高中数学 第2章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件

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【跟踪训练 2】 已知定点 A(－1,0)和 B(1,0)，P 是圆(x －3)2＋(y－4)2＝4 上的一动点，求|P→A|2＋|P→B|2 的最大值和最 小值．
解 设圆的圆心为 C，由已知可得O→A＝(－1,0)，O→B＝ (1,0)，所以O→A＋O→B＝0，O→A·O→B＝－1.
(1)若△ABC 是直角三角形，则有A→B·B→C＝0.( × ) (2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行．( × ) (3)向量A→B，C→D的夹角就是直线 AB，CD 的夹角．( × )
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2．做一做
(1)若向量O→F1＝(2,2)，O→F2＝(－2,3)分别表示两个力 F1，
(1)向量的线性运算法的四个步骤 ①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线 性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．
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|＝ 6，即 AC＝ 6.
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探究 2 向量在解析几何中的应用 例 2 已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 及点 A(1,1)，M 是 圆上的任意一点，点 N 在线段 MA 的延长线上，且M→A＝2A→N， 求点 N 的轨迹方程．
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(1)物理问题中常见的向量有 □3 力、速度、位移 等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的
□4 合成和分解 中． (3)动量 mv 是向量的 □5 数乘 运算． (4)功是 □6 力 F 与位移 s 的数量积．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
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解 设 M(x0，y0)，N(x，y)．由M→A＝2A→N，得 (1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)， 所以11－－yx00＝＝22yx－－11，， 即xy00＝ ＝33－ －22xy， . 因为点 M(x0，y0)在圆 C 上， 所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4， 即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.所以 x2＋y2＝1. 所以所求点 N 的轨迹方程是 x2＋y2＝1.
故 20≤|P→A|2＋|P→B|2＝2|O→P|2＋2≤100. 所以|P→A|2＋|P→B|2 的最大值为 100，最小值为 20.
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探究 3 向量在物理中的应用 例 3 (1)在长江南岸某渡口处，江水以 12.5 km/h 的速 度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江， 其航向应如何确定？ (2)已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点， 使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质点所 做的功．
(2)设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W ＝F·s.
∵A→B＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
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∴W1＝F1·A→B＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－ 15)＝－99(焦)，
W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－ 5)×(－15)＝－3(焦)．
又P→A＋P→B＝2P→O，
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所以|P→A|2＋
→ |PB
|2＝
→ (PA
＋P→B)2－2P→A
→ ·PB
＝(2P→O
)2－2(O→A
－ O→P )·( O→B
－
O→P)＝
→ 4|PO
|2
－2O→A
→ ·OB
－
→ 2|OP
|2
＋
→ 2OP
→ ·(OA
＋
O→B)＝2|O→P|2＋2.
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即(x，－m)＝λn4，－34m.
则x＝n4λ， －m＝－34mλ，
故 λ＝43，x＝n3，∴Fn3，0
∴|A→F|＝13 n2＋9m2，即 AF＝13 n2＋9m2.
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拓展提升 用向量证明平面几何问题的两种基本思路
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拓展提升
向量解决物理问题的步骤
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【跟踪训练 3】 在风速为 75( 6－ 2) km/h 的西风中， 飞机以 150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机 的航速和航向．
解 设 ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无 风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示．
F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5)
B．(4，－1)
C．2 2
D．5
解析 F1＋F2＝(0,5)，|F1＋F2|＝5.
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(2)在四边形 ABCD 中，A→B·B→C＝0，B→C＝A→D，则四边形
ABCD 是( )
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形
D．正方形
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证法二：如图，建立直角坐标系， 设 CD＝1，则 A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)． ∴B→C＝(－1,1)，A→C＝(1,1)． ∴B→C·A→C＝(－1,1)·(1,1) ＝－1＋1＝0. ∴AC⊥BC.
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设|A→B|＝|va|，|C→B|＝|ω|，|A→C|＝|vb|， 作 AD∥BC，CD⊥AD 于点 D，BE⊥AD 于点 E， 则∠BAD＝45°. 设|A→B|＝150，则|C→B|＝75( 6－ 2)． ∴|C→D|＝|B→E|＝|E→A|＝75 2，|D→A|＝75 6. 从而|A→C|＝150 2，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150 2， 即没有风时飞机的航速为 150 2 km/h，方向为北偏西 60°.
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拓展提升 向量法解决解析几何问题的关键点及常用知识
(1)向量法在解析几何中的应用，正确写出点的坐标， 并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线，②垂直，③模， ④夹角，⑤向量相等则对应坐标相等．
(3)有时需要建立平面直角坐标系．
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解析 由 F1＋F2＋F3＝0，得 F3＝0－F1－F2＝0－(3， 4)－(2，－5)＝(－5,1)．
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第八页，共四十八页动探究
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探究 1 向量在平面几何中的应用 例 1 (1)在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠CDA＝∠ DAB＝90°，CD＝DA＝12AB，求证：AC⊥BC； (2)已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设 AC＝m，BC＝n. ①若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝12AB； ②若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度(用 m，n 表示)．
【跟踪训练 1】 (1) 已知在平行四边形 ABCD 中，E， F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝FC＝14AC，试用向量方 法证明四边形 DEBF 也是平行四边形；
(2)如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2， 对角线 BD＝2，求对角线 AC 的长．
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解 (1)证明：设A→D＝a，A→B＝b， 则D→E＝A→E－A→D＝14A→C－a＝14(a＋b)－a＝14b－34a， F→B＝A→B－A→F＝b－34A→C＝14b－34a， 所以D→E＝F→B，且 D，E，F，B 四点不共线，所以四边 形 DEBF 是平行四边形．
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(2)①证明：以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直 线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，
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A(0，m)，B(n,0)． ∵D 为 AB 的中点，∴Dn2，m2. ∴|C→D|＝12 n2＋m2，|A→B|＝ m2＋n2，
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∴|C→D|＝12|A→B|，即 CD＝12AB. ②∵E 为 CD 的中点，∴En4，m4 ， 设 F(x,0)，则A→E＝n4，－34m，A→F＝(x，－m)． ∵A，E，F 三点共线，∴A→F＝λA→E，
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解 (1)证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD， CD＝DA＝12AB，
故可设A→D＝e1，D→C＝e2，|e1|＝|e2|，则A→B＝2e2. ∴A→C＝A→D＋D→C＝e1＋e2， B→C＝A→C－A→B＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2. 而A→C·B→C＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e21－e22＝|e1|2－|e2|2＝0，∴ A→C⊥B→C，即 AC⊥BC.
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解 (1)如图，设A→B表示水流的速度，A→D表示渡船的速 度，A→C表示渡船实际垂直过江的速度．
因为A→B＋A→D＝A→C，所以四边形 ABCD 为平行四边形．
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在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，|D→C|＝|A→B|＝12.5，|A→D| ＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航 向应为北偏西 30°.
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[条件探究] 本例(2)条件变为：两个力 F1＝i＋j，F2＝ 4i－5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求： F1，F2 分别对该质点做的功．
解 A→B＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F1＝(1,1)， F2＝(4，－5)，所以 WF1＝F1·A→B＝－13－15＝－28， WF2＝F2·A→B＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23.
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(2)设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b，
而
|
→ BD
|
＝
|a
－
b|
＝
a2－2a·b＋b2 ＝
1＋4－2a·b ＝
5－2a·b＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12.
又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|A→C
又因为O→C＝(3,4)，点 P 在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4 上，
所以|O→C|＝5，|C→P|＝2，且|O→P|＝|O→C＋C→P|.
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所以 |O→C|－ |C→P|≤|O→P|＝ |O→C＋C→P|≤|O→C|＋ |C→P|，即 3≤|O→P|≤7.
来．
(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及
的几何元素，将平面 □2 几何问题转化为向量问题 ；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、
夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系．
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2．向量在物理中的应用
第二章 平面 向量 (píngmiàn) 2．5 平面(píngmiàn)向量应用举例
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第一页，共四十八页。
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课前自主(zìzhǔ)预习
第二页，共四十八页。
1.向量在几何中的应用 (1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长
度、夹角等都可以由 □1 向量的线性运算及数量积 表示出
解析 ∵B→C＝A→D，∴四边形 ABCD 为平行四边形， 又A→B·B→C＝0，∴AB⊥BC， ∴四边形 ABCD 为矩形．
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(3)(教材改编 P113 习题 2.5A 组 T4)已知三个力 F1＝(3,4)， F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力 F1＋F2＋F3＝0，则 F3 的 坐标为__(－__5_,_1_)_．