浙江省杭州市萧山区高考模拟命题比赛数学试卷

为( )
A .2
B . 1-
C .1-或2
D . 2或2
2、(原创) 复数
i
i
3243-+对应的点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、(原创) ”“}3,{a x ∈是不等式03522≥--x x 成立的一个充分不必要条件,则实数
a 的范围是( )
),3(.A +∞ [)∞+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-∞-，，
321. B ⎥⎦⎤ ⎝
⎛
-∞-21,.C ),3(21,.+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞- D
4、(原创) 已知实数x ，y 满足01
01x y y x b ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≥+⎩，若z x y =-的最大值为1，则实数b 的取
值范围是（ ）
A ．1b ≥
B ．1b ≤
C ．1b ≥-
D ．1b ≤- 5、（原创）已知直线l 、m 与平面α、β，βα⊂⊂m l ,，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若m l //，则必有βα//
B ．若m l ⊥，则必有βα⊥
C ．若β⊥l ，则必有βα⊥
D ．若βα⊥，则必有α⊥m
6、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）
A.外接球的半径为
3
3
B.体积为3
C.表面积为631++
D.外接球的表面积为
163
π
7、已知点P 是双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b y a x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的
左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ）
(A)．5 (B)．2 (C)．3 (D)．2
8、已知)(x f 是定义在R 上的增函数，函数)1(-=x f y 的图象关于点（1,0）对称，若对任意的x ，y R ∈，等式0)34()3(2=--+-x x f y f 恒成立，则x
y
的取值范围是（ ）
A .]3322,3322[+-
B .]332
2,1[+ C .]3,332
2[- D .]3,1[
9、（引用四川省石室中学一模试卷）已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，
，
≤≤，设方程
()()2x b x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的
任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ ）
（1）()()1234100661x x x x <<--<<或；（2）()()123416061x x x x <--<>且； （3）123499125x x x x <<<<或；（4）1234925361x x x x <<<<且 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
10.过边长为2的正方形中心作直线l 将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l 翻折到另一个部分上。

则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为（ ）
A.2
B.2(3)
C. 4(2)
D. 4(3－)
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分.
11、(原创) 在ABC ∆中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，S 为ABC ∆的面积.已知4a =，
5b =，2C A =，则c = ，S = .
12、(原创) 已知递增的等差数列}{n a 的首项11=a ，且1a 、2a 、4a 成等比数列。

则数列}{n a 的通项公式为 ；则8313852+-++++++n n a a a a a 的表达式为______________。

13、(原创) 已知x ，y 为正实数，且32=+y x 。

则xy
y
x +3的最小值为 ； 则)1(2+y x 的最大值为 。

14、(原创)袋中有5个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字2,1,0摸出一个将其上的数字记为1a ，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为2a ，依次下去，第n 次随机摸出一个，将其上的数字记为n a 记n n a a a 21=ξ，则（1）随机变量3ξ的期望是_____ __； （2）当12-=n n ξ时的概率是__ _____。

15、（引用黄冈中学模拟试卷）已知直线l 的方程是60x y +-=，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形（O 为坐标原点），则△OAB 外接圆的方程是 ．
16、（引用杭州二中模拟）在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则μλ+的最小值为 .
17、(原创) 球O 为边长为2的正方体1111D C B A ABCD -的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为11C B 中点，DP ⊥BM ，则点P 的轨迹长度为
三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18、(改编 2016年天津高考）（本题满分14分）已知函数
()4tan sin(
)cos()323
f x x x x π
π
=---.
(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论()f x 在区间[,44
ππ
-]上的单调性和最值.
19 (改编2015年杭高模拟题)（本题满分14分）如图，在三棱台ABC DEF -中，
2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B --的大小为
23
π.
（Ⅰ）证明：AC BN ⊥；
Ⅱ）求直线AD 与平面BEFC 所成角的正弦值.
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）已知圆方程为222=+y x ，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设Q 为AB 的中点，求||OQ 长度的取值范围.
21、(引用绍兴一模)（本小题满分15分）已知函数f (x )=ln x ，g (x )=e x ． （1）若函数φ (x ) = f (x )－
1
1
x x +-，求函数φ (x )的单调区间； （2）设直线l 为函数 y ＝f (x ) 的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线．证明：在区间 (1，+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．注：e 为自然对数的底数．
22．（本小题满分15分）已知函数4
()415
f x x =+，
（Ⅰ）求方程()0f x x -=的实数解；
（Ⅱ）如果数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=（n N *∈），是否存在实数c ，使得
221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立？证明你的结论．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，证明：
114n S n
<≤．
高考模拟试卷 数学卷参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D
D
A
B
B
D
C
A
C
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．） 11. ① .6 ②
15
74
12. ① ),1[∞+ ② ]1,2[- 13. ①
3627+ ② 2
5
14. ①n a n = ② 2
30
1932++n n 15. ]13,1[
16.
2
1
17. ]21,2()2,21[+- 三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分
7分
()II 解：令2,3z x π
=-
函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+,得5,.12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤
=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.
所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上
单调递减. …14分
19.（本小题满分14分）（Ⅰ）证：取AC 中点M ，连结NM BM 、. 易知：AC NM ⊥，AC BM ⊥，BM NM M =，
所以AC ⊥平面NBM .
又因为BN ⊂平面NBM ，所以AC BN ⊥. ……6分
（Ⅱ）解：由三棱台结构特征可知，直线AD CF BE 、、的延长线交于一点，记为P ， 易知，PAC ∆为等边三角形. 连结AE EC 、.
由（Ⅰ）可知PMB ∠为二面角D AC B --的平面角，即23
PMB π
∠=. 因为2AB AP BC CP ====，E 为PB 中点， 所以PB ⊥平面AEC ，平面AEC ⊥平面PBC . 过点A 作AH EC ⊥于点H ，连结HP .
由平面AEC ⊥平面PBC ，可知AH ⊥平面PBC ， 所以直线AD 与平面BEFC 所成角为APH ∠. 易知7AE CE ==
，在AEC ∆中求得221
AH = 所以21
sin 7
AH APH AP ∠=
=. …… 14分
20．（本题满分15分）
解：（1）由题意知，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， ……2分
且6=a ，3=c ，3=b ，
∴动点P 的轨迹方程为13
62
2=+y x ……5分 （2）若直线AB 斜率不存在，则直线AB 方程为2±=x ，
此时，2||=OQ ……6分 若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为b kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B
联立⎩⎨⎧=++=6
22
2y x b
kx y ，得：0624)21(222=-+++b kbx x k ∴2
21214k
kb
x x +-=+ 22212162k b x x +-= ……8分 ∴221212122)(k b b x x k y y +=++=+∴)21,212(2
2k
b k kb Q ++-…9分 ∵直线AB 与圆O 相切，∴
21||2
=+k b ，即)1(222k b +=……11分
∴)1
441(2144)154(2)21(4||2
42
2424222222
+++=++++=++=k k k k k k k k b b k OQ 当0=k 时，2||=OQ 当0≠k 时，4
9
)41
411(2||222≤
++
+
=k
k OQ ， ……14分 当且仅当2
214k
k =时，等号成立 ∴]23
,2[||∈OQ ………15分 21．本小题满15分）
解：（1）(),1
1
ln 11)(-+-=-+-
=x x x x x x f x ϕ
2
22,
)
1(1
)1(21)(-⋅+=-+=x x x x x x ϕ (2分) ,10≠>x x 且 0)(,>∴x ϕ
)(x ϕ∴的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞) (4分) （2）∵1()f x x
'= ，∴00
1()f x x '=
， ∴ 切线l 的方程为000
1
ln ()y x x x x -=-, 即00
1
ln 1y x x x =
+-, ① （6分） 设直线l 与曲线()y g x =相切于点1
1(,)x x e ， ∵()x g x e '=，∴1
1
x e x =
，∴10ln x x =-． （8分） ∴直线l 也为()000
11
ln y x x x x -
=+， http:/// 即0000
ln 11x y x x x x =
++， ② （9分） 由①②得 0000
ln 1
ln 1x x x x -=
+，http:/// ∴0001
ln 1
x x x +=
-． （11分） 下证：在区间（1，+∞）上0x 存在且唯一.
由（1）可知，()x ϕ1
ln 1
x x x +=-
-在区间1,+∞（）上递增．
又12()ln 011
e e e e e ϕ+-=-=<--，2222
2
213()ln 011e e e e e e ϕ+-=-=>--， (13分) 结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=必在区间2(,)e e 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x ． 故结论成立． （15分）
22.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）41
()044154
f x x x x x x -=⇔
=⇒=-=+或；
（Ⅱ）存在14c =使得22114
n n a a -<<． 证法1：因为4()415f x x =
+，当(0,1]x ∈时，()f x 单调递减，所以4
0()15
f x <<．因为11a =，所以由14415n n a a +=
+得23476
,19301
a a ==且01n a <≤．下面用数学归纳法证明
2211
014
n n a a -<<
<≤． 因为2141
011194
a a <=<<=≤，所以当1n =时结论成立．
假设当n k =时结论成立，即2211
014
k k a a -<<<<．由于4()415f x x =+为(0,1]上的
减函数，所以2211(0)()()()(1)4k k f f a f f a f ->>>>，从而212414
15419
k k a a +>>>>，
因此212414
()()()()()15419k k f f a f f a f +<<<<，
即2221414
0()()115419
k k f a a f ++<≤<<<≤．
综上所述，对一切*n N ∈，2211
014
n n a a -<<<≤都成立，
即存在14c =使得2211
4n n a a -<<． ……10分
证法2：11114111415414444444415
n n n n n n a a a a a a ++++---+==-++++，且
11134420a a -=+ 144n n a a ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬
+⎪⎪
⎩⎭
是以320为首项，1
4-为公比的等比数列. 所以
1
1
3144204n n n a a --
⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭
. 易知0n a >，所以当n 为奇数时，14n a >；当n 为偶数时，1
4
n a < 即存在14c =
，使得2211
4
n n a a -<<.
（Ⅲ）证明：由（2），我们有
22141
1194
n n a a -≤<<≤，从而12n a a a n +++≤.
11 / 11 设14n n b a =-，则由14415n n a a +=+得11114(1)433n n n n b b b a +==<++. 由于123333,,4761204
b b b ==-=， 因此n =1，2，3时，120n b b b ++
+>成立，左边不等式均成立． 当n >3时，有2121322
33376011412041()1()33n b b b b b b -
+++>++=++≥--， 因此1214n a a a n ++
+>． 从而121
4n n a a a n <++
+≤．即114n S n <≤． ……15分 解法2: 由（Ⅱ）可知01n a <≤，所以113(,]444n n b a =-∈- 11144415416n n n n n b b a a b ++-=-==++，所以11(1,0)416n n n b b b +-=∈-+ 所以2120n n b b -+>
所以当n 为偶数时，120n b b b +++>；所以当n 为奇数时，
121()0n n b b b b -++++> 即104
n S n ->.(其他解法酌情给分)。