2025届高中数学一轮复习课件：第八章 第6讲 第1课时空间角与距离(共114张ppt)
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| AB|
＝ 24＋＋21＋＋84＝4.设点 C 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝ |A→C|2－42＝ 1＋4＋16－16＝ 5.
故选 B.
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第15页
4．(2023·全国乙卷，理)已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三
角形．若二面角 C-AB-D 为 150°，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为( )
高考一轮总复习•数学
第6页
2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角
|e·n| 为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ |e||n| ，.
高考一轮总复习•数学
第10页
2．点面距离的求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面 α 的距离 d
→
|AB·n| ＝ |n| .
高考一轮总复习•数学
第11页
常/用/结/论 最小角定理：如图，若 OA 为平面 α 的一条斜线，O 为斜足，OB 为 OA 在平面 α 内的 直线与平面所成的角是直线与平面内的直线所成一切角中最小的角． 射影，OC 为平面 α 内的一条直线，其中 θ 为 OA 与 OC 所成的角，θ1 为 OA 与 OB 所成的角， 即线面角，θ2 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos θ＝cos θ1cos θ2. 三余弦公式，由于 cosθ2＜1，所以有 cosθ＜cosθ1，由单调性得 θ＞θ1.
显然 CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面 CDE，于是 AB⊥平面 CDE，又 AB⊂平面 ABC， 因此平面 CDE⊥平面 ABC，显然平面 CDE∩平面 ABC＝CE， 直线 CD⊂平面 CDE，则直线 CD 在平面 ABC 内的射影为直线 CE，
解析
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第17页
从而∠DCE 为直线 CD 与平面 ABC 所成的角，令 AB＝2，则 CE＝1，DE＝ 3，在△CDE
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第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 空间向量与空间角的关系 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝
|a·b| |a||b| .其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是0，π2
高考一轮总复习•数学
第9页
二 利用空间向量求空间距离
1．点到直线的距离如图，已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是
直线 l 外一点，设A→P＝a，则向量 A→P 在直线 l 上的投影向量A→Q＝(a·u)u，在 Rt△APQ 中，
由勾股定理，得 PQ＝ |A→P |2－|A→Q |2＝
中，由余弦定理得
CD＝ CE2＋DE2－2CE·DEcos∠CED
＝
1＋3－2×1×
3×－
23＝
7，
由正弦定理得sin∠DEDCE＝sin∠CDCED，
即 sin∠DCE＝
3sin 150°＝ 3 ， 7 27
显然∠DCE 是锐角，所以 cos∠DCE＝ 1－sin2∠DCE＝
1－2
372＝2
5
， 7
高考一轮总复习•数学
第12页
1．判断下列结论是否正确． (1)两条直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2)直线的方向向量为 u，平面的法向量为 n，则线面角 θ 满足 sin θ＝cos〈u，n〉．( ) (3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角．( ) (4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范 围是[0，π]．( √ )
所以直线 CD 与平面 ABC 所成的角的正切值为 53.故选 C.
解析
高考一轮总复习•数学
第18页
名师伴你行
第1课时 异面直线所成的角与线面角
高考一轮总复习•数学
第19页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第20页
高考一轮总复习•数学
第13页
2．已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，若 cos〈m，n〉＝ －12，则 l 与 α 所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：设直线 l 与平面 α 所成角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝12，又 0°≤θ≤90°，故 θ＝30°.
1
2
32
A.5 B. 5 C. 5 D.5
答案
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第16页
解析：如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，DE，因为△ABC 是等腰直角三角形，且 AB 为 斜边，则有 CE⊥AB，又△ABD 是等边三角形，则 DE⊥AB，从而∠CED 为二面角 C-AB-D 的平面角，即∠CED＝150°，
第7页
3．求二面角的大小 (1)如图 1，AB，CD 是二面角 α-l-β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ 〈A→B，C→D〉．
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第8页
(2)如图 2、图 3，n1，n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的 大小 θ 满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0，π]．
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第1页
第八章 立体几何
第6讲 空间角与距离
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平 面的距离问题和简单的夹角问题，能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几 何问题中的作用．
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第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
解析 答案
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第14页
3．已知 A(1,2,0)，B(3,1,2)，C(2,0,4)，则点 C 到直线 AB 的距离为( ) A．2 B. 5 C．2 3 D．2 5
解析：因为A→B＝(2，－1,2)， A→C＝(1，－2,4)，所以A→C在A→B方向上的投影数量为A→B→·A→C
＝ 24＋＋21＋＋84＝4.设点 C 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝ |A→C|2－42＝ 1＋4＋16－16＝ 5.
故选 B.
解析 答案
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第15页
4．(2023·全国乙卷，理)已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三
角形．若二面角 C-AB-D 为 150°，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为( )
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第6页
2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角
|e·n| 为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ |e||n| ，.
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2．点面距离的求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面 α 的距离 d
→
|AB·n| ＝ |n| .
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第11页
常/用/结/论 最小角定理：如图，若 OA 为平面 α 的一条斜线，O 为斜足，OB 为 OA 在平面 α 内的 直线与平面所成的角是直线与平面内的直线所成一切角中最小的角． 射影，OC 为平面 α 内的一条直线，其中 θ 为 OA 与 OC 所成的角，θ1 为 OA 与 OB 所成的角， 即线面角，θ2 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos θ＝cos θ1cos θ2. 三余弦公式，由于 cosθ2＜1，所以有 cosθ＜cosθ1，由单调性得 θ＞θ1.
显然 CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面 CDE，于是 AB⊥平面 CDE，又 AB⊂平面 ABC， 因此平面 CDE⊥平面 ABC，显然平面 CDE∩平面 ABC＝CE， 直线 CD⊂平面 CDE，则直线 CD 在平面 ABC 内的射影为直线 CE，
解析
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第17页
从而∠DCE 为直线 CD 与平面 ABC 所成的角，令 AB＝2，则 CE＝1，DE＝ 3，在△CDE
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理清教材 强基固本
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第5页
一 空间向量与空间角的关系 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝
|a·b| |a||b| .其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是0，π2
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二 利用空间向量求空间距离
1．点到直线的距离如图，已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是
直线 l 外一点，设A→P＝a，则向量 A→P 在直线 l 上的投影向量A→Q＝(a·u)u，在 Rt△APQ 中，
由勾股定理，得 PQ＝ |A→P |2－|A→Q |2＝
中，由余弦定理得
CD＝ CE2＋DE2－2CE·DEcos∠CED
＝
1＋3－2×1×
3×－
23＝
7，
由正弦定理得sin∠DEDCE＝sin∠CDCED，
即 sin∠DCE＝
3sin 150°＝ 3 ， 7 27
显然∠DCE 是锐角，所以 cos∠DCE＝ 1－sin2∠DCE＝
1－2
372＝2
5
， 7
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1．判断下列结论是否正确． (1)两条直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2)直线的方向向量为 u，平面的法向量为 n，则线面角 θ 满足 sin θ＝cos〈u，n〉．( ) (3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角．( ) (4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范 围是[0，π]．( √ )
所以直线 CD 与平面 ABC 所成的角的正切值为 53.故选 C.
解析
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第1课时 异面直线所成的角与线面角
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重难题型 全线突破
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2．已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，若 cos〈m，n〉＝ －12，则 l 与 α 所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：设直线 l 与平面 α 所成角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝12，又 0°≤θ≤90°，故 θ＝30°.
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A.5 B. 5 C. 5 D.5
答案
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解析：如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，DE，因为△ABC 是等腰直角三角形，且 AB 为 斜边，则有 CE⊥AB，又△ABD 是等边三角形，则 DE⊥AB，从而∠CED 为二面角 C-AB-D 的平面角，即∠CED＝150°，
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3．求二面角的大小 (1)如图 1，AB，CD 是二面角 α-l-β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ 〈A→B，C→D〉．
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(2)如图 2、图 3，n1，n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的 大小 θ 满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0，π]．
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第八章 立体几何
第6讲 空间角与距离
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复习要点 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平 面的距离问题和简单的夹角问题，能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几 何问题中的作用．
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
解析 答案
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3．已知 A(1,2,0)，B(3,1,2)，C(2,0,4)，则点 C 到直线 AB 的距离为( ) A．2 B. 5 C．2 3 D．2 5
解析：因为A→B＝(2，－1,2)， A→C＝(1，－2,4)，所以A→C在A→B方向上的投影数量为A→B→·A→C