高中数学 3.3 基本不等式同步精练 北师大版必修5

高中数学 3.3 基本不等式同步精练 北师大版必修5
基础巩固
1当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是( ) A.
a ＋b
2
≥ab B ．a －b ≥2ab
C ．a 2
＋b 2
≥2ab D ．a 2
－b 2
≥2ab 2已知x ，y ∈R ，下列不等关系正确的是( ) A ．x 2
＋y 2
≥2|xy | B ．x 2
＋y 2
≤2|xy | C ．x 2
＋y 2
＞2|xy | D ．x 2
＋y 2
＜2|xy | 3已知ab ＞0，求证：b a ＋a
b
≥2，并推导出式中等号成立的条件． 4已知x ＜0，求证：－x ＋4
－x
≥4.
5已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：a (b 2
＋c 2
)＋b (c 2
＋a 2
)＋c (a 2
＋b 2
)＞6abc . 综合过关
6某民营企业生产的一种电子产品，2007年的产量在2006年的基础上增长率为a ；2008年又在2007年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)．若这两年的平均增长率为q ，则( )
A ．q ＝a ＋b
2 B ．q ≥
a ＋b
2
C ．q ≤
a ＋b
2
D ．q 与
a ＋b
2
的大小不确定
7设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2
＋1＞a ； ②(a ＋1a )(b ＋1
b
)≥4；
③(a ＋b )(1a ＋1
b
)≥4；
④a 2
＋9＞6a ； ⑤a 2
＋1＋
1
a 2
＋1
＞2. 其中恒成立的是__________． 能力提升
8已知a 、b 是正数，且a x ＋b y
＝1(x 、y ∈(0，＋∞))，求证：x ＋y ≥(a ＋b )2
.
参考答案
1答案：C
2解析：x 2
＋y 2
＝|x |2
＋|y |2
≥2|x ||y |＝2|xy |. 答案：A
3证明：因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b
＞0. 由基本不等式，得b a ＋a b
≥2
b a ·a b ＝2，即b a ＋a
b
≥2. 当且仅当b a ＝a b
，即a 2
＝b 2
时式中等号成立．
因为ab ＞0，a ，b 同号，所以a ＝b ，即式中等号成立的条件是a ＝b . 4证明：∵x ＜0， ∴－x ＞0. ∴－x ＋4
－x
≥2
－x ×
4
－x
＝4， 当且仅当－x ＝4
－x ，
即x ＝－2时取等号． ∴－x ＋4
－x
≥4.
5分析：本题的结论是关于a 、b 、c 的轮换对称式(a 、b 、c 在不等式中的作用对等，交换其中任意两个位置，结论仍成立)，只需证明a (b 2
＋c 2
)≥2abc ，其他同理可证．
证明：∵b 2
＋c 2
≥2bc ，a ＞0，∴a (b 2
＋c 2
)≥2abc . ① 同理b (c 2
＋a 2)≥2abc ， ②
c (a 2＋b 2)≥2abc . ③
因为a 、b 、c 不全相等，所以①②③中至少有两式不能取“＝”号．∴a (b 2
＋c 2
)＋b (c 2
＋a 2
)＋c (a 2
＋b 2
)＞6abc .
6解析：设2006年产量为1，则2008年产量为 (1＋a )(1＋b )＝(1＋q )2
， 即1＋q ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b
2
，
∴q ≤
a ＋b
2
.
答案：C
7解析：∵a 2
＋1≥2a 2
·1＝2a ，且a ＞0，∴2a ＞a ，∴①正确；
∵a ＋1a
≥2
a ·1a ＝2，
b ＋1
b ≥2b ·1
b
＝2，
∴(a ＋1a
)(b ＋1
b
)≥4，当且仅当a ＝1，b ＝1时等号成立，故②正确；
∵(a ＋b )(1a ＋1b )＝1＋1＋b a ＋a
b
≥2＋2·
b a ·a
b
＝4，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故③正确；
∵a 2
＋9≥2a 2
·9＝6a ，当且仅当a ＝3时等号成立，故当a ＝3时，a 2
＋9＝6a ，故④不正确；
∵a 2＋1＋
1
a 2
＋1
≥2a 2＋1·
1
a 2
＋1
＝2， 当且仅当a ＝0时等号成立，又a ＞0，所以等号不成立，故⑤正确． 答案：①②③⑤
8分析：不等式左端是x ＋y (不含a 、b )，而右端是(a ＋b )2
(含有a 、b )，又知a x ＋b
y
＝1，所以将x ＋y 乘1，也即x ＋y 乘a x ＋b y
可得出相应式子，从而可应用基本不等式．
证明：左式＝x ＋y ＝(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋bx y ＋ay x
≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2
＝右式．
当且仅当ay x ＝bx y ，即x 2y 2＝a b
时取“＝”，故x ＋y ≥(a ＋b )2
.
3.2 基本不等式与最大(小)值
基础巩固
1已知a ，b ∈R ，下列不等式不成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2
＋b 2
≥2ab C ．ab ≤(
a ＋b
2
)
2
D ．|a |＋|b |≥2|ab |
2设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正数，则xy 的最大值是( ) A ．400 B ．100 C ．40 D ．20
3已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是…… ( ) A ．10 B ．25 C ．5 D ．210 4已知m ，n ∈R ，m 2
＋n 2
＝100，则mn 的最大值是…… ( ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．10
5已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2
的最小值是( ) A ．200 B ．100 C ．50 D ．20 6已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为______． 7求函数y ＝
1
x －3
＋x (x ＞3)的最小值． 8已知f (x )＝12
x
＋4x ，
(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值； (2)当x ＜0时，求f (x )的最大值．
9某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10 000平方米，每座球场的建筑面积均为1 000平方米，球场总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建n 个时，每平方米的平均建筑费用用f (n )表示，且f (n )＝m (1＋
n －5
20
)(其中n ∈N )，
又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场？
综合过关
10下列结论正确的是( ) A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1
lg x ≥2
B ．当x ＞0时，x ＋
1
x
≥2
C ．当x ≥2时，x ＋1
x
的最小值为2
D ．当0＜x ≤2时，x －1
x
无最大值
11若b ＜a ＜0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2
＜b
2
B ．ab ＜b 2
C.b a ＋a b
＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 12设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 2
2
B ．ab ＜1＜
a 2＋
b 2
2
C ．ab ＜
a 2＋
b 2
2
＜1 D.
a 2＋
b 2
2
＜ab ＜1
13函数y ＝log a (x －1)＋1(a ＞0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx
＋n 的图像上，其中m ，n ＞0，则1m ＋2
n
的最小值为______．
能力提升
14设a ＞b ＞0, 那么 a 2
＋
1
b
a －b
的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
15已知a ，b ，c ∈{正实数}且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1a －1)(1b －1)(1
c
－1)≥8.
参考答案
1答案：A 2解析：xy ≤(x ＋y
2
)2
＝400，当且仅当x ＝y ＝20时等号成立．
答案：A
3解析：a ＋b ≥2ab ＝210，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立． 答案：D 4解析：mn ≤m 2＋n 22
＝100
2
＝50，当且仅当m ＝n ＝50或m ＝n ＝－50时等号成立．
答案：B
5解析：p 2
＋q 2
≥2pq ＝200，当且仅当p ＝q ＝10或p ＝q ＝－10时等号成立． 答案：A
6解析：∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0， 则x (3－3x )＝3[x (1－x )]≤3×(x ＋1－x
2)2
＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12
时取等号．
答案：1
2
7分析：可将原函数解析式变形，凑配成积为定值的形式． 解：y ＝
1
x －3
＋x －3＋3， ∵x ＞3，x －3＞0，1
x －3
＞0， ∴y ≥2
1
x －3
·x －3＋3＝5，
当且仅当
1
x －3
＝x －3，即x ＝4时，y 有最小值5. 8分析：由12
x
，4x 的积是定值，因此可以利用基本不等式求最值，但要注意x 的符号．
解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0，∴12
x
＋4x ≥2
12
x
·4x ＝8 3.
当且仅当12
x
＝4x ，即x ＝3时取最小值83，
∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3. (2)∵x ＜0，∴－x ＞0， 则－f (x )＝12
－x
＋(－4x )≥2
12－x
·－4x ＝83，
当且仅当12
－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．
∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.
9分析：每平方米的综合费用为f (n )＋每平方米的购地费用，利用n ＝5，f (n )＝400求出m ，这样用n 表示每平方米的综合费用，用基本不等式求出最小值．
解：设建成n 个球场，则每平方米的购地费用为128×104
1 000n ＝1 280
n ，由题意知n ＝5，f (n )
＝400，
则f (5)＝m (1＋5－5
20)＝400，所以m ＝400，
所以f (n )＝400(1＋
n －5
20
)＝20n ＋300，
从而每平方米的综合费用为
y ＝f (n )＋
1 280n ＝20(n ＋64
n
)＋300≥20×264＋300＝620(元)，当且仅当n ＝8时等号
成立，
所以当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．
10解析：A 中，当x ＞0且x ≠1时，lg x 不一定是正数，所以A 不正确；C 中，当x ≥2时，x ＋1
x
≥2
x ×1
x
＝2中的等号不成立，所以C 不正确；D 中，当0＜x ≤2时，可以证明
函数y ＝x －1x 是增函数，则其最大值是f (2)＝3
2，所以D 不正确；B 中，满足基本不等式的
条件一正二定三相等，所以B 正确．
答案：B
11解析：a 2
－b 2
＝(a ＋b )(a －b )＜0，所以A 正确；ab －b 2
＝b (a －b )＜0，所以B 正确；
由于b a ＞0，a b ＞0，且b a ≠a b ，则b a ＋a b ＞2
b a ×a
b
＝2，所以C 正确；当b ＝－2，a ＝－1时，|a |－|b |＝1－2＝－1≠|a －b |＝1，所以D 不正确．
答案：D
12解析：从所给的选项来看，就是要比较ab 、1与
a 2＋
b 2
2
的大小关系，最基本的方法就
是采用差值比较法，也可利用不等式a 2
＋b 2
≥2ab 及其变形来考虑，并且注意等号取得的条件是否具备．
由a ＋b ＝2，且a ≠b ，得a 2＋b 2
2
＞(
a ＋b
2
)2
＝1＞ab .
答案：B
13解析：A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n ＞0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋
2
2m ＋n
n
＝4＋n
m
＋
4m n ≥4＋24＝8，当且仅当n m ＝4m n 即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2
n
的最小值为8. 答案：8
14解析：由 a ＞b ＞0, 可知0＜b (a －b )＝a 2
4－(b －a 2)2≤14a 2，所以 a 2
＋
1b
a －b
≥a 2
＋4a 2≥4，当且仅当a ＝2，b ＝2
2
时等号成立． 答案：C
15分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc
a
，可由此变形入手．
证明：∵a ，b ，c ∈{正实数}，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc
a
，
同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c
.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2ab c
＝8.
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时取等号．。