讲义正切函数的图像与性质

深业龙文教育一对一个性化辅导——讲义
学生姓名 科目 数学 教师姓名 王子安 日期 2014 年 月 日
【必修4】正切函数的图像与性质
★基本概念
1.用三角函数线在区间⎪⎭⎫
⎝
⎛-
2,2ππ内作出tan x 图象。

2.根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且
()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图像，称“正切曲线”。

从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2
x k k z π
π=+∈隔开的无穷多支曲线组成的，这些
直线叫作正切曲线各支的渐近线。

3.正切函数tan y x =的性质： （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
， （2）值域：R （3）周期性：π=T
（4）奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。

（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-
ππππ2,2内，函数单调递增。

【复习sin x 和cos x 的性质】 1.正弦函数sin y x =的性质： (1)定义域 。

(2)值域 。

当且仅当x =_________________时，max 1y =； 当且仅当x =_________________时， min 1y =-。

（3）周期性： 。

（4）单调性：增区间 。

减区间 。

（5）周期性：sin y x =是 函数，其图象关于 对称， （6）对称性：sin y x =的对称中心是 。

sin y x =对称轴方程是 。

2.余弦函数cos y x =的性质： (1)定义域 。

(2)值域 。

当且仅当x =_________________时，max 1y =； 当且仅当x =_________________时， min 1y =-。

（3）周期 。

（4）单调增区间 。

单调减区间 。

（5）周期性：cos y x =是 函数，其图象关于 对称，
（6）对称性：cos y x =的对称中心是 。

cos y x =对称轴方程是 。

★知识应用
【知识点1】画函数图像：（1）2cos 1y x =-， （2）sin 2y x =-+
（3）sin(2)14y x π
=-
+ （4）2cos(2)13
y x π
=+-
【知识点2】求三角函数的最值、值域
求下列函数的最大值和最小值及取得最大值和最小值时的自变量x 的集合： （1）2cos 1y x =- (2) 2sin 3y x =-
（3）cos()23x y π=-
（4）2sin()14
y x π
=+-
【知识点3】求三角函数的定义域
1.求下列函数的定义域：（1）y =， （2）y =
【知识点4】求三角函数的单调区间 （1）sin()4y x π
=+ （2）3cos()23
x y π
=-
（3）sin(2)3y x π
=-+
（4）sin(2)3
y x π
=-+
【知识点5】比较大小
(1) sin2500
sin2600
(2) 3sin
8π 5sin 9
π (3) cos1900 cos1550
(4) 15cos
8π 14cos 9
π (5) tan650 tan2600 (6) sin1940 cos1600
【知识点6】求三角函数的对称轴和对称中心 (1)2sin()33x y π=+ (2)1cos(3)126
y x π
=-+
【综合提高】
例题：求函数2
7
sin 4sin 4
y x x =-++的值域。

【知识点7】判断奇偶性 (1)33()sin()42
f x x π=+
(2)()lg(sin f x x =+ (3)1sin cos ()1sin x x
f x x
+-=
+
(4)()|sin |cos f x x x =+
(5)()sin )f x x = (6)1cos 2sin ()1sin x x
f x x
-+=-
【综合提高】
1.已知()y f x =的定义域为1[0,]4
，求2
(sin )f x 的定义域。

2.函数sin y x =2()6
3
x π
π
≤≤
的值域为 。

4.如果函数2
sin sin y x a x =+的图象关于直线8
x π
=-
对称，求a 的值。