2024年沪科版七年级数学上册 3.6 三元一次方程组及其解法(课件)

3x + 2y + z = 39， 2x + 3y + z = 34， x + 2y + 3z = 26.
？
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组， 叫作三元一次方程组.
新知探究 知识点 三元一次方程组
下列方程组是三元一次方程组的是（ B ）
x + 2y = 1，
A. y + 2z = 2，
z+
下面解由④⑤联立成的二元一次方程组.
④ - ⑤，得
11z = 11. z = 1. ⑥
将⑥代入④，得
y = -2.
将 y，z 的值代入①，得 x = 3. 所以
x = 3， y = -2， z = 1.
新知探究 知识点 三元一次方程组
练一练
解：①×2 + ②，得 5x + 8y = 7. ④
解下列三元一次方程组： ③×8 + ④，得 21x = 63，
2 x
= 3.
x2 - 4 = 0， C. y + 1 = x，
x – z = -3.
a + b + c = 1， B. a - b = 4，
4a – 2b + c = 7.
-x + y + 3z = -1，
D. x – y + z = 3，
2x + m - z = 0.
新知探究 知识点 三元一次方程组
新知探究 知识点 三元一次方程组
解：① + ②，得 3x + 2z = 4. ④
解下列三元一次方程组： ①×4 + ③，得 5x-6z = 2.⑤
（2）
x + y - z = 2， ① 2x - y + 3z = 2， ② x–4y - 2z = -6. ③
④×3+⑤，得 14x = 14，解得 x = 1.
第3章 一次方程与方程组
*3.6 三元一次方程组及其解法
七上数学 HK
学习目标
1.了解三元一次方程组的概念，会解简单的三元一次方程 组，进一步体会“消元”思想，发展运算能力. 2.能用三元一次方程组解决某次实际问题.
课堂导入
5x + 4y = 18， 15x + 10y = 50.
二元一次方程组
把 x 用 1 代入方程④，得 z = 0.5.
把 x 用 1，z 用 0.5 代入方程①，
得 y = 1.5. x = 1，
因此， y = 1.5，是原三元一次方程组 的解. z = 0.5
新知探究 知识点 三元一次方程组 解三元一次方程组的思路：
三元一次 方程组
消元
二元一次 方程组
消元
二元一次 方程组
新知探究 知识点 三元一次方程组
解三元一次方程组的一般步骤：
（1）消元：利用代入消元法或加减消元法，把方程组中的一个方程与 另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另两 个未知数的二元一次方程组.
（2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. （3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单 的方程，得到一个一元一次方程. （4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值. （5）写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起，即是三元一 次方程组的解.
解：设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得
x + y = 3，
①
y + z = 6，
②
x + z = 7.
③
①+②+③，两边同除以 2，得 x + y + z = 8. ④
④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1.
答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5.
x + y + 2z = 3,
①
-2x - y + z = -3,
②
x + 2y - 4z = -5.
③
解: 先用加减消元法消去 x.
② + ①×2，得 y + 5z = 3.
④
③ - ①，得
y - 6z = -8. ⑤
新知探究 知识点 三元一次方程组
y + 5z = 3.
④
y - 6z = -8. ⑤
三元一次方程组满足的条件： （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）每个方程必须是一次方程； （3）含有三个方程； （4）必须是整式方程.
新知探究 知识点 三元一次方程组
思考
解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也 能用来解三元一次方程组呢？
新知探究 知识点 三元一次方程组
例1 解方程组：
解：（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x、y、z
份，由题意得 5x + 5y + 10z = 35， ①
20x + 10y + 10z = 70， ②
5x + 15y + 5z = 35.
③
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（2）由①得
x = 7-y-2z. ④
将④代入②③，得
y + 3z = 7， 2y – z = 0.
x + 3y + 2z = 2， ①
（1） 3x + 2y - 4z = 3，②
2x–y = 7.
③ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
两边都除以 21，得 x = 3. 把 x 用 3 代入方程③，得 y = -1. 把 x 用 3，y 用 -1 代入方程①， 得 z = 1.
x = 3. 因此， y = -1，是原三元一次方程组
的解. z = 1
随堂练习 【教材P127 练习 第1题】
1. 解下列方程组： 3x + y - 4z = 13，
（1） 5x - y + 3z = 5，
x + y–z = 3；
x = 2， y = -1， z = -2.
3x - y + z = 4，
（2） 2x + 3y - z = 12，
x + y + z = 6.
型号手机 4 部.
课堂小结 解三元一次方程组的思路：
三元一次 方程组
消元
二元一次 方程组
消元
二元一次 方程组
⑤ ⑥
解这个方程组，得
y = 1， z = 2.
将
y z
==21，代入④，得
x
=
2.
所以
x = 2， y = 1，
z = 2.
答：A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份.
新知探究 知识点 三元一次方程组
例3 已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、
丙两数之和为 7，求这三个数.
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例2 某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位 的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A， B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、 钙和维生素的量.
食物 A B C
铁/单位 5 5 10
钙/单位 20 10 10
x = 2， y = 3， z = 1.
随堂练习 【教材P127 练习 第2题】 2. 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商场用 120 000 元购买上述三 种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部. 求 该商场购买上述三种型号手机各多少部.
随堂练习
解：设商场购买了甲型号手机 x 部，乙型号手机 y 部，
丙型号手机 z 部. x + y + z = 40，
根据题意，得 3 600x + 1 200y + 2 400z = 120 000，
解方程组，得
x - z = 24. x = 28， y = 8，
z = 4. 答：商场购买了甲型号手机 28 部，乙型号手机 8 部，丙
维生素/单位 5 15 5
新知探究 知识点 三元一次方程组
（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x，y，z 份， 请根据题意列出方程组； （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C 的份数.
食物 A B C
铁/单位 5 5 10
钙/单位 20 10 10
维生素/单位 5 15 5
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