2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习课件：4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式

其中cos φ= 3 ,sin φ= 4.
5
5
易知sin(α+φ)=1,有α+φ=2kπ+ (k∈Z),
2
则sin
α=sin
2k

2

φ

=cos
φ=
3 5
(k∈Z),
cos
α=cos
2k

2

φ =sin
φ=
4 (k∈Z),
5
故tan α= 3 .
4
答案 3
解得

x y

3 5

,
4 5
或

x y

4 5

,
3 5
,
即
cos α sin α

3, 5 4
5
或
cos α sin α

4, 5 3
5
.
所以cos
α-sin
α=
7 5
,
sin
2α 1
2sin2α tan α
扇形面积公式:④ S= 2 lr= 2 |α|r2 ,其中|α|为圆心角弧度数的绝对值,r
为扇形半径.
4.任意角的三角函数的定义 设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则⑤ sin α=
y
x
y
r ,cos α= r ,tan α= x .
5.三角函数值在各象限的符号
上述符号可简记为:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
定义法求三角函数值有两种情况: (1)已知角α的终边上一点P的坐标,则可先求出P到原点的距离r,然后用 三角函数的定义求解;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上的一点坐标, 求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若直线 的倾斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值.
高考数学（浙江专用）
专题四 三角函数
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式
考点清单
考点 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式
考向基础
1.象限角
第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合

|
2kπ



π 2

2kπ,
k

Z
α

α

sin(

α)
的值为
cos

11 2

α

sin

9 2

α

.
解析 答案
cos

2
cos

11 2
α sin( α)

α
sin

9 2

α

=
sin α sin α sin α cos α
解析 由sin α+2cos α=0得tan α=-2.
2sin
αcos
α-cos2α=
2
sin α cosα cos2α sin2α cos2α
=
2 tan α 1 tan2α 1
=
2 (2) 1 (2)2 1
=
5 5
=-1.
答案 -1
9sin2α=25-40cos α+16cos2α ,
即25cos2α-40cos α+16=0,得cos α= 4 ,则sin α= 3,故tan α= 3.
5
5
4
解法二:把等式平方得(3sin α+4cos α)2=25,即
9sin2α+24sin αcos α+16cos2α=25(sin2α+cos2α),
=
2sin
α(cos α 1 sin
α
sin
α)4 25
.
cos α
答案 7 ;- 24
5 25
方法2 同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用方法
1.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握三角函数 诱导公式与同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形用.同角三角 函数的基本关系本身就是一个恒等式,但也可以看作一个方程,当已知 同角三角函数的另外一个关系式时,可以和同角三角函数的基本关系组 成方程组,通过解方程组达到解决问题的目的. 2.对于sin α+cos α,sin α·cos α,sin α-cos α这三个式子,已知其中一个式子 的值,可以求出其余两个式子的值,如: (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2.
余弦
cos α -cos α -cos α cos α cos α sin α -sin α -sin α sin α
正切
-tan α -tan α tan α -tan α tan α
角“ k ±α(k∈Z)”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变,符号
2
看象限”. 【知识拓展】 1.由三角函数线得出的重要结论
{α|α=kπ,k∈Z}
α|α

π 2

k
,
k

Z}
α|α

kπ 2
,
k

Z}
{β|β=α+2kπ,k∈Z}
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化
1°=①
180
rad;1 rad=②
180
°
.
(2)弧长及扇形面积公式 弧长公式:③ l=|α|r .
11
(1)
(2)
2.两个常用结论
当α∈

0,
2

时,(1)sin
α<α<tan
α;(2)sin
α+cos
α>1.
3.常用同角三角函数公式的变形
(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;(4)sin α
25
25
∵0<α< , ∴cos α>sin α>0,则cos α+sin α= 1 2sin αcosα = 7 ,①
4
5
cos α-sin α= 1 2sin αcosα= 1 ,②
5
由①②得sin α= 3 ,cos α= 4 .
5
5
答案 3 ; 4
55
方法技巧
方法1 定义法求三角函数值
2
“不变”是相对于奇偶关系而言的,sin α与cos α对偶.“符号看象限”
指的是在k· +α(k∈Z)中,将α看成锐角时,k· +α(k∈Z)的终边所在的象
2
2
限.
考向突破
考向一 三角函数的定义
例1 (2018浙江镇海中学单元检测,11)已知角α终边上一点P(-4,3),则
cos

2
3.利用诱导公式求解问题的关键是先观察角,后看函数名.一般是先将负 角化成正角,再化为0°~360°的角,最后化成锐角求其函数值.在化简过程 中牢记“奇变偶不变,符号看象限”的原则.
例2 (2017浙江镇海中学阶段性测试,15)已知3sin α+4cos α=5,则tan α= .
解析 解法一:由题易知3sin α=5-4cos α,两边平方得
(2)商数关系:⑦
sin α
tan α= cosα

α

k

π 2
,
k

Z

.
8.诱导公式
函数 角
-α
π-α
π+α
2π-α
2ππ+α
2
-α
π 2
+α
3π 2
-α
3π 2
+α
正弦
-sin α sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α -cos α -cos α
6.三角函数线 各象限内的三角函数线如下表:
角的终 边所在 的象限
图形
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时 角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一 个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:⑥ sin2α+cos2α=1 ;
|
π 2

2k

α



2k
,
k
Z
α
|


2k

α

3π 2

2k
,
k
Z
α
|
3π 2

2k

α

2

2k
,
k
Z
2.终边相同的角
终边落在x轴上的角的集合 终边落在y轴上的角的集合 终边落在坐标轴上的角的集合 终边与角α终边相同的角的集合
两边同时除以cos2α,整理得16tan2α-24tan α+9=0,
解得tan α= 3 .
4
解法三:设4sin α-3cos α=x,则
x2+25=(4sin α-3cos α)2+(3sin α+4cos α)2=25,
从而有x=0,则tan α= 3 .
4
解法四:因为3sin α+4cos α=5sin(α+φ),
=cos αtan α;(5)sin2α= sin2α = tan2α ;(6)cos2α= cos2α =
sin2α cos2α 1 tan2α
sin2α cos2α
1.
1 tan2α
4.正确理解“奇变偶不变,符号看象限”
“奇”“偶”指的是k· +α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数.“变”与
例1 (2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,13)已知角α的始边与
x轴非负半轴重合,终边经过直线y=x- 7 与圆x2+y2=1的交点,则cos α-sin α
5
= 解析
, sin 2α 2sin2α =
.
1 tan α
联立

y x x2 y2
7 5
, 1,
=tan
α=-
3 4
.
-3
4
考向二 同角三角函数的关系式与诱导公式
例2
(2018浙江名校协作体期初,13)已知sin

2

α ·cos
7 2

α

=12
25
,
且0<α< ,则sin α=
,cos α=
.
4
解析 依题意得-cos α·(-sin α)=12 ,即cos α·sin α=12 .
4
方法3 齐次式问题的求解方法
若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,可以通过分 子、分母同时除以一个余弦的齐次幂,将其转化为一个关于正切的分 式,代入正切值解题. 例3 (2015四川,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是
. 解题导引