九年级数学下册 第24章 圆 小专题(一)旋转变换的证明与计算课件

( 1 )在图1中E是OC上一点,F是OB上一点,且OE=OF,请问可以通过平移、旋转、翻折中的哪
一种方法,使△OAF变换到△OBE的位置?
( 2 )如图2,若点E,F分别在OC,OB的延长线上,并且OE=OF,试写出线段AF与BE的数量关系,并说
明理由.
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= ,
∴△AOF≌△BOE( SAS ),∴AF=BE.
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利用旋转求线段长
2.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连
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解:( 1 )旋转,以点O为旋转中心,逆时针旋转90度,可以使△OAF变换到△OBE的位置.
( 2 )AF=BE.
理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OA=OB,
∴∠AOB=∠BOC=90°,
= ,
在△AOF 和△BOE 中, ∠ = ∠,
即∠BAE=∠CAF,
= ,
在△ABE 和△ACF 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF.
( 2 )∵四边形ABDF为菱形,∴DF=AF=2,DF∥AB,∴∠ACF=∠BAC=45°.
∵AC=AF,∴∠ACF=∠AFC=45°,∴△ACF为等腰直角三角形,
∵∠DBQ+∠CBQ=∠DBC=60°,∠DBP=∠CBQ,
∴∠DBP+∠DBQ=∠CBQ+∠DBQ=60°,∴△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,当DQ=PQ,∠PQD=90°时,同理得△BPQ为等边三角
形,∠BPQ=60°,∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,
接BE,CF相交于点D.
( 1 )求证:BE=CF;
( 2 )当四边形ABDF为菱形时,求CD的长.
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解:( 1 )∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到
的,∴AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°,∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,
当PQ=DQ时,∠DPQ= ( 1180°-40° )=70°,
2
∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+70°=130°;
当PD=DQ时,∠DPQ=∠PQD=40°,由∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+40°=100°.
综上,∠BPD的度数为100°或130°或160°.
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∴∠AOA'=60°,∴∠AOA'=∠OA'B',∴A'B'∥x 轴,∴A'B'⊥y 轴.设题图 1 中 A'B'与 y 轴
连接CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程.
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解:( 1 )如题图1,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E,∴∠BED=∠ACB=90°,由旋转知
AB=BD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°,
∠PQB=∠PBQ=∠BPQ=60°,
∵BD=AB,BQ=BP,∠PBQ=∠ABD=60°,
∴△BQD≌△BPA,则∠BQD=∠BPA=100°,
∴∠PQD=∠BQD-∠PQB=40°.
当PQ=PD时,∠DPQ=180°-2∠PQD=100°,
∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+100°=160°;
= ,
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1 2
∴△ABC≌△BDE( AAS ),∴BC=DE=a.∴S△BCD= BC·DE= a .
2
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)如题图 3,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,过点 D 作 DE⊥CB 交 CB 的延长线于点 E,
∵△BQC由△BPD旋转所得,∴△BDP,△BCQ为等腰三角形,
∵PD∥BQ,∴∠BDP=∠DBQ,
∵∠BDP=∠DBP=∠CBQ,∴∠DBQ=∠CBQ,∵∠DBC=60°=∠DBQ+∠CBQ,
∴∠BDP=∠DBP=∠CBQ=30°,∠DPB=180°-( ∠BDP+∠DBP )=120°.
( 2 )连接PQ.当DP=DQ,∠PDQ=90°时,由旋转的性质可得BP=BQ,
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利用旋转求面积
4.( 德阳中考 )如图,将△ABC沿BC翻折得到△DBC,再将△DBC绕点C逆时针旋转60°得到
△FEC,延长BD交EF于点H,已知∠ABC=30°,∠BAC=90°,AC=1,则四边形CDHF的面积为
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8.如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为( -1,0 ), 点B的坐标为( 0,
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解:( 1
)∵A( -1,0

∴tan∠BAO=
=
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),B( 0, 3 ),∴AO=1,BO= 3,
= 3,∴∠BAO=60°.
( 2 )S1=S2.
理由:根据旋转的性质可得 AO=A'O,∠OA'B'=∠OAB=60°,∴△AOA'是等边三角形,
分线上的点,∴DG=AG,又∵AG=AD,∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,∴a=60°.
如答图2,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的左边时,GC=GB.同理,△ADG是等边三角形,
∴∠DAG=60°,此时a=300°.
综上所述,当a为60°或300°时,GC=GB.
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∴△AFB≌△BED( AAS ),∴BF=DE=2a.
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∵S△BCD=2BC·DE=2·a·2a=4a .
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利用旋转求点的坐标
6.( 牡丹江中考 )如图,矩形ABCD的边BC在x轴上,点A在第二象限,点D在第一象限,
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解:( 1 )连接AF.
∵矩形AEFG由矩形ABCD旋转所得,∴BD=AF,∠EAF=∠ABD,
∵AB=AE,∴∠ABD=∠AEB,∴∠EAF=∠AEB,∴BD∥AF,
∴四边形BDFA是平行四边形,∴FD=AB,
∵AB=CD,∴FD=CD.
( 2 )如答图1,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时,GC=GB.易知点G是AD的垂直平
∴CF= 2AF=2 2,∴CD=CF-DF=2 2-2.
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利用旋转求角的度数
3.如图,菱形ABCD是由两个正三角形拼成的,P是△ABD内任意一点,现把△BPD绕点B旋转到
△BQC的位置.
( 1 )当四边形BPDQ是平行四边形时,求∠BPD;
( 2 )当△PQD是等腰直角三角形时,求∠BPD;
( 3 )若∠APB=100°,且△PQD是等腰三角形时,求∠BPD.
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解:( 1 )连接DQ.当四边形BPDQ是平行四边形时,BQ=PD,由已知,得BQ=BP,∴BP=PD,
当DP=PQ,∠DPQ=90°时,同理得△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,
∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+90°=150°.综上,∠BPD的度数为105°或150°.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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( 3 )连接AP.由旋转的性质可得BP=BQ,同理得△BPQ为等边三角形,则
出现等腰直角三角形,当三角形绕某一顶点旋转60°时,可出现等边三角形.于是可把陌生问题转
化为熟悉问题,把复杂(fùzá)问题转化为简单问题.
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利用旋转变换证明
1.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
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∴∠AFB=∠E=90°,BF=2BC=2a,∴∠FAB+∠ABF=90°.
∵∠ABD=90°,∴∠ABF+∠DBE=90°,
∴∠FAB=∠EBD.∵线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的,∴AB=BD.
∠ = ∠,
在△AFB 和△BED 中, ∠ = ∠,
= ,
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5.( 青海中考 )请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
( 1 )探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到
1
线段BD,连接CD.求证:△BCD的面积为 a2.
2
( 2 )探究2:如图2,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段
BD,连接CD.请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由.
( 3 )探究3:如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,
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( 2 )△BCD
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的面积为2a .
理由:如题图2,过点D作BC的垂线,与CB的延长线交于点E.∴∠BED=∠ACB=90°,由旋转知
AB=BD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°.
∵∠A+∠ABC=90°,
∠ = ∠,
∴∠A=∠DBE.在△ABC 和△BDE 中, ∠ = ∠,
).
( 1 )求3∠BAO的度数.
( 2 )如图1,将△AOB绕点O顺时针旋转得△A'OB',当点A'恰好落在AB边上时,设△AB'O的面积
为S1,△BA'O的面积为S2, S1与S2有何关系?为什么?
( 3 )若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置,S1与S2的关系发生变化了吗?请说明理
由.
∵∠A+∠ABC=90°,
∠ = ∠,
∴∠A=∠DBE,在△ABC 和△BDE 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ABC≌△BDE( AAS ),
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∴BC=DE=a,∴S△BCD=2BC·DE=2a .
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小专题( 一 )
旋转变换的证明
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(zhèngmíng)
与计算
1.任意一个图形绕旋转中心旋转α( 0°<α≤180° ),旋转后的图形与原图形的对应线段所在直
线的夹角都为α或180°-α.
2.当条件比较分散时,可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形中,其中旋转的角度是
构图的关键.通常把图形旋转到特定的位置或特殊的角度,当三角形绕某一顶点旋转90°时,可
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与旋转有关的探究题
7.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a( 0°<a<360° ),得到矩形AEFG.
( 1 )如图,当点E在BD上时,求证:FD=CD.
( 2 )当a为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.
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AB=2 3 ,OD=4,将矩形ABCD绕点O旋转,使点D落在x轴上,则点C的对应点的坐标是( C )
A.(
B.(
C.(
D.(
- 3,1
-1, 3
-1, 3
- 3,1
)
)
)或( 1,- 3 )
)或( 1,- 3 )
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