(新课标)高考数学一轮总复习 第二章 函数 第11讲 函数的图象导学案 新人教A版-新人教A版高三全

第11讲 函数的图象
【课程要求】
1．熟练掌握基本初等函数的图象；掌握函数作图的基本方法(描点法和变换法)． 2．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．
对应学生用书p 28
【基础检测】
概念辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f(x)|与y ＝f(|x|)的图象相同．( ) (2)函数y ＝af(x)与y ＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f(x)与y ＝－f(x)的图象关于原点对称．( )
(4)若函数y ＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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2．[必修1p 35例5(3)]函数f(x)＝x ＋1
x
的图象关于( )
A ．y 轴对称
B ．x 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
[解析]函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C .
[答案]C
3．[必修1p 75A 组T 10]如图，函数f(x)的图象为折线ACB ，则不等式f(x)≥log 2(x ＋1)的解集是______________．
[解析]在同一坐标系内作出y ＝f(x)和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1，1]．
[答案] (－1，1]
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4．函数f(x)＝x 2
－2|x|
的图象大致是( )
[解析]∵函数f(x)＝x 2－2|x|
，∴f(3)＝9－8＝1>0，故排除C ，D ，∵f(0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝
1
4
－212<－1，故排除A ，故选B . [答案]B
5．为了得到函数y ＝2
x ＋1
－1的图象，只需把函数y ＝2x
的图象上的所有的点( )
A ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
[解析]把函数y ＝2x
的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝2x ＋1
的图象，再把所得
图象再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝2
x ＋1
－1的图象．
[答案]A
6．设f(x)＝|lg (x －1)|，若0<a<b 且f(a)＝f(b)，则ab 的取值范围是____________． [解析]画出函数f(x)＝|lg (x －1)|的图象如图所示．
由f(a)＝f(b)可得－lg (a －1)＝lg (b －1)，解得ab ＝a ＋b>2ab(由于a<b ，故取不到等号)，所以ab>4.
[答案] (4，＋∞) 【知识要点】 1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换 (1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)――→关于x 轴对称y ＝__－f(x)__； ②y＝f(x)――→关于y 轴对称y ＝__f(－x)__； ③y＝f(x)――→关于原点对称y ＝__－f(－x)__；
④y＝a x
(a>0且a≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝__log a x(a>0且a≠1)__． (3)伸缩变换
①y＝f(x)错误!y ＝__f(ax)__．
②y＝f(x)――→a>1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a<1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝__af(x)__． (4)翻折变换
①y＝f(x)――→保留x 轴上方图象
将x 轴下方图象翻折上去y ＝__|f(x)|__． ②y＝f(x)――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝__f(|x|)__． 【知识拓展】
1．关于对称的三个重要结论
(1)函数y ＝f(x)与y ＝f(2a －x)的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f(x)与y ＝2b －f(2a －x)的图象关于点(a ，b)中心对称．
(3)若函数y ＝f(x)的定义域内任意自变量x 满足：f(a ＋x)＝f(a －x)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称．
2．函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
3．识图：通过对函数图象观察得到函数定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等． 4．用图：利用函数的图象可以讨论函数的性质、求最值、确定方程的解的个数、解不等式等．数形结合，直观方便．
对应学生用书p 29
作函数的图象
1 作出下列函数的图象： (1)y ＝|log 2x －1|； (2)y ＝|x －2|·(x＋1)．
[解析] (1)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图所示．
(2)当x≥2，即x －2≥0时，
y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2
－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
－94
；
当x<2，即x －2<0时，
y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x ＋x ＋2＝－⎝ ⎭⎪x －2＋4
.
∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
－94
，x≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94
，x<2.
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如右图)．
[小结]为了正确作出函数的图象，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1
x
的函数；
(2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．
1．作出下列函数的图象： (1)y ＝2－x x ＋1
；
(2)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x ＋1|
.
[解析] (1)易知函数的定义域为{x∈R |x ≠－1}．
y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－x
x ＋1
的图象，如图①所示．
(2)先作出y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y
轴的对称图象，再将整个
图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝ ⎭
2的图象，如图②所示． 函数图象的识别
2 (1)函数f(x)＝x 2
sin x 的图象可能为( )
[解析]因为f(x)是奇函数，图象关于坐标原点对称，排除B 、D ，又因为f(π)＝0，故选C .
[答案]C
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A ．f(x)＝ln |x|
x
B ．f(x)＝e x
x
C ．f(x)＝1
x
2－1 D ．f(x)＝x －1x
[解析]由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B ，C .若函数为f(x)＝x －1
x ，则x→
＋∞时，f(x)→＋∞，排除D ，故选A .
[答案]A
[小结]函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
2．函数y ＝x 2
ln |x|
|x|的图象大致是( )
[解析]从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y ＝x ln x ，y′
＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应
选D .
[答案]D
3．已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f(x)的图象如图所示，则y ＝－f(2－x)的图象为( )
[解析]法一：由y ＝f(x)的图象知，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x≤1，1，1<x≤2.
当x∈[0，2]时，2－x∈[0，2]，
所以f(2－x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧1，0≤x<1，
2－x ，1≤x≤2，
故y ＝－f(2－x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－1，0≤x<1，
x －2，1≤x≤2图象应为B .
法二：当x ＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x ＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1. 观察各选项，可知应选B . [答案]B
函数图象的应用
3 (1)函数y ＝f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，函数f (x )的图象是
由一段抛物线和一条射线组成(如图所示)．
①当x ∈[－1，1]时，y 的取值范围是________；
②如果对任意x ∈[a ，b ](b <0)，都有y ∈[－2，1]，那么a 的最小值是________． [解析]由图象可知，当x ＝0时，函数在[－1，1]上的最小值y min ＝1， 当x ＝±1时，函数在[－1，1]上的最大值y max ＝2， 所以当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的值域为[1，2]；
当x ∈[0，3]时，函数f (x )＝－(x －1)2
＋2，当x ∈[3，＋∞)时，函数f (x )＝x －5， 当f (x )＝1时，x ＝2或x ＝6，
又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，
所以对于任意x ∈[a ，b ](b <0)，要使得y ∈[－2，1]，则a ∈[－6，－2]，b ∈[－6，－2]，且a ≤b ，
则实数a 的最小值是－6. [答案] [1，2]；－6
(2)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，
ln （x ＋1），x >0，若|f (x )|≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是
__________．
[解析]在平面直角坐标系中画出函数y ＝|f (x )|，y ＝ax 的图象如图，结合图象可知当直线y ＝ax 的斜率a 满足a ∈[－2，0]时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．
[答案] [－2，0]
[小结]1.函数图象是函数性质的具体体现，它是函数的另一种表示形式，因此对基本初等函数的图象必须熟记．
2．掌握好函数作图的两种方法：描点法和变换法，作图时要注意定义域，并化简解析式．
3．充分用好图：数形结合是重要的数学思想方法，函数图象形象地显示了函数性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，快速获取结果的重要工具，特别是对解答填空选择题、方程根的个数等方面，很有效．因此，一定要注意数形结合，及时作出图象，借用图象帮助解题．
4．设函数f(x)＝|x ＋a|，g(x)＝x －1，对于任意的x∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
[解析]如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－
a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
[答案] [－1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，
其中m>0，若存在实数b ，使得关于x 的方程
f(x)＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是____________．
[解析]如图，当x≤m 时，f(x)＝|x|；当x>m 时，f(x)＝x 2
－2mx ＋4m 在(m ，＋∞)上为
增函数，若存在实数b ，使方程f(x)＝b 有三个不同的根，则m 2
－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m 2
－3m>0，解得m>3.
[答案] (3，＋∞)
对应学生用书p 30
1．(2018·全国卷Ⅱ理)函数f(x)＝
e x －e －x
x
2
的图象大致为( )
[解析]∵x≠0，f(－x)＝
e －x －e x
x
2
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A ； ∵f(1)＝e －e －1
>0，∴排除D ；
∴f′(x)＝（e x
＋e －x
）x 2
－（e x
－e －x
）2x
x 4
＝（x －2）e x
＋（x ＋2）e －x
x 3
， ∴当x>2，f′(x)>0， 所以排除C ；因此选B . [答案]B
2．(2019·全国卷Ⅰ理)函数f(x)＝
sin x ＋x
cos x ＋x 2
在[－π，π]的图象大致为( )
A .
B .
C .
D .
[解析]由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)为奇函数，排除A .
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋π2π24
>1，排除B 、C ，故选D . [答案]D。