2014-2015-高三上月考-南模中学(2014.10)

南模中学2015届高三初态考数学试卷
一．填空题1.设1
1z i i
=
++，则||z = ；
2.已知{|2}A x x =≥，{|}B x x a =≥，若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分条件，则实数a 的取值范围是 ；
3.设0,1a a >≠，行列式13
2
012
43
x
a D =-中第3行第2列的代数余子式记作y ，函数()y f x =的反函数图像经过点(2,1)，则a =
；
4.
已知||a = ，||3b = ，(2)3a b b +⋅= ，则向量a 与b
的夹角为
；
5.
在二项式7(1)ax +()a ∈R 的展开式中，3x 的系数为
21，则
363lim()n n a a a →∞
+++=… ；
6.如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-内有一个内切球O ，则过棱1AA 和BC 的中点P 、Q 的直线与球面交点为M 、N ，则M 、N 两点间的球面距离为
；
7.将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33，第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是 ；
8.右图是计算
111112233420142015
++++⨯⨯⨯⨯…的程序框图，为了得到正确的结果，在判断框中应该填入的条件是
；
9.已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数,x y 满足
0PA xPB yPC ++=
，设△ABC 、△PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S 、
3S ，记
11S S λ=、22S S λ=、33S
S
λ=，则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为；
10.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2
()96a f x x x
=++，
若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为
；
11.设函数[],0
()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩
，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.1]2-=-，
[]3π=等，若直线y kx k =+(0)k >与函数()y f x =的图像恰有三个不同的交点，则实
数k 的取值范围是 ；
12.曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2
k (0)k >的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C 过点(1,1)-；②曲线C 关于点(1,1)-对称；③若点P 在曲线C 上，点,A B 分别在直线12,l l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④设0P 为曲线C 上任意一点，点0P 关于直线1x =-、点(1,1)-及直线1y =对称的点分别为123,,P P P ，则四边
形0123
P PP P 的面积为定值2
4k ；其中，所有正确结论的序号是 ；
13.如图，已知圆22
:(3)(3)4M x y -+-=，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，,E F
分别为边,AB AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅
的取值范围
是
；
14.设数列{}n a *
()n ∈N 是首项为0的递增数列，函数1
()sin
()n n f x x a n
=-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通
项公式n a =
；
二．选择题
15.下列函数既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（）
A.()sin f x x =；
B.()|1|f x x =-+；
C.2()lg
2x
f x x
-=+； D.1()(22)2
x
x f x -=
+； 16.从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（
）
A. 42
84
6
12
C C C ； B. 33
846
12C C C ； C. 612
612C P ；
D. 42
846
12
P P P ；17.动曲线1C 的初始位置所对应的方程为22
221x y a b -=(0)x <，一个焦点为1(,0)F c -，曲
线22222:1x y C a b
-=(0)x >的一个交点为2(,0)F c ，其中0a >，0b >
，c =将1C 沿x 轴向右平行移动，给出以下三个命题：①2C 的两条渐近线与1C 的交点个数可能有3个；②当2C 的两条渐近线与1C 的交点及2C 的顶点在同一直线上时，曲线1C
平移了
1)a +个单位长度；③当1F 与2F 重合时，若1C 、2C 的公共弦长恰为8a ，则1C 的离心
率
c
a
为3；其中正确的是（）
A.①②③；
B.②③；
C.③；
D.②；
18.在数列{}n a 中，如果对任意的*
n ∈N ，都有
21
1n n n n
a a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{}n F 满足11F =，21F =，
12n n n F F F --=+(3)n ≥，则该数列不是比等差数列；②若数列{}n a 满足132n n a -=⋅，则数
列{}n a 是比等差数列，且比公差0λ=；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列；其中所有真命题的个数为（）A.1；
B.2；
C.3；
D.4；
三．解答题
19.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2
，1A D =；（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD
所成角的大小；
20.在一个六角形体育馆的一角MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域，如图所示，已知120A ∠=︒，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点；（1）若20BC a ==，求储存区域面积的最大值；
（2）若10AB AC ==，在折线MBCN 内选一点D ，使20BD DC +=，求四边形储存区域DBAC
的最大面积；
21.
已知0a >且1a ≠，函数()log (1)a f x x =+，1
()log 1a
g x x
=-，记()2()()F x f x g x =+；
（1）求函数()F x 的定义域D 及其零点；
（2）若关于x 的方程()0F x m -=在区间[0,1)内有解，求实数m 的取值范围；
22.已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>倍，且椭圆过点(1,1)，
过原点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，椭圆上一点M 满足MA MB =； （1）求椭圆C 的方程；（2）求
222
112OA OB OM
++的值；（3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出圆的方程，若不存在，说明理由；
23.定义：对于任意的*n ∈N ，满足条件2
12
n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列；
（1）若29n a n n =-+*
()n ∈N ，判断：数列{}n a 是否为T 数列；
（2）设数列{}n b 的通项3
50()2
n n b n =-*()n ∈N ，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；
（3）设数列{}n c 满足1n p
c n
=
-*(,1)n p ∈>N ，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由；。