上海市行知中学2018-2019学年上学期高二期中数学试卷附答案解析

上海市行知中学2018-2019学年上学期第一次月考
高二数学试卷
一、单选题
1．用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+(n +3)=(n+3)(n+4)
2
(n ∈N ∗)时，第一步验证n =1时，
左边应取的项是( ) A ．1 B ．1+2 C ．1+2+3 D ．1+2+3+4
2．有命题：
（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；
（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；
（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（ ）． A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（1）（2）（3）
3．当向量(2,2)a c ==-v v
，(1,0)b =r 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
4．已知数列{}n a 中，12a =， 点列(1,2,)n P n =L 在ABC △内部，且n P AB △与n P AC △的面积比为2:1，
若对n *
∈N 都存在数列{}n b 满足11(32)02
n n n n n n b P A a P B a P C ++++=u u u r u u u r u u u r r
，则4a 的值为（ ）．
A ．54
B ．68
C ．76
D ．80
二、填空题
5．已知向量(4,1),(1,5)OA OB ==u u u r u u u r ，则与向量AB u u u r
同向的单位向量是________．
6．若三点(2,2),(,0),(0,4)A B a C ，若存在实数λ，使得AB BC λ=u u u r u u u r
，则实数a =________．
7．已知向量()()2,1,1,1m n =-=r r .若()()2m n am n -⊥+r r r r
,则实数a =_______. 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1
2lim (32)n
n n nS n S →+∞+=+
9．已知数列{}n a 满足10a =
，1)n a n *+=
∈N ，则10a 的值为________．
10．求值：1123(12)2114⎡--⎤
⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣
⎦________． 11．已知||||2a b ==r r
，a r 与b r
的夹角为
3
π
，则a b +r r 在a r 上的投影为________． 12．各项都为正数的无穷等比数列{}n a ，满足24,a m a t ==，且x m y t
=⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫
⎪⎝⎭的
线性方程组11121
12
222a x a y c a x a y c +=⎧⎨
+=⎩的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是________．
13．函数2sin(2)y x =的图像按a r 平移后得到的图像解析式是2sin(2)13y x π
=++，则当||a r 取得最小
时，a =r
________．
14．已知数列{}n a 的通项公式是23()n a n n *
=+∈N ，数列{}n b 满足1()n n b b a n *
+=∈N 且11b a =，则数
列{}n b 的通项公式为________．
15．如图，在同一个平面内，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 的模分别为1
，OA u u u r 与OC u u u
r 的夹角为α，且
tan 7α=，OA u u u r 与OB uuu r
的夹角为135°
.若(),OC mOA nOB m n =+∈R uu u r uu r uu u r ，则m n +=__________．
16．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=≥若对任意
1
,n n n N a a *+∈<恒成立，则a 的取值范围是_________.
三、解答题
17．已知(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)A B C D --． （1）求23AD BD BC +-u u u r u u u r u u u r
；
（2）若非零向量AM u u u u r
满足：AM BC ⊥u u u u r u u u r
且||AM =u u u u r ，求点M 的坐标．
18．用矩阵行列式的知识解关于x ，y 的方程组()1
2mx y m m R x my m +=+⎧∈⎨+=⎩
.
19．如图，ABCD Y 中，23
4,3,,,,34
AB AD AB a AD b BM BC AN AB ======u u u r r u u u r r ．
（1）试用,a b r r
来表示,DN AM u u u r u u u u r ；
（2）若60DAB ∠=︒，求AD DN DN NA ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
的值；
（3）若0AD DB ⋅=u u u r u u u r ，求DN AB ⋅u u u r u u u r
．
20．已知数列{}n a 和{}n b 满足：111a b ==，且124,2,4a a a 成等比数列，2344,2,b b b 成等差数列．
（1）行列式2
11112132
34234()1
1
1
n n n a a a M M M n *++-=-++∈N ，且1113M M =，求证：数列{}n a 是等差
数列；
（2）在（1）的条件下，若{}n a 不是常数列，{}n b 是等比数列， ①求{}n a 和{}n b 的通项公式；
②设,m n 是正整数，若存在正整数,,()i j k i j k <<，使得,,m j m n i n k a b a a b a b ⋅⋅⋅⋅成等差数列，求m n +的最小值．
21．设函数()(
)2
32
32k
k
f x x k x k =-++⋅，x ∈R .
（1）若()10f ≤，求实数k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]
212,k k a a -，求1234a a a a +++及数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （3）对于（2）中的数列{}n a ，设()
2121n
n n n
b a a --=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.
解析
上海市行知中学2018-2019学年上学期第一次月考
高二数学试卷
一、单选题
1．用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+(n +3)=(n+3)(n+4)
2
(n ∈N ∗)时，第一步验证n =1时，
左边应取的项是( ) A ．1 B ．1+2
C ．1+2+3
D ．1+2+3+4
【答案】D
【解析】由数学归纳法的证明步骤可知：当n =1时，等式的左边是1+2+3+1+3=1+2+3+4，应选答案D 。

2．有命题：
（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；
（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；
（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（ ）． A ．（1）（2） B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（1）（2）（3）
【答案】C
【解析】根据代数余子式的意义,进行判断即可得出结论.
【详解】
(1)三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数或相等,故(1)不正确;
(2)根据代数余子式的意义,可知三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和,故(2)正确;
(3)根据代数余子式与该行的该行的元素值无关,可得如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零,故(3)正确. 故选:C. 【点睛】
本题考查了代数余子式的意义,属于基础题.
3．当向量(2,2)a c ==-v v
，(1,0)b =r 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】i 0=时， 22
(2)28a c ⋅=-+=v v ，i 1=时，(2)(1)226a c ⋅=-⨯-+⨯=v v
，
i 2=时，(2)0224a c ⋅=-⨯+⨯=v v ，i 3=时，(2)1222a c ⋅=-⨯+⨯=v v
，
i 4=时，(2)2220a c ⋅=-⨯+⨯=v v
，此时0a c ⋅=r r ，所以输出i 4=．故选B ．
点睛:本题考查的是算法与流程图,对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.要先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
4．已知数列{}n a 中，12a =， 点列(1,2,)n P n =L 在ABC △内部，且n P AB △与n P AC △的面积比为2:1，
若对n *
∈N 都存在数列{}n b 满足11(32)02
n n n n n n b P A a P B a P C ++++=u u u r u u u r u u u r r
，则4a 的值为（ ）．
A ．54
B ．68
C ．76
D ．80
【答案】D
【解析】延长n AP 交BC 于D ,根据面积比为2:1,推出2BD DC =,用BA u u u r ,BD u u u r
表示n BP u u u r
,根据,,n A P D 三点共线,得出{}n a 的递推公式,从而可求得4a . 【详解】 如图所示:
延长n AP 交BC 于D ,因为n P AB △与n P AC △的面积比为2:1,所以点B ,C 到n AP 的距离之比为2:1,所以点,B C 到n P D 的距离之比为2:1, 所以n P D △B 与n P D △C 的面积比为2:1, 所以:2:1BD DC =,即2BD DC = ,
因为11(32)02n n n n n n b P A a P B a P C ++++=u u u r u u u r u u u r r
,
所以11
(32)2n n n n n n a BP b AP a CP +-=++u u u r u u u r u u u r
()n n b BP BA =-u u u r u u u r (32)()n n a BP BC ++-u u u r u u u r
所以11
(32)(32)2n n n n n n a b a BP b BA a BC +----=--+u u u r u u u r u u u r 3(32)2
n n
b BA a BD =--+u u u r u u u r , 113
(32)2
1
1
32322
2n n
n n n n n n n a b BP BA BD a b a a b a ++---=
+
--------u u u r u u u r u u u r ,
因为,,n A P D 三点共线,所以
113
(32)2
11
1
32322
2
n n
n n n n n n a b a b a a b a ++---+
=--------
所以113
32(32)22
n n n n n a b a b a +-
---=--+
,
即132n n a a +=+,
所以21323228a a =+=⨯+=,
323238226a a =+=⨯+=, 4332326280a a =+=⨯+=.
故选:D. 【点睛】
本题考查了向量的线性运算,,三点共线的结论,数列的递推公式,属于中档题.
二、填空题
5．已知向量(4,1),(1,5)OA OB ==u u u r u u u r
，则与向量AB u u u r
同向的单位向量是________． 【答案】34(,)55
-
【解析】先求出AB u u u r ，再求出||AB uu u r ，然后代入||
AB
AB u u u r
u u u r 即可求出答案。

【详解】
因为AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r
(1,5)(4,1)(3,4)=-=-
,||5AB ==u u u u r ,
所以与向量AB u u u r 同向的单位向量是：(3,4)34
(,)555||
AB AB -==-u u u r
u u u
r 。

故答案为：34
(,)55
- 【点睛】
本题考查了单位向量的概念，向量的模，向量的线性运算，属于基础题。

6．若三点(2,2),(,0),(0,4)A B a C ，若存在实数λ，使得AB BC λ=u u u r u u u r
，则实数a =________． 【答案】4
【解析】先求出向量AB u u u r ,BC uuu
r ，再根据向量共线的坐标表示，计算可得答案。

【详解】
因为(2,2),(,0),(0,4)A B a C ，所以(2,02)(2,2)AB a a =--=--u u u r ，(,4)BC a =-u u u r
，
因为存在实数λ，使得AB BC λ=u u u r u u u r ，所以AB u u u r ,BC uuu
r 共线，
所以4(2)(2)()0a a ---⋅-=，解得4a =。

故答案为：4
本题考查了向量共线的坐标表示，属于基础题。

7．已知向量()()2,1,1,1m n =-=r r .若()()2m n am n -⊥+r r r r
,则实数a =_______. 【答案】
57
【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得2m n -r r 与am n +r r
的坐标，进而由向量垂直与向量数量积
的关系，分析可得()()2421110m n am n a a -⋅+=-⨯-++-⨯+=r r r r
（）（）（），解可得a 的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，向量()()2,1,1,1m n =-=r r ，则()()24,1,21
1m n am n a a -=--+=-++r r r v
，， 又()()2m n am n -⊥+r r r r ，则()()2421110m n am n a a -⋅+=-⨯
-++-⨯+=r r r r
（）（）（）解得：5
7
a ＝， 故答案为57
． 【点睛】
本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式． 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1
2lim (32)n
n n nS n S →+∞+=+
【答案】2
【解析】【详解】试题分析：11(1)()222n n n d d S na d n n a -=+
=+-，1
2lim (32)n n n nS n S →+∞+=+112()
22lim (32)(1)()
2
n d d
n n n a d
n n n a →+∞⋅+-+++
1122()
2lim 2321(1)(1)()
2n d
a d n a
d n n n
→+∞-
+==+++．
【考点】等差数列的前n 项和，数列的极限． 9．已知数列{}n a 满足10a =
，1)n a n *+=∈N ，则10a 的值为________．
【答案】0
【解析】先根据1n a +求出2n a
+=
，再将n 换成1n +可以推出周期为3，根据周期可得答案。

因为1)n a n *+=
∈N
，所以2
n a +==
=
=
，
所以3
n a +==
=44n n a a -==-，
所以数列{}n a 的周期为3， 所以1033110a a a ⨯+===. 故答案为:0 【点睛】
本题考查了数列的周期性，属于中档题。

10．求值：1123(12)2114⎡--⎤
⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⎢
⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣⎦
________． 【答案】3612⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】根据行列式的运算法则以及矩阵的加法和乘法法则计算可得答案。

【详解】 因为
1111(1)232
1
-=⨯--⨯=，
所以23633314341--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以3(1,2)1⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=313236111212⨯⨯⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：3612⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了二阶行列式的计算和矩阵的加法和乘法法则，属于基础题
11．已知||||2a b ==r r
，a r 与b r
的夹角为3
π
，则a b +r r 在a r 上的投影为________． 【答案】3
【解析】根据投影的定义以及向量的数量积计算可得答案. 【详解】
根据投影的定义可得a b +r r 在a r 上的投影为：()||
a b a a +⋅r r r r 21
422cos 44323||22
a b a a π+⨯+⨯
+⋅====r r r r . 故答案为:3 【点睛】
本题考查了向量的数量积以及向量在向量上的投影的定义,属于基础题. 12．各项都为正数的无穷等比数列{}n a ，满足24,a m a t ==，且x m y t =⎧⎨
=⎩
是增广矩阵为3122012-⎛⎫
⎪⎝⎭的线性方程组11121
12
222a x a y c a x a y c +=⎧⎨+=⎩的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是________．
【答案】32
【解析】先根据增广矩阵得线性方程组,解线性方程组可得,m t 的值,从而可得24,a a 的值,再求出首项和公比,利用无穷等比数列{}n a 各项和的公式计算可得答案. 【详解】 因为增广矩阵为3122012-⎛⎫
⎪
⎝⎭的线性方程组为:3222
x y y -=⎧⎨=⎩,解得8,2x y ==, 依题意可知,8,2m t ==, 所以248,2a m a t ====,
所以等比数列{}n a 的公比2
422184
a q a =
==, 又数列{}n a 的各项均为正数,所以12
q =,所以218
16
1
2a a q ===, 所以无穷等比数列{}n a 各项和为:116
32
1112
a q
==-- , 故答案为:32. 【点睛】
本题考查了增广矩阵的定义,等比数列的求和,属于基础题.
13．函数2sin(2)y x =的图像按a r 平移后得到的图像解析式是2sin(2)13y x π
=++，则当||a r 取得最小
时，a =r
________．
【答案】(,1)6
π
-
【解析】设(,)a h k =r ,根据图像变换可得1,()6
k h n n Z π
π==--∈,再根据模长公式可知0n =时,||a r
取
得最小值,由此可得答案. 【详解】
设(,)a h k =r ,则函数2sin(2)y x =的图像按a r
平移后得到的图像解析式是:2sin[2()]y k x h -=-,即
2sin(22)y x h k =-+,
根据已知可知函数2sin(22)y x h k =-+的图象与函数2sin(2)13
y x π
=++的图象重合,
所以1,k = 22()3
h n n Z π
π--=∈,
所以()6
h n n Z π
π=--
∈,
所以||a =
=r
所以当0n =时,||a r 此时,(,1)66h a ππ=-=-r ,
故答案为: (,1)6
π
-.
【点睛】
本题考查了图像变换,向量的模长公式,属于中档题.
14．已知数列{}n a 的通项公式是23()n a n n *
=+∈N ，数列{}n b 满足1()n n b b a n *
+=∈N 且11b a =，则数
列{}n b 的通项公式为________．
【答案】2
23n n b +=-
【解析】根据已知可得123n n b n b a b +==+,然后两边同时加上3,变形为132(3)n n b b ++=+,再利用等比数列通项公式可得答案. 【详解】
因为23n a n =+,所以123n n b n b a b +==+, 所以132(3)n n b b ++=+,
又11335380b a +=+=+=≠,
所以数列{3}n b +是首项为8,公比为2的等比数列,
所以1
382n n b -+=⨯22n +=,
所以2
23n n b +=-.
故答案为: 2
23n n b +=-
【点睛】
本题考查了等比数列的定义以及通项公式,属于基础题.
15．如图，在同一个平面内，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 的模分别为1，OA u u u r 与OC u u u
r 的夹角为α，且
tan 7α=，OA u u u r 与OB uuu r
的夹角为135°
.若(),OC mOA nOB m n =+∈R uu u r uu r uu u r ，则m n +=__________．
【答案】3
【解析】：如图所示，建立平面直角坐标系，10A （，），
OA u u u v 与OC u u u v
的夹角为α，且tan 7α=，得到
17
55cos sin C αα==（，）， 可得：()()3
4341351355555
cos sin B αα︒-=-︒-=
-，，（，）， 利用(),R OC mOA nOB m n u u u v u u u v u u u v
=+∈，即可得到结果．
【详解】
：如图所示，建立平面直角坐标系．A （1，0）．
10A （，），
OA u u u v 与OC u u u v
的夹角为α，且tan 7α=，得到
cos sin C αα==可得：()()3434
1351355555
cos sin B αα︒-=-︒-=-，，（，），
利用(
)()34
,R 1,055OC mOA nOB m n m n =+∈⇒
=+-u u u v u u u v u u u v （，） ， 解得：54
,74m n ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
故3m n +=.
即答案为3． 【点睛】
：本题考查了向量坐标运算性质、三角函数和差角公式，考查了推理能力与计算能力．
16．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足
()2
1
32n n S S n n -+=≥若对任意1
,n n n N a a *+∈<恒成立，则a 的取值范围是_________.
【答案】915,44⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】试题分析：根据2
13n n S S n -+=有211212,,122S S a a a a +===-，()2
131n n S S n ++=+，可
得163n n a a n ++=+，变形为()13113n n a n a n
+-+=--，2
16622133a a
a a --==-≠---，则{}3n a n -不是等比数列，当3n ≥时{}3n a n -是等比数列，则2662a a -=-，公比为1-，所以()()2
3621n n a n a --=-⋅-，
所以()()
2
3621n n a n a -=+-⋅-，当2n ≥时，()()
1
1326210n n n a a a -+-=+-⋅->，当2n k =时，有
()932620,4a a -->>，当21n k =+时，有()15
32620,4
a a +-><.由12,1224a a a a a <<-⇒<.
综上915,44a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
【考点】已知n S 求n a ，数列不等式与恒成立问题.
【思路点晴】本题主要考查已知n S 求n a ，数列不等式与恒成立问题.考查参数的取值范围的求解.根据条件求出与n a 有关的关系式是解决本题的关键.首先利用数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系是
1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，利用配凑法将作差后得到163n n a a n ++=+配凑成等比数列，然后利用差比较法，
结合1n n a a +<求a 的取值范围.
三、解答题
17．已知(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)A B C D --．
（1）求23AD BD BC +-u u u r u u u r u u u r
；
（2）若非零向量AM u u u u r
满足：AM BC ⊥u u u u r u u u r
且||AM =u u u u r ，求点M 的坐标．
【答案】（1）(14,6)-；（2）(3,4)-或(1,0)- 【解析】(1)根据向量的线性运算的坐标表示可得到答案; (2)根据向量垂直的坐标表示以及向量的模长公式计算可得到答案. 【详解】
(1)因为(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)A B C D --,
所以(3,5)AD =-u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,(1,1)BC =u u u r
,
所以23AD BD BC +-u u u r u u u r u u u r
(3,5)2(4,2)3(1,1)(14,6)=-+--=-.
(2)设(,)M x y ,则(1,2)AM x y =-+u u u u r
,
因为AM BC ⊥u u u u r u u u r
,所以120AM BC x y ⋅=-++=u u u u r u u u r ,即10x y ++=①,
又||AM =u u u u
r
=所以22
(1)(2)8x y -++=②, 联立①②解得3,4x y ==-或1,0x y =-=, 所以点M 的坐标为(3,4)-或(1,0)-. 【点睛】
本题考查了向量的线性运算以及模长公式,属于基础题.
18．用矩阵行列式的知识解关于x ，y 的方程组()1
2mx y m m R x my m +=+⎧∈⎨+=⎩
.
【答案】当1m ≠±时，方程组有唯一解1
211m x m m y m ⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
；当1m =-时，方程组无解；当1m =时，方程组有
无穷多组解； 【解析】计算11
m D m
=，讨论0D ≠时方程组有唯一的解，0D =时方程组无解或有无数个解．
【详解】
关于x ，y 的方程组1
2mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，
2111
m D m m
∴=
=-，
①当210D m =-≠，即1m ≠且1m ≠-时，
11121m m x m m D m +=
=+，1121121
m m m y m D m ++==+；
方程组有唯一的解1
211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
；
②当210D m =-=，即1m =-或1m =时， 若1m =-，则原方程组无解； 若1m =，则原方程组有无数个解． 【点睛】
本题考查二元一次方程组的行列式矩阵形式的解法及应用，考查基本运算求解能力．
19．如图，ABCD Y 中，23
4,3,,,,34
AB AD AB a AD b BM BC AN AB ======u u u r r u u u r r ．
（1）试用,a b r r
来表示,DN AM u u u r u u u u r ；
（2）若60DAB ∠=︒，求AD DN DN NA ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
的值；
（3）若0AD DB ⋅=u u u r u u u r ，求DN AB ⋅u u u r u u u r
．
【答案】（1）34DN a b =-u u u r r r ，23
AM a b =+u u u u r r r
；（2）9-；（3）3
【解析】(1)根据向量的线性运算可得答案; (2)根据向量数量积的定义进行运算可得答案;
(3)根据向量的线性运算以及数量积的定义进行运算可得 【详解】
(1)34DN AN AD AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 34
a b -r
r
,
2233
AM AB BM AB AD a b =+=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r r .
(2) 因为AD DN DN NA ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 333()()()444
b a b a b a =⋅-+-⋅-r r r r r r
22
39216
a b b a =⋅--r r r r 2239
43cos6034216
=⨯⨯--⨯o 9999=--=-.
(3)因为0AD DB ⋅=u u u r u u u r ,所以()0AD AB AD ⋅-=u u u r u u u r u u u r ,所以2239AD AB AD ⋅===u u u r u u u r u u u r ,即9a b ⋅=r r , 所以DN AB ⋅u u u r u u u r 3()4a b a =-⋅r r r 22
3349344
a b a =-⋅=⨯-=r r r .
【点睛】
本题考查了向量的线性运算以及向量的数量积的定义,属于基础题.
20．已知数列{}n a 和{}n b 满足：111a b ==，且124,2,4a a a 成等比数列，2344,2,b b b 成等差数列．
（1）行列式2
11112132
34
234()1
1
1
n n n a a a M M M n *++-=-++∈N ，且1113M M =，求证：数列{}n a 是等差数列；
（2）在（1）的条件下，若{}n a 不是常数列，{}n b 是等比数列， ①求{}n a 和{}n b 的通项公式；
②设,m n 是正整数，若存在正整数,,()i j k i j k <<，使得,,m j m n i n k a b a a b a b ⋅⋅⋅⋅成等差数列，求m n +的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）①n a n =，12n n
b -=；②6
【解析】(1)根据行列式的代数余子式可得212n n n a a a +++=,再根据等差中项可证;
(2)①设等差数列的公差为()d d ≠0,等比数列的公比为q ,运用等差数列和等比数列的性质和通项公式,解方
程组即可得到所求通项;
②由等差数列的中项性质和分类讨论,即可得到最小值. 【详解】
证明:因为2
11112132
34234()1
1
1
n n n a a a M M M n *++-=-++∈N ,
所以11111
1
n n n n a a M a a ++=
=-,2113211
1
n n n n a a M a a ++++=
=-,
因为1113M M =,所以121n n n n a a a a +++-=-,即212n n n a a a +++=, 所以数列{}n a 是等差数列.
①由(1)知数列{}n a 是等差数列,设公差为d (0d ≠),设等比数列{}n b 的公比为q , 因为124,2,4a a a 成等比数列，2344,2,b b b 成等差数列,
所以2
21444a a a =⋅且32444b b b =+,
所以2111()(3)a d a a d +=+,且23
11144b q b q b q =+,
结合0d ≠化简可得13d a =且2
440q q -+=,
解得1,2d q ==,
所以1(1)n a n d n =+-=,1
12n n b b q -==,
故n a n =,12n n
b -=.
②因为,,m j m n i n k a b a a b a b ⋅⋅⋅⋅成等差数列,
所以2m n i m j n k a a b a b a b =+,即1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅, 由于i j k <<,且,,i j k 均为正整数,
所以1j i -≥,2k i -≥,所以222j i k i mn m n --=⋅+⋅24m n ≥+, 可得2mn m n ≥+,即
21
1m n
+≤, 当12m ≤≤时,
21m ≥,10n >,所以不等式21
1m n
+≤不成立, 当4,2m n ==或3m n ==时,1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅成立, 当4n ≥时,
12
0,1n m
><,即2m >时,则有6m n +>, 所以m n +的最小值为6,当且仅当1,2j i k i -=-=且4,2m n ==或3m n ==时,m n + 取得最小值6. 【点睛】
本题考查了行列式的代数余子式,用等差中项证明等差数列,等差数列,等比数列的性质和通项公式,分类讨
论思想,属于难题.
21．设函数()(
)2
32
32k
k
f x x k x k =-++⋅，x ∈R .
（1）若()10f ≤，求实数k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]
212,k k a a -，求1234a a a a +++及数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （3）对于（2）中的数列{}n a ，设()
2121n
n n n
b a a --=
，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.
【答案】(1)103k ≤≤
;(2)21
332222n n n ++-+;(3)18
-. 【解析】（1）不等式等价于()()
31210k
k --≤，据此分类讨论可得不等式的解集为1
03
k ≤≤
； （2）由题意可得125a a +=，3410a a +=，则123415a a a a +++=，同理分组求和可得
21233
2222
n n S n n +=
+-+； （3）由题意讨论可知 n T 的最大值必为{}n T 的偶数项，且当n 为偶数时（4n ≥）时，20n n T T --<，据此可知()21
8
n max T T ==-. 【详解】
（1）∵ ()10f ≤即(
)13232
0k
k
k k -++⋅<，
∴()(
)1312
0k
k --≤即()()
312
10k
k --≤，
310210k k -≤⎧⇒⎨-≥⎩或310210
k
k -≥⎧⎨-≤⎩∴ 103k ≤≤； （2）由()0f x ≤即()(
)32
0k
x k x --≤的解集为[]21
2,k k a
a -，
∴ 2122123232
k
k k k
k k a a k a a k --⎧+=+⎨⋅=⋅⎩， ∴ 1k =时，1123125a a +=⋅+=，2k =时，2
3432210a a +=⋅+=，
∴ 123451015a a a a +++=+=，
212342n n S a a a a a =+++++L ()()()1234212n n a a a a a a -=++++++L
()()()1231232232n n =⋅++⋅+++⋅+L ()()
12312222n n =+++++++L L
()()2121213332221222
n
n n n n n +-+=⋅+=+-+-；
（3）12n n T b b b L =+++，2n ≥时，()
11
132n
n n n n
T T b n --==-⋅，
n 为奇数时，10n n T T --<，即32T T <，54T T <，76T T <，…，1n n T T -<，…，
n 为偶数时，10n n T T -->，即21T T >，43T T >，65T T >，…，1n n T T ->…，
∴ n T 的最大值必为{}n T 的偶数项，故当n 为偶数时（4n ≥）时，
2
1n n n n T T b b ---=+ ()11131232n n n n -=-
+-⨯⨯ ()1
0312
n
n n n +=-<-⨯， ∴ n 为偶数时，{}n T 为递减数列，∴ ()22
111
323228
n max T T ==-+=-⋅⋅⋅. 【点睛】
本题主要考查数列的递推关系，数列求和的方法，数列中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和
计算求解能力.。