人教版2020八年级数学上册 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 1 平方根 第1课时 平方根学案华东师大版

11．1 平方根与立方根
第1课时平方根
学习目标
1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；
2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
3.使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；
4.掌握用平方运算求某些数的平方根的方法．
学习过程
一、创设情境
问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．
(学生探索，回答问题)
二、探究归纳
问题1解设正方形纸片的边长为x cm，依题意有：x2＝25，
求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．
因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能
取正值．所以x＝5．
答正方形纸片的边长为5cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
问题2解设圆的半径为R cm，依题意有：
πR2=16π，即R2=16，
求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．
因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以
数R＝4．
答圆的半径为4cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．
刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值．
概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．
在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5．在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4．所以，根据平方根的意义，我们
可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．
三、实践应用
例1 求100的平方根．
解 因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以
100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.
学生试一试：
(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)25
4的平方根是什么？(4)－4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？
1．平方根的性质：
问 正数的平方根是什么？
答 如果数是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数． 问 0的平方根是什么？
答 0的平方根是0，这是因为02＝0．由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身．
问 负数有平方根吗？为什么？
答 负数没有平方根．由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根． 请同学概括数的平方根的性质．
答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
2.一个非负数a 的平方根的表示法．
当a ＞0时，a 的正的平方根用符号“2a ”表示，其中a 叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负的平方根用符号“－2a ”表示，这两个平方根合起来可以记作“2a ±”．这里，符号“2”，读作“二次根号”，“2a ”读作“二次根号a ”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±
，读作“正负根号a ”． 一般地，如果x 2＝a (a ≥0)，那么a 的平方根可以表示为x =a ±
．例如，9的平方根记作9±，读作正负根号9．
3.开平方．
求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算是已知指数和幂求底数．平方与开平方互为逆运算．一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0．但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0．负数没有平方根．因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根． 例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．
分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．
解 (1)因为49)7(2=±，所以49的平方根是，7±，即749±=±
．
(2) 因为69.1)3.1(2=±，所以1.69的平方根是3.1±，即3.169.1±=±．
例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．
(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．
分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．
解 (1)因为－64是负数，所以－64没有平方根；
(2)0有一个平方根，它是0；
(3)因为016)4(2>=-，所以2)4(-有两个平方根，且416)4(2±=±=-±．
四、交流反思
1.一般地，如果x 2＝a ，那么叫x 做a 的平方根．(也叫a 的二次方根)．用a ±表示．当a ＞0时a 有两个平方根，即a ±，a 表示a 的正的平方根，-a 表示a 的负的平方根，它们互为相反数；当a ＝0时，a 有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．
2.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．
3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．
4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．
五、检测反馈
1.说出下列各数的平方根
(1)64； (2)0.25； (3)
6449． 2.求下列各数的平方根(1)81
16； (2) 0.36； (3) 324．
3. 平方根等于本身的数是 .
4. 已知16)2(2=x ，y 是2)5(-的正的平方根，求代数式
y x x y x x -++的值.
答案：1. (1)±8； (2) ±0.5； (3) ±
87 2. (1) ±
94 ；(2) ±0.6；(3) ±18 3. 0
4.x ＝ ±2，y ＝5，y x x y x x -++的值是﹣21
8.
六、学习小结
回忆一下：本节课你有什么收获？
1.平方根、开平方的定义；
2.平方根的表示；
3.平方根的性质；
4.求一个数的平方根.。