第一章 矢量分析

电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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2. 圆柱坐标系
坐标变量
, , z

坐标单位矢量 e , e , ez 位置矢量 线元矢量
r e ez z
dl e d e d ez dz
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
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3. 标量场的梯度（ gradu 或 u ） 概念：
u u el |max l
，其中el u l
取得最大值的方向
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本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度
1.5 矢量场的环流和旋度
1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
写成行列式形式为
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A B
A B B A 若 A B ，则 A B AB
若 A // B ，则 A B 0
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B
0
e
0 0 1
ez
o

单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
圆柱坐标与 球坐标系
e e
sin
cos 0
ex
0 0
cos sin 0
ez
z
ez


1
ey
er
e
直角坐标与 球坐标系
sin cos e cos sin e sin
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z z z0 （平面） ez
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1. 直角坐标系 坐标变量
坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量
x, y , z
ex , e y , ez
ex
P
ey
o
点 P(x0,y0,z0)
y y y0（平面）
er
sin sin cos cos sin sin cos 0

单位圆
e

o
柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系
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1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
2 dSr er dl dl er r sin dd
dS e dlr dl e rdrd
dS e dlr dl ez rsin drd
球坐标系
体积元
dV r sin drdd
2
球坐标系中的线元、面元和体积元
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2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法
B
A B
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为
邻边的平行四边形的对角线,如图所示。 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
A
矢量的加法
A B ex ( Ax Bx ) e y ( Ay By ) ez ( Az Bz )
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1. 标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 等值面方程： u ( x, y, z ) C 等值面的特点： • 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
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梯度的性质： • 标量场的梯度是矢量场，它在空间某 点的方向表示该点场变化最大（增大） 的方向，其数值表示变化最大方向上 场的空间变化率。
•
•
标量场在某个方向上的方向导数，是
梯度在该方向上的投影。 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
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y
ey
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4. 坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与 圆柱坐标系
e
ex
ez
e
ey
eBiblioteka ex e ez
er
cos sin
sin cos
0
e
dS y e y dl x dl z e y dxdz
z
dz
dS z e z dxdy
dS y e y dxdz
o
x
dy
dS x e x dydz
dx
y
体积元
dV dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
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（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
用坐标分量表示为
A B ex ( Ay Bz Az By ) e y ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
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（2）标量乘矢量
kA ex kAx e y kAy ez kAz
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz
A B B A ——矢量的标积符合交换律 AB
B

AB sin
矢量A 与B 的叉积
A
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（5）矢量的混合运算
( A B) C A C B C ( A B) C A C B C
意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
梯度的表达式： 直角坐标系
圆柱坐标系 球坐标系
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u u u u ex ey ez x y z
u 1 u u u e e ez z
1 u u 1 u u er e e r r r sin
A
矢量 A与 B 的夹角
A B 0
A // B
A B AB
e x e y e y ez e z e x 0
ex ex e y e y e z ez 1
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1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
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标量场的等值线(面)
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u l u l u x u y u z
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2. 方向导数
概念：
|
cos 式中： 、cos、cos —— l 的方向余弦。
M0
lim
l 0

cos
圆柱坐标系
面元矢量
体积元
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
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3. 球坐标系 坐标变量
坐标单位矢量 er , e , e
r , ,
位置矢量 线元矢量 面元矢量
r er r dl er dr e rd e rsin d
cos
cos
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 u • 0 —— u(M)沿l 方向增加；
•
•
l u l
0
—— u(M)沿l 方向减小；
M0
Δl
M
l
u l
0 —— u(M)沿l 方向无变化。
方向导数的概念
特点：方向导数既与点M0有关，也与 l
—— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积
A ( B C ) B (C A) C ( A B) A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C
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r ex x e y y ez z
dl ex dx e y dy ez dz
x
x x0 （平面）
直角坐标系
面元矢量
dS x ex dl y dlz ex dydz
dS z ez dlx dl y ez dxdy
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1.1 矢量代数
1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
A 矢量的代数表示： e A A e A A A 矢量的大小或模： A A 矢量的单位矢量： e A A
矢量的加减符合交换律和结合律
交换律 A B B A
B B
A B
A
结合律
A ( B C ) ( A B) C
矢量的减法
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A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。
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矢量的几何表示
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A ex Ax e y Ay ez Az
Ax A cos
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矢量用坐标分量表示 z
Az
该区域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：u ( x, y, z )、F ( x, y, z ) 时变标量场和矢量场可分别表示为： ( x, y, z, t ) 、 F ( x, y, z, t ) u

Ax

O
A

Ay
Ay A cos Az A cos
y
A A(ex cos e y cos ez cos )
e A ex cos e y cos ez cos
x
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