高考数学总复习 课时跟踪检测24 正弦定理和余弦定理的

课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用
1．在同一平面内中，在A 处测得的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )
A.16
B.17
C.18
D.19
2．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A ．50 m
B ．100 m
C ．120 m
D ．150 m
3．(2012·天津高考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )
A.
725 B ．－725 C ．±725 D.2425
4．(2013·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中a 为最大边，如果sin 2
(B ＋C )<sin 2
B ＋sin 2
C ，则角A 的取值范围为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2
B.⎝ ⎛⎭⎪
⎫π4，π2
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫π6，π3
D.⎝
⎛⎭
⎪
⎫π3，π2
5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )
A ．10 2 海里
B ．10 3 海里
C ．20 2 海里
D ．20 3 海里
6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )
A ．11.4
B ．6.6
C ．6.5
D ．5.6
7.(2012·南通调研)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)
种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m 2
，则购买这种草皮需要________元．
8.(2012·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的
北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，
此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船
的航速是________n mile/h.
9．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面
上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
10.如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝
10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
11. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：
A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，
观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声
音的时间比B地晚2
17
秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角
为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米
/秒)
12.(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A，B两地之
间架设高压电线，测量人员在相距6 km的C，D两地测得∠ACD＝45°，
∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∠BC D＝30°(如图，其中A，B，C，D
在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际
所需电线长度大约应该是A，B之间距离的1.2倍，问施工单位至少应
该准备多长的电线？
1.某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35 m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91 m，从A观测电视发射塔CD 的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________米．
2.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，
在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.
3.(2012·泉州模拟)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船．
(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；
(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA ―→成θ角，求f (x )＝sin 2
θsin
x ＋
34
cos 2
θcos x (x ∈R )的值域． [答 题 栏]
A 级 1._________ 2._________ 3._________ 4._________
5._________
6._________
B 级 1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
课时跟踪检测(二十四)
A 级
1．选D ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3. ∴BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.
2．选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，
BC ＝3h ，
根据余弦定理得，(3h )2
＝h 2
＋1002
－2·h ·100·cos 60°，即h 2
＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.
3．选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2
B －1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫452－1＝725.
4．选D 由题意得s in 2
A <sin 2
B ＋sin 2
C ， 再由正弦定理得a 2
<b 2
＋c 2
，即b 2
＋c 2
－a 2
>0.
则cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
>0，
∵0<A <π，∴0<A <π
2.
又a 为最大边，∴A >π
3.
因此得角A 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪
⎫π3，π2.
5．选A 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°， ∴∠BCA ＝45°.
又AB ＝40×1
2
＝20(海里)，
∴由正弦定理可得20sin 45°＝BC
sin 30°.
∴BC ＝20×
12
22
＝102(海里)．
6．选B ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 000
3 m ，
∴BC ＝
AB
sin 45°·sin 30°＝50 000
32
m.
∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km.
∴山高为18－11.4＝6.6 km.
7．解析：三角形空地的面积S ＝1
2×123×25×sin 120°＝225，故共需225×120＝
27 000元．
答案：27 000
8．解析：设航速为v n mile/h ，
在△ABS 中AB ＝1
2v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，
由正弦定理得82
sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.
答案：32
9．解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，
ON ＝AO tan 30°＝
3
3
×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，
MN ＝ 900＋300－2×30×103×
32
＝300＝103(m)． 答案：10 3
10．解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，
由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 2
2AD ·DC
＝
100＋36－1962×10×6＝－1
2
，∴∠ADC ＝120°，
∴∠ADB ＝60°.
在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD
sin B ，
∴AB ＝
AD ·sin ∠ADB
sin B
＝10sin 60°
sin 45°＝10×
322
2
＝5 6. 11．解：由题意，设AC ＝x ，则BC ＝x －2
17×340＝x －40，
在△ABC 中，由余弦定理得
BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，
即(x －40)2
＝x 2
＋10 000－100x ，解得x ＝420. 在△ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°， 所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝140 3.
答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．
12．解：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，CD ＝6，∠ADC ＝75°， 所以∠CAD ＝60°.
因为CD sin ∠CAD ＝AD
sin ∠ACD
，
所以AD ＝CD ×sin ∠ACD
sin ∠CAD ＝6×
223
2
＝2 6.
在△BCD 中，∠BCD ＝30°，CD ＝6，∠BDC ＝15°， 所以∠CBD ＝135°.
因为CD sin ∠CBD ＝BD
sin ∠BCD ，
所以BD ＝CD ×sin ∠BCD
sin ∠CBD ＝6×122
2
＝3 2.
又因为在△ABD 中，∠BDA ＝∠BDC ＋∠ADC ＝90°， 所以△ABD 是直角三角形． 所以AB ＝AD 2
＋BD 2
＝
26
2
＋32
2
＝42.
所以电线长度至少为l ＝1.2×AB ＝642
5(单位：km)
答：施工单位至少应该准备长度为642
5
km 的电线．
B 级
1．解析：AB ＝912
－352
＝84，
tan ∠CAB ＝BC AB ＝3584＝512.由CD ＋35
84＝tan(45°＋∠CAB )＝1＋
5121－512＝177
得CD ＝169.
答案：169
2．解析：∵由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°， ∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°， ∴
x
sin 45°＝10sin 60°.∴x ＝1063
m.
答案：1063
m
3．解：(1)连接BC ，由余弦定理得
BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
∴BC ＝107，即所求距离为107海里． (2)∵sin θ20＝sin 120°107
，
∴sin θ＝
37
. ∵θ是锐角，∴cos θ＝
47
. f (x )＝sin 2θsin x ＋
34cos 2
θcos x ＝37sin x ＋37
cos x ＝
237sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6，
∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－237
，237.。