2012年高考第一轮复习数学：13.2 导数的应用

13.2 导数的应用
●知识梳理
1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.
（1）求f'（x）.
（2）确定f'（x）在（a，b）内符号.
（3）若f'（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；
若f'（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.
2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.
（1）求f'（x）.
（2）f'（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
f'（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
●点击双基
1.函数y=x2（x－3）的减区间是
A.（－∞，0）
B.（2，+∞）
C.（0，2）
D.（－2，2）
解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0<x<2.
答案：C
2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足
A.a<0且b=0
B.a>0且b∈R
C.a<0且b≠0
D.a<0且b∈R
解析：f'（x）=2ax，x<0且f'（x）<0，
∴a>0且b∈R.
答案：B
3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］
A.在（－2，0）上递增
B.在（0，2）上递增
C.在（－2，0）上递增
D.在（0，2）上递增
解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，F'（x）=4x3－8x，
令F'（x）>0，得－2<x<0或x>2，
∴F（x）在（－2，0）上递增.
答案：C
4.在（a，b）内f'（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.
解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.
答案：充分
●典例剖析
【例1】设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.
剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.
解：f'（x）=3x2－6ax+2b，由题意知
⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,
112131,021613232b a b a 即⎩
⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =3
1，b =－21. 此时f （x ）=x 3－x 2－x ，f '（x ）=3x 2－2x －1=3（x +3
1）（x －1）. 当f '（x ）>0时，x >1或x <－3
1， 当f '（x ）<0时，－3
1<x <1. ∴函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－3
1，1）. 评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.
【例2】 （2004年全国，19）已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.
剖析：在R 上为减函数，则导函数在R 上恒负.
解：f '（x ）=3ax 2+6x －1.
（1）当f '（x ）<0时，f （x ）为减函数.
3ax 2+6x －1<0（x ∈R ），a <0时，Δ=36+12a <0，∴a <－3.
∴a <－3时，f '（x ）<0，f （x ）在R 上是减函数.
（2）当a =－3时，f （x ）=－3（x －3
1）3+98. 由y =x 3在R 上的单调性知：a =－3时，f （x ）在R 上是减函数，综上，a ≤－3.
评述：f （x ）在R 上为减函数⇒f '（x ）≤0（x ∈R ）.
【例3】 （2004年全国，21）若函数y =3
1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.
剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
解： f '（x ）=x 2－ax +a －1=0得x =1或x =a －1，
当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.
当a －1>1，即a >2时，函数f （x ）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a －1）上为减函数，在（a －1，+∞）上为增函数.
依题意，当x ∈（1，4）时，f '（x ）<0，当x ∈（6，+∞）时，f '（x ）>0，∴4≤a －1≤6.
∴5≤a ≤7.∴a 的取值范围为［5，7］.
评述：若本题是“函数f （x ）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x =4两侧使函数f '（x ）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.
●闯关训练
夯实基础
1.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞)上，f '（x ）≥0恒成立，即a ≤3x 2在［1，+∞）
上恒成立，
∴a ≤3.
答案：D
2.已知函数f （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
解析：f '（x ）=4x （x 2－3x +5）在［1，2］上，f '（x ）>0，
∴f （x ）在［1，2］上单调递增.
∴f （x ）≥f （1）=7.
∴f （x ）=0在［1，2］上无根.
答案：D
3.函数f （x ）的导函数y =f '（x ）的图象如下图，则函数f （x ）的单调递增区间为________.
-解析：在［－1，0］和［2，+∞)答案：［－1，0］和［2，+∞)
4.若函数y =－
3
4x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________. 解析：y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0.
答案：b >0 5.设函数f （x ）=x 3－
2
1ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间. 解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3，判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）. 1°0<a <6时，
Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立.
∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.
2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.
∴在R 上单调递增.
3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6
362--a a . f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6
362--a a . ∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6
362--a a ，6
362-+a a ）内单调递减.
6.设f （x ）=x 3－2
2
x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间； （2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.
解：（1）f '（x ）=3x 2－x －2=0，得x =1，－
32.在（－∞，－32）和［1，+∞)上f '（x ）>0，f （x ）为增函数；在［－
32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－3
2]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］. （2）当x ∈［1，2］时，显然f '（x ）>0，f （x ）为增函数，f （x ）≤f （2）=7. ∴m >7.
培养能力
7.已知函数f （x ）=x 3－ax －1.
（1）若f （x ）在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，使f （x ）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）证明f （x ）=x 3－ax －1的图象不可能总在直线y =a 的上方.
解：f '（x ）=3x 2－a ，（1）3x 2－a >0在R 上恒成立，∴a <0.
又a =0时，f （x ）=x 3－1在R 上单调递增，∴a ≤0.
（2）3x 2－a <0在（－1，1）上恒成立，即a >3x 2在（－1，1）上恒成立，即a >3. 又a =3，f （x ）=x 3－3x －1，f '（x ）=3（x 2－1）在（－1，1）上，f '（x ）<0恒成立，即f （x ）在（－1，1）上单调递减，∴a ≥3.
（3）当x =－1时，f （－1）=a －2<a ，因此f （x ）的图象不可能总在直线y =a 的上方.
8.已知函数f （x ）=ax 4+bx 2+c 的图象经过点（0，1），且在x =1处的切线方程是y =x －2.
（1）求y =f （x ）的解析式；
（2）求y =f （x ）的单调递增区间.
解：（1）由题意知f （0）=1，f '（1）=1，f （1）=－1.
∴⎪⎩
⎪⎨⎧-=++=+=.1,124,1c b a b a c
∴c =1，a =
25，b =－29， f （x ）=25x 4－2
9x 2+1. （2）∵f '（x ）=10x 3－9x ，
由10x 3－9x >0，得x ∈（－10103，0）∪（10
103，+∞）， 则f （x ）的单调递增区间为（－10103，0）和（10
103，+∞）. 9.已知函数f （x ）=2ax －x 3，a >0，若f （x ）在x ∈（0，1］上是增函数，求a 的取值范围.
解：f '（x ）=2a －3x 2在（0，1]上恒为正，
∴2a >3x 2，即a >
23x 2. ∵x ∈（0，1]， ∴23x 2∈（0，2
3]. ∴a >
23.当a =23时也成立.∴a ≥2
3. 探究创新
10.有点难度哟！
证明方程x 3－3x +c =0在［0，1］上至多有一实根.
证明：设f （x ）=x 3－3x +c ，则f '（x ）=3x 2－3=3（x 2－1）.
当x ∈（0，1）时，f '（x ）<0恒成立. ∴f （x ）在（0，1）上单调递减.
∴f （x ）的图象与x 轴最多有一个交点.
因此方程x 3－3x +c =0在［0，1）上至多有一实根.
●思悟小结
1.f '（x ）>0⇒f （x ）为增函数（f '（x ）<0⇒f （x ）为减函数）.
2.f （x ）是增函数⇒f '（x ）≥0（f （x ）为减函数⇒f '（x ）≤0）.
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教学点睛
1.可导函数f （x ）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f （x ）在x 0处连续，在x 0两侧的导数异号，那么点x 0是函数f （x ）的极值点.
2.求可导函数f （x ）的极值的步骤如下：
（1）求f （x ）的定义域，求f '（x ）；
（2）由f '（x ）=0，求其稳定点；
（3）检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f （x ）在这个根处不取极值.
3.求可导函数f （x ）的最值的方法：
（1）求f （x ）在给定区间内的极值；
（2）将f （x ）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
拓展题例
【例1】 若函数f （x ）=ax 3－x 2+x －5在（－∞，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解： f '（x ）=3ax 2－2x +1>0恒成立.
∴⎩⎨⎧<>,0,0Δa 即⎩
⎨⎧<->.0124,0a a ∴a >3
1. 当a =3
1时，f （x ）在（－∞，+∞）上单调递增. ∴a ≥3
1.
【例2】求证：x>1时，2x3>x2+1.
证明：令f（x）=2x3－x2－1，则f'（x）=6x2－2x=2x（3x－1）. 当x>1时，f'（x）>0恒成立.
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1.。