河北省辛集中学2021届高三数学9月月考试题 文

河北省辛集中学2021届高三数学9月月考试题 文
第I 卷选择题部分
一、单选题（每题5分）
1．设集合(){}
2log 10M x x =-<，集合{}
2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}
22x x -≤< B ．{}
2x x ≥- C ．{}
2x x <
D ．{}
12x x ≤<
2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i --
B ．1+i -
C ．1i -
D ．1+i
3．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．(1)(21)n
n a n =-- C ．(1)(12)n
n a n =-- D ．(1)(21)n
n a n =-+
4．已知 ，，且是
的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A.
B.
C.
D.
5．已知tan 3α=-,α是第二象限角，则sin(
)2
π
α+=（ ）
A ．1010
-
B ．310
10
-
C ．
105
D ．
25
5
6．函数()32log f x x x =-+的零点的个数是(
)
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7．在△ABC 中，,AB a AC b ==， M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN =( ) A ．1233
a b +, B ．1132
a b +
C ．
1124
a b + D ．
11
42
a b + 8．数列
满足31
+=+n n a a
且9642=++a a a ，则()9756log a a a ++的值是（ ）
A.2-
B.
21- C. 2 D.2
1
9．已知为等比数列，
，则 ( )
A.7
B.5
C.－5
D.－7 10．等比数列
的前n 项和为，若
，则
（ ）
A.15
B.30
C.45
D.60
11．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()4c a b =-+，3
C π
=，
则ABC ∆的面积是（ ） A ．
32
B ．3
C ．3
D ．23
12．已知定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且当11x -≤≤时，1()2x f x -+=-，则
(2019)f =( )
A ．14
-
B ．
14
C ．4-
D ．4
13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019
S 的值为（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．1010
D ．1011
14．在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛
⎫
=++ ⎪⎝⎭
，则10a =（ ） A ．2ln10+
B ．29ln10+
C ．210ln10+
D ．11ln10+
15．设等边三角形ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足
→→→
+=AC
AB AM 3
121，
向量AM 与AB 夹角的余弦值为（ ） A ．
6
3
B ．
36
C ．
1912
D ．
419
19
16．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3
B ．15(,]34
C ．13(,]32
D ．53(,]42
第II 卷 非选择题部分
二、填空题
17．在数列{}n a 中，已知其前n 项和为23n n S =+，则n a =__________． 18 .已知向量
，
，若
与垂直，则实数
__________
19．若将函数f （x ）=cos （2x+）（0＜＜π）的图象向左平移
个单位所得到的图象关于原点对
称，则__________．
20．已知函数()(,)x f x ae b a b R =+∈在点(0,(0))f 处的切线方程为21y x =+，则
a b -=_______．
21.数列{}n a 的通项公式为sin
12
n n a n π
=+，则1232019a a a a ++++=________
22．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若cos cos (cos 3sin )0A B C C +-=．且
1b =，则a c +的取值范围为_____.
三、解答题 23． ()2
1
+
•=→
→
b a x f ，且()x f 的最小正周期是π， （1）求
的表达式；
（2）将f （x ）的图象向右平移4
π
个单位后得到y=g （x ）的图象，求在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上的值域． 24. 在
中，角，，所对的边分别为，，，且是边上的点.
c
a A
b =+22
cos
（I ）求角； （Ⅱ）若，
，
，求
的长，
25．已知等比数列{}n a 的前n 项和为(
)*
234,
2,,4n S n N
S S S ∈-成等差数列，且
2341216
a a a ++=
. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2(2)log n a
n b n =-+，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
26．已知函数()ln 1f x ax x =++. （1）若1a =-，求函数()f x 的单调区间；
（2）对任意的0x >，不等式()x
f x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．B 2．D 3.C 4．D 由题意知：
可化简为
，
， 所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.
5．A 6．A
由题意可令()0f x =，将函数化为32log x x -=画出函数图像如下图
由图像可知，函数图像有三个交点，所以有三个零点
7．D ∵AB a AC b ==，，M 是AB 的中点，N 是
CM 的中点；
∴()
1111
12224
2AN AM AC AB AC a b ⎛⎫=
+=+=+ ⎪⎝⎭． 8．C 由题意知，数列满足，可得，∴为等差数列，且.
又由等差数列的性质，可得，即，
所以
，∴
9．D 设等比数列
的公比为
由，解得或∴或，
∴
10．C 由题意，等比数列
的前n 项和为，满足
，
则，所以，
则
11．C ∵2222
()424c a b a b ab =-+=+-+，3
C π
=
，
又∵由余弦定理可得：222c a b ab =+-，∴42ab ab -=-，解得：4ab =， ∴113sin 4322ABC S ab C ∆=
=⨯=12．D 由()()4f x f x -=-可得()()4f x f x =-+，()()48f x f x +=-+，所以
()f x = ()8f x +，故函数()f x 的周期为8，所以()()()201931f f f ==--，又当
11x -≤≤时，()12x f x -+=-，所以()2
124f -=-=-，故()20194f =．
13．C 解：当 2n ≥时，12n n a S n -+=①，故121n n a S n ++=+② 由②－①得，()1121n n n n a a S S +--+-=，即()112n n a a n ++=≥ 所以()()()201912345201820191010S a a a a a a a =+++++⋯++= 14．A 在数列{a n }中，a 1＝2，11ln 1n n a a n +⎛
⎫=++ ⎪
⎝⎭∴a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫
⎪⎝⎭
∴a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）
＝2+ln 2+3
3ln ln
2ln 22
121n n n n ⎛
⎫
++=+⨯⨯⨯
⎪--⎝
⎭
＝2+lnn ，故10a =2+ln10 15．D
22211||()()23AM AM AB AC ==+22111119
()()2232336AB AC AB AC =++⨯⨯⨯⋅=，
19
6
AM =
，对1123AM AB AC =+两边用AB 点乘，
2112,233
AB AM AB AB AC AM ⋅=+⋅=与AB 夹角的余弦值为41919AM AB AM AB ⋅=.
16．B 设32
()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，
设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2
()36g x x x '=-，
所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数， 在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处， ()g x 取得极小值1. 而()h x 恒过定点(1,0)-， 两个函数图像如图，
要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足
(1)(1)(2)(2)(3)(3)
g h g h g h ≥⎧⎪<⎨
⎪≥⎩
，即135281253272754a a a -+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得15
34a <≤，
17．()()
151{
22n n n a n -==≥18．1- 19．
3
π 函数f （x ）=cos （2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位，
得到：，所得到的图象关于原点对称，且0＜φ＜π，故：φ=，
20．3 由f （x ）＝ae x +b ，得f '（x ）＝ae x ，
因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1， 所以()()
01'02f a b
f a ⎧==+⎪⎨
==⎪⎩解得a ＝2，b ＝﹣1．a ﹣b ＝3．
21．1009 因为sin
2
n π
的周期为4， 所以()4142434441101431012k k k k a a a a k k k N +++++++=++++-++++=∈，,
1232019201720182019504250422017101201911009
a a a a a a a +++
+=⨯+++=⨯++++-+=22．
(
3,2⎤⎦
因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+,
所以()
cos cos cos 3sin 0A B C C +-=可化为：sin sin 3cos sin 0B C B C ⋅-⋅=
又sin 0C ≠，所以sin 3cos B B =，所以tan 3B =，解得：3
B π
=
由正弦定理得：
2sin sin sin a b c R A B C ===，又1b =所以23
sin a A =，23sin c C =,所以2323232sin sin sin sin 3a c A C C C π⎡⎤⎛+=
⎫+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
23222333sin cos cos sin sin cos sin 33
3
322C C C C C π
π⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=
-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭
2sin 6C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在锐角ABC ∆中，,62C ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以2,
633C πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
所以(
2sin 3,23C π⎛
⎫⎤+∈
⎪⎦⎝
⎭.
23．（1）；（2）。

（1）
，。

（2），
，。

24．（I ）；（Ⅱ）.
（I ）由，得，
，
，∵
，∴
，∴.
（Ⅱ）在中，
，
，
，
由余弦定理得，所以
，
在
中，
，
，由正弦定理，得
，
所以.
25．(1) 12n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
(2) 32342(1)(2)n n T n n +=-++ （1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由23424,,S S S -成等差数列知，324224S S S =-+，
所以432a a =-，即12
q =-. 又2341216a a a ++=
，所以23
1111216
a q a q a q ++=，所以112a =-，
所以等差数列{}n a 的通项公式12n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）知1()22
(2)log
(2)n n b n n n =-+=+ ，
所以
11111(2)22n b n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和： 1111111
1111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111112212n n ⎡⎤=
+--⎢⎥++⎣⎦3
2342(1)(2)
n n n +=-++
所以数列1n b ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和323
42(1)(2)n
n T n n +=-++ 26．（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）{}
1a a e ≤-. （1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，定义域为()0,∞+，()111x
f x x x
-'=-=. 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.
因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；
（2）不等式ln 1x
ax x e ++≤恒成立，等价于ln 1
x e x a x
--≤在()0,∞+恒成立，
令()ln 1x e x g x x --=，0x >，则()()2
1ln x x e x g x x
'-+=， 令()()1ln x
h x x e x =-+，0x >，()1
0x
h x xe x
=+
>'. 所以()y h x =在()0,∞+单调递增，而()10h =，
所以()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =单调递减；
()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =单调递增.
所以在1x =处()y g x =取得最小值()11g e =-，即实数a 的取值范围是{}
1a a e ≤-.。