高考数学(人教A版理)一轮复习课件热点探究课5 平面解析几何中的高考热点问题ppt版本

图3
[解] (1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x＝－1 的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即 p＝2.5 分
(2)由(1)得，抛物线方程为 y2＝4x，F(1,0)，可设 A(t2,2t)，t≠0，t≠±1. 因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF：x＝sy＋1(s≠0)． 由yx2＝＝s4yx＋1， 消去 x 得 y2－4sy－4＝0.
定点，若过定点，求出该定点的坐标．
[解] (1)由 e2＝ac22＝a2－a2b2＝12，可得 a2＝2b2，2 分 椭圆方程为2xb22＋by22＝1，
代入点－1，－ 26可得 b2＝2，a2＝4， 故椭圆 E 的方程为x42＋y22＝1.5 分
(2)由 x－my－t＝0 得 x＝my＋t， 把它代入 E 的方程得：(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)得： y1＋y2＝－m22m ＋t2，y1y2＝mt22－ ＋42， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝m24＋t 2， x1x2＝(my1＋t)(my2＋t) ＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝2tm2－ 2＋42m2.8 分
由 PF1⊥PF2 知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即(4－2 2)2a2＋(2 2－2)2a2＝4c2，10分 可得(9－6 2)a2＝c2，即ac22＝9－6 2， 因此e＝ac＝ 9－6 2＝ 6－ 3.12分
[规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的方程是常用的方法，同时应注意数形结 合思想的应用．
图2
(1)求实数m的取值范围； 【导学号：0172350】
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
因为直线 y＝－m1 x＋b 与椭圆x22＋y2＝1 有两个不同的交点， 所以 Δ＝－2b2＋2＋m42>0.① 将线段 AB 中点 Mm22m＋b2，mm2＋ 2b2代入直线方程 y＝mx＋12，解得 b＝－m22m＋22. ②
由①②得
m<－
36或
m>
6 3.
故 m 的取值范围是－∞，－ 36∪ 36，＋∞.5 分
(2)令 t＝m1∈－ 26，0∪0， 26，
则|AB|＝ t2＋1· －2t2t＋4＋122t2＋32，
且
O
到直线
AB
的距离为
d＝
t2＋12 t2＋1.9
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点
N.求证：|AN|· |BM|为定值．
ac＝ 23， [解] (1)由题意得12ab＝1，
a2＝b2＋c2，
a＝2， 解得b＝1， 3 分
c＝ 3.
所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.5 分
热点探热究课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
点
一
热点探究热 点课Biblioteka 五) 平面解析几何中的高考热点问题
四
热点探究课(五)平面解析几何中的高考热点问题热
[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答
点
题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题
二
为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中
＝4xx00yy00－－4x0x－0－28y0y＋0＋28 ＝4.10 分 当 x0＝0 时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4. 综上，|AN|·|BM|为定值.12 分
[规律方法] 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数 无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．
热
热点探究课(五)平面解析几何中的高考热点问题 一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题
点
的形式出现．
探 究
热点探究热点课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
训 练
三
热点 1 圆锥曲线的标准方程与性质
圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的
[规律方法] 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系 方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组 的解为坐标的点即所求定点．
2．从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
热点 3 圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与 之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在
F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQ⊥PF1. 【导学号：01772348】
(1)若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准 方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e.
图1
[解] (1)由椭圆的定义， 2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋ 2)＋(2－ 2)＝4，故 a＝2.2 分 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2， 因此 2c＝|F1F2|＝ |PF1|2＋|PF2|2 ＝ 2＋ 22＋2－ 22＝2 3. 即 c＝ 3，从而 b＝ a2－c2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1.5 分
2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只要明确 a，b，c 中任意两量的 等量关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制．
[对点训练 1] 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 22，它的 一个顶点为抛物线 x2＝4y 的焦点．
(1)求椭圆方程； (2)若直线 y＝x－1 与抛物线相切于点 A，求以 A 为圆心且与抛物线的准线相 切的圆的方程．
(2)连接 F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a， |QF1|＋|QF2|＝2a， 又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|)， 可得|QF1|＝4a－2|PF1|.① 又因为 PF1⊥PQ 且|PF1|＝|PQ|，所以|QF1|＝ 2|PF1|.② 由①②可得|PF1|＝(4－2 2)a，8 分 从而|PF2|＝2a－|PF1|＝(2 2－2)a.
标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是
定 三者 义之 法间 与的 待(2关 定 01系 系7· ． 数 石另 法家外 ．庄抛 离质 物 心检 线 率)的 是 如准 高 图线 考1， 对 ，双圆 椭曲锥圆线曲ax的 22线＋ 渐考by近22查＝ 线的1也又 (a是>一b命重 >题 0点)的 的 ，热 左 涉点、 及．右a焦 ，b点 ，分 c 别为
最值时求解(2与01之7有·杭关州的调一研些)问已题知．椭圆x22＋y2＝1 上两个不同的点 A，B 关于直线 y＝mx＋12对称．
[解] (1)由题意知 m≠0，
可设直线 AB 的方程为 y＝－m1 x＋b.
由yx2＝ 2＋－y2m＝ 1 x1＋，b，
消去 y，得
12＋m12x2－2mbx＋b2－1＝0.2 分
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 设 P(x0，y0)，则 x20＋4y20＝4. 当 x0≠0 时， 直线 PA 的方程为 y＝x0y－0 2(x－2)． 令 x＝0，得 yM＝－x02－ y02， 从而|BM|＝|1－yM|＝1＋x02－ y02.
直线 PB 的方程为 y＝y0x－0 1x＋1.8 分 令 y＝0，得 xN＝－y0x－0 1， 从而|AN|＝|2－xN|＝2＋y0x－0 1. 所以|AN|·|BM|＝2＋y0x－0 1·1＋x02－y02 ＝x20＋4yx200＋y04－x0xy00－－24yx00＋－28y0＋4
热点 4 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)
圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)
[对点训练 2] 如图 3 所示，设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，抛物线上的 点 A 到 y 轴的距离等于|AF|－1.(1)求 p 的值；
(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直 的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围．
因为以 MN 为直径的圆过点 A， 所以 AM⊥AN， 所以A→M·A→N＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2 ＝2tm2－2＋42m2＋2×m24＋t 2＋4＋mt22－＋42 ＝3t2m＋2＋8t＋2 4＝t＋m22＋3t2＋2＝0.
因为 M，N 与 A 均不重合，所以 t≠－2， 所以 t＝－23，直线 l 的方程是 x＝my－23，直线 l 过定点 T－23，0，10 分 由于点 T 在椭圆内部，故满足判别式大于 0， 所以直线 l 过定点 T－23，0.12 分
故 y1y2＝－4，所以 Bt12，－2t .8 分 又直线 AB 的斜率为t2－2t 1，故直线 FN 的斜率为－t2－2t 1. 从而得直线 FN：y＝－t2－2t 1(x－1)，直线 BN：y＝－2t ， 所以 Ntt22－ ＋13，－2t .
设 M(m,0)，由 A，M，N 三点共线得 t2－2tm＝t2－2t＋tt22＋ －2t 31，于是 m＝t22－t21＝2＋t2－2 1， 所以 m<0 或 m>2.10 分 经推理知，m<0 或 m>2 满足题意． 综上，点 M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).12 分
热点 2 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及
与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．
☞角度 1
圆锥曲线中的定值问题
(2016· 北京高考)已知椭圆 C：a x2 2＋b y2 2＝1(a＞b＞0)的离心率为 23，
A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB 的面积为 1.
[解] (1)椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上． 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 因为抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)， 所以 b＝1.4 分
由离心率 e＝ac＝ 22，a2＝b2＋c2＝1＋c2， 从而得 a＝ 2，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.6 分
(2)由xy2＝＝x4－y，1， 解得yx＝＝12，， 所以点 A(2,1).8 分 因为抛物线的准线方程为 y＝－1， 所以圆的半径 r＝1－(－1)＝2，10 分 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.12 分
☞角度 2 圆锥曲线中的定点问题
设椭圆
E:
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
的
离
心
率
为
e＝
2 2
，
且
过
点
－1， (1－ )求2椭 6圆 . E 的方程；
【导学号：01772349】
(2)设椭圆 E 的左顶点是 A，若直线 l：x－my－t＝0 与椭圆 E 相交于不同的两
点 M，N(M，N 与 A 均不重合)，若以 MN 为直径的圆过点 A，试判定直线 l 是否过
分
设△AOB 的面积为 S(t)，
所以 S(t)＝12|AB|·d＝12 －2t2－122＋2≤ 22， 当且仅当 t2＝12时，即 m＝± 2时，等号成立．
故△AOB
面积的最大值为
2 2 .12
分
[规律方法] 范围(最值)问题的主要求解方法： (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图 形性质来解决． (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起 目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解．