自动控制原理课件：线性系统的动态时域分析

２.各暂态分量的系数还和零点的位置有关。若一对零、极点很靠近， 则该极点对暂态响应的影响很小（此时对应的系数 Ai 很小）。若某个极 点pi附近没有零点，且距离原点较近，则 Ai 就大，对暂态分量的影响就 大。
22
q
r
c(t) 1
Aie pit
D e knkt k
cos (nk t
1
2 k
１．过阻尼（＞1） 的情况
闭环极点为 s1 ( 2 1)n
s2 ( 2 1)n
单位阶跃响应
C(s)
n2
R(s)
n2
1 a b c
s2 2ns n2
(s s1)(s s2 ) s s s s1 s s2
c(t) 1 bes1t ces2t t 0
２．欠阻尼（ 0 1 ）的情况
1
exp(nt 1 2
)
sin(n
1 2t arctan
1 2
)
将 t tp 代入上式，便得
M p e 1 2 100%
0
tr tp
ts
t
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
M p
0，M p 100% 1，M p 0
18
例4.1 已知二阶系统的单位阶跃响应如下图，其中最大超调量 M p 9.6% 、调整时间 ts 0.2 ，试求取系统的闭环传递函数。
系统的传递函数为 系统的输出响应为
C(s) 1
R(s) s 1
C(s) 1 R(s)
s 1
１．单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 s(s 1) s s 1
c(t)
1
t
e
，t
0
一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线.
２．单位斜坡响应
c(t)
R(s)线性系统的动态时域分析
目 录
CONTENTS
4.1 控制系统时域响应的性能指标
4.2 一阶系统的动态响应
4.3
二阶系统的动态响应
4.4 高阶系统的动态响应
4.5 基于MATLAB的线性控制系统动 态时域分析
01
4.1 控制系统时域响应的性能指标
时域响应：控制系统在单位阶跃输入信号下，输出随时间t的变化函数。
q
r
c(t) 1 Aie pit
Dke ζkωnkt cos( 1
ζ
2 k
ωnk
t
θk )
t
0
i1
k1
上升时间tr 峰值时间tp 调整时间ts
c(t) 1.0 r(t)
误差带
最大超调量Mp
M
p
(%)
c(tp ) c() c()
100%
0
tr tp
ts
t
4.2 一阶系统的动态响应 一阶系统的结构图
Mp
c(t
p
)
c()
100%
e
c()
1 2
100% 9.6%
0.6
3
ts (5%) n
3
0.6n
0.2 n
25
C(s)
625
R(s) s2 30s 625
20
4.4 高阶系统的动态响应
凡是用高阶微分方程描述的系统，称为高阶系统。高阶系统的闭 环传函分母中s的最高幕次n>2.
高阶系统闭环传函的一般形式为
1
1
2
ent
sin(d t
arctan
1 2
)
t0
欠阻尼二阶系统极点与参数的关系图
1.上升时间
在暂态过程中，第一次达到稳态值的时间
C(t)
1
MP
0.05或 0.02
h(tr
)
1
exp(ntr 1 2
)
sin(n
1 2 tr arctan
1 2
) 1
t tr时，entr 0, 故只有
sin(
q
r
c(t) 1
Aie pit
D e knkt k
cos (nk t
1
2 k
k )，t
0
i 1
k 1
从上式可见，高阶系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两个 部分组成。而暂态分量又是由一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应分量 的合成．
１.高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数决定。系统极 点在s左半平面离虚轴越远，响应的分量衰减得越快。
)
16
2.峰值时间
输出响应由零上升到第一个峰值所需的时间
C(t)
1
MP
0.05或 0.02
h(t
)
c(t
)
1
exp(nt 1 2
)
sin(n
1 2t arctan
1 2
)
对上式求一阶导数，并令其为零，得
dc(t) dt
tt p
d
ent 1 2
cos(dt p
) n
ent 1 2
sin(dt p
C(s)
s 1
s2
s2
s
,
s 1
c(t) t
t
e
t
(1
t
e
)，t
0
r(t)
e(t)
2 4 6
t
输出与输入的误差为
t
e(t) r(t) c(t) (1 e ),t 0
当 t 时，e(t) 越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。
３．单位脉冲响应
R(s) 1
C(s) 1
t0
３. 临界阻尼( 1)的情况
闭环极点为 s1,2 n
单位阶跃响应 C(s) n2 1 1 n 1
（s n）2 s s （s n）2 s n
c(t) 1 ntent ent 1 (nt 1)ent t 0
二阶系统的单位阶跃响应曲线
欠阻尼二阶系统的动态性能指标分析
c(t) 1
MATLAB提供了求取线性定常系统的各种时间响应函数和各种动态性能分析函数，自动 控制原理实验主要涉及的函数如下：
本章思考题：
• 线性系统时域响应的性能指标有哪些？ • 二阶系统阻尼比与特征根的分布关系？ • 高阶系统在什么条件下可以降阶为二阶系统？
闭环极点为
s1 ( j 1 2 )n s2 ( j 1 2 )n
单位阶跃响应
C(s)
s2
n2 2n s
n2
1 s
1 s
（s
s n n）2 d2
（s
n n）2 d2
c(t) 1 ent (cosd t
1
2
sin dt)
1
1 1
2
ent
sin(d t arctan
1 2 )
s 1
c(t)
1
e
t
，t
0
c(t)
1
0 2 3 t
也可直接由单位阶跃响应的求导得出上式结果
一阶系统的特征可用一个参量—时间常数 来表示．
由一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应、单位加速度性能和单位斜坡 响应可以看出，
系统对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数． 反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。
1 2nt arctan
1 2
)0
0
tr tp
ts
t
则必有
1 2ntr arctan
1 2
n , n 0,1,2.....
因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 取n=1,于是
arctan 1 2
tr
n 1 2
1 ( arctan d
1 2
k )，t
0
i 1
k 1
３.如果高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部比其他极点实部的五分 之一还要小，并且附近不存在零点．可以认为系统的响应主要由该极点 决定。这些对系统响应起主导作用的闭环极点，称为系统的主导极点。
如果找到一对共轭复数主导极点，高阶系统就可近似地作 为二阶系统分析。
23
4.5 基于MATLAB的线性控制系统动态时域分析
C(s) R(s)
b0s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
bm1s bm an1s an
m
或
C(s) R(s)
K (s z j )
j 1
q
r
(s pi )
(s2
2
k nk s
2 nk
)
i 1
k 1
n q 2r，q — 实数极点个数， r为共轭复数极点对数
系统的单位阶跃响应为
)
0
0
tr tp
ts
t
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
移项并约去公因子后得
其中 d n 1 2
tan(dt p
)
d n
1 2
到达第一个峰值时 dt p ，从而得
tp
d
n
1 2
17
3.最大超调量
最大超调量发生在t t p，以百分比表示超调量.
C(t)
1
MP
0.05或 0.02
h(t
)
c(t
)
这是线性定常系统不同于线性时变系统和非线性系统的重要特性。
4.3 二阶系统的动态响应 二阶系统的结构图
系统的传递函数为 系统的极点为
n2
C(s) R(s)
s(s 1
2n n2
)
s2
n2 2n s
n2
s(s 2n )
s1，2 n jn 1 2
s1，2 n jn 1 2
二阶系统的动态时域响应分三种情况讨论．