浙江省温州中学高三数学3月月考试题 理 新人教A版

高三理科数学试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页.满分150分，考试时间120分钟.
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式：
如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高
()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13
V Sh =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥
的高
()(1),(0,1,2,
,)k k
n k n n P k C p p k n -=-= 棱台的体积公式
球的表面积公式 )(3
1
2211S S S S h V
++=
24S R π= 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，
球的体积公式 h 表示棱台的高
33
4
R V π= 其中R 表示球的半径
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1．已知集合{2}x A x y ==
，{|B y y ==
，则A B =( )
A ．{0}x x >
B ．{0}x x ≥
C ．{24}x x x ≤≥或
D ．{024}x x x <≤≥或
2．已知函数()222,02,0
x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩.若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是( )
A ．[]1,1-
B ．[2,0]-
C ．[]0,2
D ．[]2,2-
3．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是( )
A ．13cm
B ．33cm
C ．53cm
D ．73
cm
4．已知条件p ：3
4k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆
224x y +=相切，则p 是q 的（ ）
侧视图
俯视图
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件5．将函数)(x f y =的图像向左平移
4
π
个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为2
2cos y x =，则函数)(x f 的表达式可以是（ ）
A ．x sin 2
B ．x cos 2
C ．x 2sin
D ．x 2cos
6．如图所示的程序框图，若执行运算
1111
12345⨯⨯⨯⨯，则在空白的执行框中，
应该填入（ ）
A ．(1)T T i =⋅+
B ．T T i =⋅
7．从6名教师中选4名开发A 、B 、C 、D 四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A 课程，则不同的选择方案共有（ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种
8．在△ABC 中，(3)AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为（ ）
A ．6π B
．4π C ．3π D ．
2π
9．已知点
(0,0),(1,1)O A -，若F 为双曲线12
2=-
y x 的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP
⋅的取值范围为（ ） A ．1,1)
B ．
C ．
D ．)+∞
10．如图，矩形ABCD 中，E 为边AD 上的动点，将△ABE
沿直线BE 翻转成△A 1BE ，使平面A 1BE ⊥平面
ABCD ，则点A 1的轨迹是（ ）
A ．线段
B ．圆弧
C ．椭圆的一部分
D ．以上答案都不是
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．二项式2
8
1(x x
-的展开式中，含x 的项的系数是________.
12．已知,x y 是实数,且2
(2i-2)1i 0x x y ++-=(其中i 是虚数单位),则|i |x y +=_____. 13．甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量ξ为两人中能达
第10题图
1A E D
C
B
A
标的人数，则ξ的数学期望E ξ为 ． 14．数列{}n a 满足*
12211
131,33
3
n n a a a n n N +
++
=+∈,则=n a . 15．已知函数()'()sin cos ,6
f x f x x π=+则()6f π
的值为 .
16．已知实数,x y 满足1
354
y x x x y ≤-⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则2x y 的最小值是 .
17．设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n qm r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤），则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，正确的是 .
①若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+
②若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =
③若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+ ④若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd = 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.
19．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,2
1
,
2a a 成等差数列，632,3
1
,a a a 成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知n
n a b 1
log 3
=，记12n n S b b b =+++，
1
1
1
111111
1111336
36
n n
T S =+
+
+
+
+++++++,求证：20141013.T <
20．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -底面是菱形，PA ABCD 平面⊥，
60ABC ︒∠=,,E F 分别是,BC PC 的中点.
（Ⅰ）求证: 平面AEF ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）H 是PD 上的动点，EH 与平面PAD
所成的最大角为45︒
，求二面角
E A
F C --的正切值.
21.（本题满分15分）抛物线2
:4C x y =，直线AB 过抛物线C 的焦点F ，交x 轴于点P .
（Ⅰ）求证：2
PF PA PB =⋅；
（Ⅱ）过P 作抛物线C 的切线，切点为D （异于原点）， （i ）,,DA DF DB k k k 是否恒成等差数列，请说明理由； （ii ）ABD ∆重心的轨迹是什么图形，请说明理由.
22．（本题满分15分）已知3
2
()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈） （Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由．
理科数学参考答案
2014.3 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．-56 12．1.6 14．
1
12,1
3,2
n
n
n
+
=
⎧
⎨
≥
⎩
15．-1 16．4 17．②③④
三、解答题：
18（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）3
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
1
3
n n
a=
20.四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA⊥面ABCD，∠ABC=0
60,E,F分别是BC,PC的中点.
（1）求证: 面AEF⊥面PAD
（2）H是PD上的动点，EH与面PAD所成的最大角为0
45，求二面角E-AF-C的正切值.
(1)设菱形ABCD的边长为2a，则22202
(2)22cos603,
AE a a a a a
=+-⋅=
222
BE AE AB
+=,∴AE
⊥BC,又AD||BC, ∴AE⊥AD.
∵PA⊥面ABCD, ∴PA⊥AE,AE⊥面PAD, ∴面AEF
⊥面PAD.
（2）过E作EQ⊥
AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE
，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ ⊥面PAC，则∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.
过点A作AH⊥PD，连接EH，∵ AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角.
∵∠AHE＝0
45，∴AH＝AE＝，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=﹒
,CQ=
1
2
a,tan∠EGQ=
2
3
EQ
GQ
=.
21.(1) 即证
12
1
y y= (2) 能抛物线2
4
(2)
3
x y
=-
22．（本题满分15分）已知32
()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈） （Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由． （Ⅰ）解：由()0f x =得：30x ax -=或2
ln(1)0x a +-= 可得0x =或2x a =且210x a +-> ∵方程()0f x =有3个不同的根，
∴方程2x a =有两个不同的根 ∴0a >
又∵210x a +->，且要保证x 能取到0∴10a -> 即1a < ∴01a <<．
（Ⅱ）解：∵222
2
22()
()(3)ln(1)1x x a f x x a x a x a -'=-+-++-
令2
x t =，设2()()(3)ln(1)()1t t a g t t a t a f x t a
-'=-+-+=+-
∴(0)ln(1)0g a a =-->
2(1)
(1)(3)ln(2)2a g a a a
-=--+- ∵01a << ∴21a -> ∴(1)0g >
()0g a =
2()2()ln(1)ln(1)22222212
a a a a a a a a g a a ⋅-=-+=--
-- ∵01a << ∴11122a <-<，20a -> ∴()02a
g <
∴存在1(0,)2a t ∈，使得1()0g t =，另外有(,1)2
a
a ∈，使得()0g a =
假设存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =
则存在1x ∈，使得1()0f x '=
，另外有0f '=
，即2x =
∴1x =
，∴0f '=，即3()324ln(1)034414
a a a a a ⋅---+=- 即333
(1)ln(1)0442
a a a --+= （*）
设333
()(1)ln(1)442h a a a a =--+
∴3333333
()ln(1)ln(1)4442444
h a a a '=---+=--+
∵01a << ∴3
ln(1)04
a -<
∴()0h a '> ∴()h a 在(0,1)上是增函数 ∴()(0)0h a h >=
∴方程（*）无解，
即不存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x。