是10，则点P 的坐标是( ) A ．(±6，9) B ．(9，±6) C ．(9，6) D ．(6，9)
B [设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0－(－1)＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，∴y 20＝36，∴y 0＝±6．] 5．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)是抛物线y 2＝2px 上的三点，点F 是抛物线
y 2＝2px 的焦点，且|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |，则( )
A ．x 1＋x 3>2x 2
B ．x 1＋x 3＝2x 2
C ．x 1＋x 3<2x 2
D ．x 1＋x 3与2x 2的大小关系不确定
B [由|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋p 2＝2⎝
⎛⎭⎪⎫
x 2＋p 2．即x 1＋x 3＝2x 2．]
二、填空题
6．抛物线x 2＝－12y 的准线方程是________．
y ＝3[依题意p ＝6，故准线方程为y ＝3．]
7．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．
6[利用抛物线的定义可知，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋
x 2＋2，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取最大值为6．]
8．过抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF |
|FB |
＝________．
1
3
[如图，由抛物线定义：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|．
又已知AB 的倾斜角为30°，
∴|BB 1|－|AA 1|＝12|AB |＝1
2
(|AF |＋|BF |)，
∴|BF |－|AF |＝1
2(|AF |＋|BF |)，
整理得|BF |＝3|AF |，∴|AF ||BF |＝1
3．]
三、解答题
9．分别求符合下列条件的抛物线方程：
(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A (2，3)； (2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为5
2．
[解] (1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ． 将点A (2，3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43．
∴所求的抛物线方程为
y 2＝
92
x 或x 2＝
43
y ．
(2)由焦点到准线的距离为52可知p ＝52
．
∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y ．
10．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺序时针方向)的轨迹方程为
x 2100＋y 2
25
＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8，0)．观测
点A (4，0)、B (6，0)同时跟踪航天器．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在
x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
[解] (1)设曲线方程为
y ＝ax 2＋
647，由题意可知，0＝64a ＋647，∴a ＝－17
． ∴曲线方程为y ＝－17x 2＋64
7． (2)设变轨点为C (x ，y )，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2100＋y 2
25＝1，
y ＝－17x 2
＋64
7，
得4y 2－7y －36＝0．
∴y ＝4或y ＝－9
4
(不合题意，舍去)．
由y ＝4得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)． ∴C 点的坐标为(6，4)，此时|AC |＝2
5，|BC |＝4．
故当观测点A ，B 测得AC ，BC 距离分别为2
5，4时，应向航天器发出变轨指令．
11．已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
C [法一：因为点A 到y 轴的距离为9，所以可设点A (9，y A )，所以y 2A ＝18p ．又点A 到
焦点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2，0的距离为12，所以
⎝ ⎛⎭⎪⎫9－p 22＋y 2A ＝12，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫9－p 22
＋18p ＝122，即p 2＋36p －252＝0，解得p ＝－42(舍去)或p ＝6．故选C ．
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A 到C 的准线x ＝－p
2
的距离为12，因为点A 到
y 轴的距离为9，所以p
2
＝12－9，解得p ＝6．故选C ．]
12．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2
p ＝1的一个焦点，则p ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8 D [抛物线
y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0， 椭圆x 2
3p ＋y 2
p ＝1的焦点坐标为(±
2p ，0)．
由题意得p
2＝
2p ，∴p ＝0(舍去)或p ＝8．
故选D ．]
13．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆
A [法一：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r ．由两圆外切，得圆心C 到点(0，3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0，3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0，3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．
法二：设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r ，点A (0，3)，由题意得|CA |＝r ＋1＝y ＋1，∴
x 2＋y －32＝y ＋1，化简得
y ＝1
8
x 2＋1，∴圆心的轨迹是抛物线．]
14．(一题两空)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →
＋
FC →＝0，则△ABC 重心的坐标为________；|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|＝________．
(1，0) 6[因为FA →＋FB →＋FC →
＝0，所以点F (1，0)为△ABC 的重心，则x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6．]
15．(多选题)如图所示，抛物线y ＝1
4x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的
切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则下列结论正确的有( )
A ．若A
B 的斜率为1，则|AB |＝8 B ．|AB |min ＝4
C ．x A ·x B ＝－4
D ．若AB 的斜率为1，则x M ＝2
ABCD [由题意得，焦点F (0，1)，对于A ，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立，
得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1，y ＝1
4
x 2
消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，
所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则A 正确； 对于B ，|AB |min ＝2p ＝4，则B 正确；
设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，
得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，y ＝1
4
x 2
消去y ，得x 2－4kx －4＝0，
所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，则C 正确； 对于D ，当AB 的斜率为1时，
设过点A 抛物线的切线方程为y －14
x 2A ＝k ′()
x －x A ，
代入y ＝1
4x 2得，x 2－4k ′x －x 2A ＋4k ′x A ＝ 0，
则Δ＝
16k ′2＋4x 2A
－16k ′x
A ＝ 0，即
k ′＝x A
2
，
∴过点A 抛物线的切线方程为y ＝ x A 2
x －1
4
x 2A
， 同理过点B 抛物线的切线方程为y ＝ x B 2
x －1
4
x 2B ，
联立解得x M ＝
x A ＋x B
2
＝2，则D 正确．]。