04控制系统的时域分析3

§4-6 系统的误差分析 稳态误差的来源 ‹系统结构不同，输入信号不同，输出稳态值可能 偏离输入值； ‹外来干扰； ‹系统中的摩擦、间隙、零件的变形、不灵敏区等 因素。

稳态误差表征了系统的精度及抗干扰的 能力，是系统重要的性能指标之一。

一、误差及稳态误差的概念 （1）误差的定义 比较装置的误差 E ( s) = R( s) − H (s) ⋅ C (s) 系统误差
E ' ( s) = R( s) − C ( s)
R(s) E ( s) G( s ) C ( s)
B(s)
H ( s)
第二种在实际应用中往往量纲不同，如输入力、 输出位移，无法比较，常用第一种。

(2) 稳态误差
E(s) = R(s) − B(s) = R(s) − H(s)C(s) G(s) = R(s) − H(s) ⋅ R(s) 1 + G(s)H(s) 1 = R(s) 1 + G(s)H(s)
−1
R(s)
E ( s) G( s )
C ( s)
B(s)
H ( s)
误差的时间响应 e(t ) = L [ E ( s )] ①瞬态误差：对E(s)进行拉氏反变换得到时间响应 ②稳态误差：当t→∞时,误差的时间响应e(∞)
ess = lim e(t ) = lim sE ( s )
t →∞ s →0


R(s)
E ( s) G (s)
C ( s)
B(s)
H ( s)
sR ( s ) ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim t →∞ s →0 s →0 1 + G ( s ) H ( s )
从式中可看出，ess与输入及开环传递函数的结构有 关，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。

当R(s)一定时，就取决于开环传递函数。

二、系统的稳态误差分析
(1）影响稳态误差的因素 系统的开环传递函数可写成下面的形式：
G (s) H (s) = K Π (τ i s + 1) s
λ
m i =1 n −λ
Π(T s + 1)
j =1 j
, n≥m
=
k (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) ⋅⋅⋅ (τ m s + 1)
s
λ
(T1s + 1)(T2 s + 1) ⋅⋅⋅ (Tp s + 1)
K : 系统的开环增益。

(λ + p = n ≥ m)
0型系统 Ι 型系统 ΙΙ型系统 注意：系统的 阶次与类型的 概念完全不同。

λ
⎧λ = 0 ⎪λ = :为系统中含有的积分环节数 ⎨ 1 ⎪λ = 2 ⎩
，λ>2的系统很难稳定，很少见。

1 e(t) = limsE(s) = lims R(s) 因 ess = lim t →∞ s →0 s →0 1 + G(s)H(s)
而 则
G ( s) H (s) = K Π (τ i s + 1) s λ Π (T j s + 1)
j =1 i =1 n −λ m
, n≥m
ess = limsE(s) = lims
s →0 s →0
1+
sλ+1 R(s) = lim R( s) m s →0 K + s λ KΠ (τis + 1) 1 sλ Π (Tjs + 1)
j=1 i =1 n −λ
可以看出，与系统稳态误差有关的因素为：
系统型别 ⎧ν λ ⎪ e ss 与⎨ K 开环增益有关 ⎪ R ( s ) 输入信号 ⎩


（2）静态误差系数与稳态误差 ①静态位置误差系数Kp 当输入为单位阶跃(r(t)=1)时的稳态误差，称为位置误差
1 1 ess = limsE(s) = lims ⋅ s→0 s→0 1 + G(s)H(s) s 1 1 = lim = s→0 1 + G(s)H(s) 1+ Kp
⎧ K ,λ = 0 K p = limG(s)H (s) = G(0)H (0) K p = ⎨ s→0 ⎩∞,λ ≥ 1
G(s) H (s) = K (T as + 1)(T bs + 1) ⋅⋅⋅ (T ms + 1)
λ
1 2
从何而来？
v=0 λ v ≥1 λ
⎧ 1 ⎪ ess = ⎨1+ K ⎪ ⎩0
s (T s + 1)(T
s + 1) ⋅⋅⋅ (T ps + 1)


②静态速度误差系数Kv 当输入为单位斜坡(r(t)=t)时的稳态误差，称为速度误差。

1 1 1 1 ess = limsE(s) = lims ⋅ 2 = lim = s→0 s→0 1+ G(s)H(s) s s→0 sG(s)H(s) KV
KV = limsG(s)H(s)
s→0
称为静态速度误差系数。

从何而来？
Ks KV = lim λ s→0 s
sG ( s ) H ( s ) =
λ
1
⎧0 λ = 0 λ ⎪ KV = ⎨ K λ =1 ⎪∞ λλ ≥ 2 ⎩
λ
2
sK (T as + 1)(T bs + 1) ⋅⋅⋅ (T ms + 1)
⎧∞ ⎪1 ⎪ ess = ⎨ ⎪K ⎪ ⎩0
λ λλ = 1 λ λ≥2
λ =0
s (T s + 1)(T
s + 1) ⋅⋅⋅ (T ps + 1)
Ks lim G ( s ) H ( s ) = λ s →0 s


③静态加速度误差系数Ka
ess = limsE(s) = lims 1 1 ⋅ 3 s→0 s→0 1+ G(s)H(s) s 1 1 = lim 2 = s→0 s G(s)H(s) Ka
R( s) =
1 s3
输入为单位加速度(r(t)=0.5t2)时的稳态误差—加速度误差。

Ka = lim s2G(s)H(s) 称为静态加速度误差系数。

s→0
从何而来？
Ks2 Ka = lim λ s→0 s
K lim G ( s ) H ( s ) = λ s →0 s
⎧0 ⎪ Ka = ⎨ K ⎪∞ ⎩
λ = 0,1 λ=2 λ ≥3
⎧∞ ⎪1 ⎪ ess = ⎨ ⎪K ⎪ ⎩0
λ = 0,1 λ=2 λ≥3


输入信号作用下的稳态误差
型 别
静态误差系数
阶跃输入
斜坡输入
加速度输入
2 at r (t ) =
r (t ) = a ⋅1(t )
r (t ) = at
2
λ
0
Kp
K
Kv
0 K ∞ ∞
Ka
0 0 K ∞
ess = a (1 + KP )
ess = a K V
∞
ess = a Ka
∞ ∞
a (1 + K )
0 0 0
Ⅰ ∞ Ⅱ ∞ Ⅲ ∞
aK
0 0
aK
0
同一系统在不同的输入下，其稳态误差不同。

针对同一种输 入，当系统的型次增加时，系统的准确性将得到提高；增加系 统的开环增益 K，往往也可以提高系统的稳态精度。

但系统型 λ 次和开环增益的增加，却使得系统的稳定性变差。

因此，通常 需要在系统的稳定性和准确性之间进行权衡，必要时，需要引 入校正环节进行校正。

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