最新高考数学(文)一轮教学案：第二章第5讲 指数与指数函数 Word版含解析

第5讲指数与指数函数
考纲展示命题探究
考点指数与指数函数
1根式的概念
根式符号表示备注若x n＝a，则x叫做a的n次方
根
—n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方
根是一个正数，负数的n次方根是一个负数n
a
0的n次方根是0
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数
±n
a
负数没有偶次方根
(1)
n
a n
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ， n ＝2k －1(k ∈Z )，|a |， n ＝2k (k ∈Z ).
(2)(n a )n ＝a (a 必须使n
a 有意义)． 2 分数指数幂的意义
(1)a m n ＝n
a m (a >0，m 、n ∈N *，n >1)； (2)a － m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m 、n ∈N *，n >1)．
3 有理数指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．
4 指数函数概念及性质
(1)指数函数的概念
函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
说明：形如y＝ka x，y＝a x＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．
(2)指数函数的图象和性质
底数a>10<a<1
图
象
性质函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，恒有y>1；
当x<0时，恒有0<y<1
当x>0时，恒有0<y<1；
当x<0时，恒有y>1
函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数
(1)当指数函数的底数大于1时，底数越大，图象上升越快；当
底数大于0且小于1时，底数越小，图象下降越快．
(2)指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底
数a按0<a<1和a>1进行分类讨论.
1．思维辨析
(1)n
a n与(
n
a)n都等于a(n∈N*)．()
(2)2a·2b＝2ab.()
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．()
(4)若a m<a n(a>0且a≠1)，则m<n.()
(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．()
(6)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()
答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×
2．已知a＝5－1
2，函数f(x)＝a
x，若实数m，n满足f(m)>f(n)，
则m，n的关系为()
A．m＋n<0 B．m＋n>0 C．m>n D．m<n
答案 D
解析∵0<5－1
2<1，∴f(x)＝a
x＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
5－1
2
x，且f(x)在R上单调递
减，又∵f(m)>f(n)，∴m<n，故选D.
3．函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
答案 D
解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选D.
[考法综述]高考中考查内容多以指数函数的图象和性质为主，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题形式出现．
命题法指数的运算性质，指数函数的图象及性质
典例(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝log x(x2＋0.3)(x>1)，则a，b，
c的大小关系是()
A．a<b<c B．b<a<c
C．c<b<a D．b<c<a
(2)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝a x＋k的图象可能是()
(3)若方程|3x－1|＝k有两个解，则实数k的取值范围是________．
[解析](1)∵x>1，∴c>log x x2＝2，又1<a＝20.3<2,0<b＝0.32<1，则b<a<c.故选B.
(2)由函数y＝kx＋a的图象可得k<0,0<a<1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k>－1，所以－1<k<0.函数y＝a x＋k的图象可以看成把y＝a x的图象向右平移－k个单位得到的，且函数y＝a x＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选
B.
(3)曲线y＝|3x－1|与直线y＝k的图象如图所示，由图象可知，如果y＝|3x－1|与直线y＝k有两个公共点，则实数k应满足0<k<1.
[答案](1)B(2)B(3)(0,1)
【解题法】与指数函数有关问题的解题思路
(1)利用指数函数性质时，一般应画出指数函数y＝a x(a>0且a≠1)
的图象，抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，1a .
(2)指数函数的单调性是由底数a 决定的，因此解题时通常对底
数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先，要熟知指数
函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次，要明确复合函数的
构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这
一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
1．已知a ＝2－1
3 ，b ＝log 213，c ＝log 12
1
3，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a
答案 C
解析 由指数函数及对数函数的单调性易知0<2－13 <1，log 21
3
<log 21＝0，log 12 13>log 12
1
2＝1, 故选C.
2.当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2,1)
B ．(－4,3)
C ．(－1,2)
D ．(－3,4)
答案 C
解析 原不等式变形为m 2
－m <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，
∵函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
在(－∞，－1]上是减函数，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2
－m <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
恒成立等价于m 2－m <2，解得
－1<m <2.
3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )
答案 B
解析
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －1，x <1，故选B.
4．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 答案
10
解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝1
2.
由lg x ＝12，得x ＝10 12
＝10.
5．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若
该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析
由题意得⎩⎨
⎧
e b
＝192
e 22k ＋b ＝48
，即⎩⎪⎨⎪⎧
e b ＝192e 11k
＝1
2
，所以该食品在
33 ℃的保鲜时间是y ＝e
33k ＋b
＝(e
11k )3
·e b
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
×192＝24(小时)．
已知函数y ＝b ＋a x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－1,0]上有y max ＝3，y min ＝5
2.试求a ，b 的值．
[错解]
[错因分析] 错误地认为函数在区间上的最大(小)值就是区间端
点的值．
[正解] 当a >1时，函数y ＝b ＋a x 在区间[－1,0]上递增，则
⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋a －1＝52，
b
＋a 0＝3，
解得⎩⎨
⎧
a ＝2，
b ＝2.
当0<a <1时，函数y ＝b ＋a x 在区间[－1,0]上递减，
则⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋a －1＝3，
b ＋a 0
＝52，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23，
b ＝3
2.
所以⎩⎨
⎧
a ＝2，
b ＝2，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23，
b ＝32.
[心得体会]
………………………………………………
………………………………………………
时间：45分钟
基础组
1．[2021·冀州中学热身]下列函数中值域为正实数的是( )
A ．y ＝－5x
B ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫131－x
C ．y ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1 D ．y ＝1－2x
答案 B
解析 ∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的值域是正实数，∴y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫131－x
的值域是
正实数．故选B.
2. [2021·枣强中学热身]已知a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 23 ，b ＝2－43
，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 1
3 ，则
下列关系式中正确的是( )
A ．c <a <b
B ．b <a <c
C ．a <c <b
D ．a <b <c
答案 B
解析 把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 ，而函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 在R 上为减函数，43>23>1
3
，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 43 <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 23 <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 1
3 ，即b <a <c .
3．[2021·冀州中学周测]设函数f (x )＝⎩⎨⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －7，x <0，
x ，x ≥0，
若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)
C ．(－3,1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 若a <0，则由f (a )<1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－3，所以
－3<a <0，若a ≥0，则由f (a )<1得a <1，所以0≤a <1.综上，a 的取
值范围是－3<a <1，即(－3,1)．
4．[2021·衡水二中一轮检测]已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
答案 B
解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，
∴2a ＋2－a ＝3.
∴f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.
5．[2021·衡水二中猜题]若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝1
9，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
答案 B
解析 f (1)＝19得a 2
＝19.又a >0，
所以a ＝1
3，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13|2x －4|.
因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减
区间是[2，＋∞)．
6．[2021·枣强中学月考]函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12－x 2＋x ＋2 的单调递增区
间是( )
A.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－1，12 B ．(－∞，－1]
C ．[2，＋∞)
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2 答案 D
解析 由－x 2＋x ＋2≥0知，函数定义域为[－1,2]，－x 2＋x ＋2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.当x ≥12时，u (x )＝－x 2＋x ＋2递减，又y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 在定义
域上递减，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2
＋x ＋2 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2.
7．[2021·衡水二中预测]不等式2
－x 2
＋2x
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋4
的解集为________． 答案 {x |－1<x <4}
解析 不等式2
－x 2
＋2x
>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋4，等价于不等式x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4，所以解集为{x |－
1<x <4}．
8．[2021·武邑中学期末]已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，
若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53成立，则x 的取值范围是________．
答案 ⎝
⎛⎭
⎪⎫
－13，43
解析 由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <4
3.
9．[2021·衡水二中热身]已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12
－3·2x ＋5的最大值为________．
答案 52
解析 令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，
又y ＝2
2x －1
－3·2x
＋5，∴y ＝12t 2
－3t ＋5
＝12(t －3)2
＋12，
∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝5
2.
10．[2021·衡水中学热身]函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a
2，求a 的值．
解 当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)
＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .
∴a 2
－a ＝a
2.即a (2a －3)＝0.
∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝3
2.
当0<a <1时， f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，
f (x )最大＝f (1)＝a ，
f (x )最小＝f (2)＝a 2.
∴a －a 2＝a
2.∴a (2a －1)＝0，
∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝1
2.
综上可知，a ＝12或a ＝3
2.
11．[2021·武邑中学月考]已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝1
2|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；
(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．
解 (1)g (x )＝1
2|x |＋2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |＋2，
因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
≤1，
即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]．
(2)由f (x )－g (x )＝0，得2x －1
2|x |－2＝0，
当x ≤0时，显然不满足方程，
即只有x >0时满足2x
－1
2x －2＝0，
整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，
因为2x >0，所以2x ＝1＋2，
即x ＝log 2(1＋2)．
12．[2021·武邑中学一轮检测]已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常
量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．
(1)求f (x )的表达式；
(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x
－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数
m 的取值范围．
解
(1)因为f (x )的图象过点A (1,6)，B (3,24)，则⎩⎨
⎧
b ·
a ＝6，
b ·
a 3＝24.所以
a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，则
b ＝3.所以f (x )＝3·2x .
(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x －m ≥0恒
成立，即m ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x 在x ∈(－∞，1]时恒成立．
又因为y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x 也是减
函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 有最小值56.所以m ≤5
6，即m 的
取值范围是⎝
⎛
⎦
⎥⎤－∞，56.
能力组
13. [2021·冀州中学一轮检测]已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．
①a<0，b<0，c<0；
②a<0，b≥0，c>0；
③2－a<2c；
④2a＋2c<2.
答案④
解析由图示可知a<0时，b的符号不确定，1>c>0，故①②错；
∵f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，
∴|2a－1|>|2c－1|，
即1－2a>2c－1，
故2a ＋2c <2，④成立．
又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，
∴a ＋c <0，∴－a >c ，
∴2－a >2c ，③不成立．
14．[2021·枣强中学预测]设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≤0，
|log 2x |，x >0，
则方程f (x )＝1
2的解集为________．
答案 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，22，2
解析 当x ≤0时，解2x
＝12得x ＝－1；当x >0时，解|log 2x |＝1
2得
x ＝22或x ＝ 2.所以方程f (x )＝12的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，2
2，2.
15. [2021·衡水中学仿真]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，0≤x <1，
2x －1
2，x ≥1，
若a >b ≥0，且f (a )＝f (b )，则bf (a )的取值范围是________．
答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，2 解析 如图，f (x )在[0,1)，[1，＋∞)上均单调递增，由a >b ≥0及
f (a )＝f (b )知a ≥1>b ≥12.bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2
＋b ，∵12≤b <1，∴34
≤bf (a )<2.
16．[2021·冀州中学期中]求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4
的定义域、
值域及单调区间．
解 依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，
∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．
∵
x 2－5x ＋4≥0，∴f (x )＝3x 2－5x ＋4
≥30＝1，
∴函数f (x )的值域是[1，＋∞)．
令u ＝x 2
－5x ＋4＝
⎝
⎛
⎭⎪⎫x －522－94，
x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，
∴当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，
当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．
而3>1，∴由复合函数的单调性可知，
f (x )＝3x 2－5x ＋4
在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增
函数．。