山西省长治市第二中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理

山西省长治市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题
理
【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．命题“若2x >，则1x > ”的逆否命题是( ) A ．若2x <，则1x < B ．若2x ≤，则1x ≤ C ．若1x ≤，则2x ≤
D ．若1x <，则2x <
2．抛物线2
8x y =的准线方程是( ) A ．2x =
B ．2y =
C ．2x =-
D ．2y =-
3．已知空间向量()0,1,1a =，()1,0,1b =-，则a 与b 的夹角为( ) A ．
3
π
B ．
4
π C ．
6
π D ．
2
π 4．曲线(
)2512x t
t y t
=-+⎧⎨
=-⎩为参数与坐标轴的交点分别是（ ） A ．210,,,052⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
B ．110,,,052⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()()0,4,8,0-
D ．()50,,8,09⎛⎫ ⎪⎝
⎭
5．焦点在x 轴上，且渐近线方程为2y x =±的双曲线的方程是 ( )
A ．22
14x y -= B ．2214x y -= C ．22
14y x -= D ．2214
y x -= 6．已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7． 已知命题()
22:,log 231p x R x x ∀∈++>，命题00:,sin 1q x R x ∃∈>，则下列命题中为真命题的是( ) A.p q ⌝∧⌝
B.p q ∧⌝
C.p q ⌝∧
D.p q ∧
8．已知命题:1p a x a ≤≤+，命题2
:40q x x -<，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ( ) A ．(]
,0[3)-∞+∞，
B ．[]0,3
C ．()
(),03-∞+∞， D ．()0,3
9．已知倾斜角为60的直线l 通过抛物线2
4y x =的焦点，且与抛物线交于,A B 两点，则弦
AB =( )
A ．8
B ．
16
3
C ．16
D ．
83
10．已知直线1y x =-+与椭圆()22
22:10x y a b a b
+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中
点在直线20x y -=上，则此椭圆的离心率为( )
A
B ．12
C ．
2
D ．2
11．已知[]2
:1,2,0
p x x a ∀∈-≥， :,q x R ∃∈使得2220x ax a ++-=，那么命题“p q ∧”为真命题的充要条件是( )
A ．2a ≤-或1a =
B ．2a ≤-或12a ≤≤
C ．1a ≥
D ．21a -≤≤
12．已知抛物线()2
:80C y ax a =>的焦点F 与双曲线()22:
102x y D a a a
-=>+的焦点重合，过点F 的直线与抛物线C 交于点,A B ，则2AF BF +的最小值为 ( )
A ．3+
B ．6+
C ．7
D ．10
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若命题[]0:1,1p x ∃∈-，2
00210x x +-≥，则命题p 的否定为______________.
14．过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作直线l 与该抛物线交于两点，过其中一交点A 向准
线作垂线，垂足为B ，若ABF ∆是面积为p =____________.
15．已知双曲线22
196
x y -=的左右焦点分别为12,F F ,过2F 的直线l 交双曲线的右支于,A B 两点，则11AF BF +的最小值为______________.
16．椭圆()22
22:10x y a b a b
+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆
上一点，4
OP a =，且1122,,PF F F PF 成等比数列，则椭圆的离心率为 __________ .
三、解答题：本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(10分) 已知命题:,0p x R x x ∀∈+≥；:q 关于x 的方程210x mx ++=有实数根．
（1）写出命题p 的否定，并判断命题p 的否定的真假； （2）若命题“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围．
18．(12分)
已知圆C 的圆心为(1，1)，直线04=-+y x 与圆C 相切。

（1）求圆C 的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C 所截得的弦长为2，求直线的方程。

19．(12分) 已知命题p ：方程
11
92
2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：方程122
2=+-k
y k x 表示双曲线。

（1）若p 是真命题，求实数k 的取值范围； （2）若“p 或q ”是真命题，求实数k 的取值范围。

20. (12分)在直角坐标系xOy 中，曲线()11cos :sin x C y θ
θθ=+⎧⎨
=⎩
为参数，以坐标原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈ 曲线2C 的
极坐标方程为2
2
2
2sin 3ρρθ+=，l 与1C 交于点,M N .
（1）写出曲线1C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程，并求MN ；
（2）设P 为曲线2C 上的动点，求PMN ∆面积的最大值.
21．(12分) 已知动圆C 过点()1,0F ，且与直线1x =-相切．
（1）求动圆圆心C 的轨迹方程E ；
（2）已知点()4,4P -，()8,4Q ，过点Q 的直线l 交曲线E 于点,A B ，设直线,PA PB 的
斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值，并求出此定值．
22．(12分)已知N 为圆1C :()2
2224x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ,
点,M P 分别是线段1C N ,2C N 上的点，且20MP C N = , 222C N C P =。

（1）求点M 的轨迹方程；
（2）直线:l y kx m =+与点M 的轨迹Γ只有一个公共点P ，且点P 在第二象限，过坐
标原点O 且与l 垂直的直线'l 与圆2
2
8x y +=相交于,A B 两点，求PAB ∆面积的取值范围。

数学试题答案（理科）
1—5 CDABC 6—10 DADBC 11—12 AB 13. []2
1,1,210x x x ∀∈-+-< 14. 2
15. 16 16.
17.解：（1）命题p 的否定：存在x 0∈R ，|x 0|+x 0＜0．是一个假命题．…………………5分 （2）命题p ：∀x ∈R ，|x|+x≥0是真命题；命题“p∧q”为假命题，∴q 为假命题． 因此关于x 的方程x 2
+mx+1=0没有实数根．∴△=m 2
﹣4＜0，解得﹣2＜m ＜2． ∴实数m 的取值范围是（﹣2，2）．…………………5分
18．解：（1）由题知：116
922=-y x ，4,3==b a 长轴长为6，
渐近线方程是x y 3
4
±= …………………6分
（2）
621=-PF PF 且3221=⋅PF PF 则
0242)(24cos 2
12
212212
12
2
2
2
1
21=⋅-⋅+-=
⋅-+=∠PF PF c PF PF PF PF PF PF c PF PF PF F
故
9021=∠PF F …………………6分
19．解：（1）命题p ：“方程22
191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”，则9110k k k ->-⎧⎨->⎩
，解得15k <<.…………………5分
（2）命题q :“方程
2212x y k k
+=-表示双曲线”，则(2)0k k -<，解得2k >或0k <. 若“p 或q ”是真命题，则p ,q 至少一个是真命题，即一真一假或全为真.……………7分 则1502k k <<⎧⎨≤≤⎩或1502k k k k ≤≥⎧⎨<>⎩或或或15
20
k k k <<⎧⎨><⎩或，…………………10分
所以12k <≤或0k <或5k ≥或25k <<. 所以0k <或1k >.…………………12分
20. 解：（1）由题意知：()()2
2
1:431C x y ++-=
222:1649
x y C += ；
其中1C 为圆心是()4,3-，半径是1的圆；…………………3分
2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

………6分
（2）当2
π
ϕ=
时，()4,4P -，设()8cos ,3sin
Q θθ ，故3
24cos ,2sin 2
M θ
θ⎛⎫
-++ ⎪⎝
⎭
，又
3:270C x y --=，所以M 到3C 的距离c o s 3s i n 13d θθ=
-- 从而当
43
cos ,sin 55
θθ=
=-时，d .…………………12分
21. 解：（1）设圆心(),C x y ，
圆C 过点()1,0F ，且与直线1x =-相切，
1x =+，化简得：24y x =，所以动圆圆心的轨迹方程为
24y x =.………………4分
（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()84x m y -=-，
由()
2
484y x x m y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩ 得2416320y my m -+-= ， 则()()
22164163216480m m m m ∆=--=-+>
设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,1632y y m y y m +==- …………………7分
因为()4,4P -，()()12121222121212444416
444444
44
y y y y k k x x y y y y ++++=
⋅=⋅=
------ ()12121616
141616321616
y y y y m m =
==--++--+，…………………11分
所以12k k 为定值，且定值为1-.………………12分
22. 解： （1）连接2MC ,因为222C N C P =，所以P 为2C N 的中点，因为20MP C N =，所以2MP C N ⊥，所以点M 在2C N 的垂直平分线上，所以2MN MC =,因
为
1214M N M C M C M C +=
+>,所以点M 在以12,C C
为焦点的椭圆上，因为2a c ==，所以2
2b =，所以点M 的轨迹方程为：22162
x y +=.…………………4分
（2）由22
16
2y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得()222316360k x kmx m +++-= …………………5分
因为直线:l y kx m =+与椭圆Γ相切于点P ，所以()()()
2
2
2
643136km k m ∆=-+-
()2212620k m =+-=，即2262m k =+，解得22
3,3131
km m
x y k k -=
=++， 即点P 的坐标为22
3,3131km
m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，…………………7分
因为点P 在第二象限，所以0,0k m >>
，所以m = 所以点P
的坐标为⎛⎫
，设直线'l 与l 垂直交于点Q ， 则PQ 是点P 到直线'l 的距离，且直线'l 的方程为1
y x k
=-， 所以
PQ===
≤==…………………10分
当且仅当2
2
1
3k
k
=，
即2
3
k=时，PQ有最大
值，所
以
1
4
2
PAB
S PQ
∆
=⨯≤,即PAB
∆面积的取值范围
为
(0,4⎤
⎦.…………………12分。