2019年高考文科数学天津卷(附参考答案及详解)

绝密★启用前 6月7日15:00-17:00
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
总分：150分考试时间：120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{1,1,2,3,5}
A=-，{2,3,4}
B=，{|13}
C x x
=∈≤<
R，则()
A C B=
I U（）
A.{2}
B.{2,3}
C.{1,2,3}
- D.{1,2,3,4}
2.设变量x y⋅满足约束条件
20,
20,
1,
1,
x y
x y
x
y
+-≤
⎧
⎪-+≥
⎪
⎨
≥-
⎪
⎪≥-
⎩
则目标函数4
z x y
=-+的最大值为（）
A.2
B.3
C.5
D.6
3.设x∈R，则“05
x
<<”是“|1|1
x-<”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）
A.5
B.8
C.24
D.29
5.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c b a <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.c a b << 6.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =∣∣∣∣
（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
C.2
7.已知函数()()()sin 0,0,
πf x A x A ωϕωϕ=+>><∣∣是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为
()g x
．若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ） A.2-
B.
D.2
8.已知函数(
)011,1x f x x x
⎧≤<⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()14f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）
A.59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦
C.{}59,144⎛⎤ ⎥⎝⎦U
D.{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦
U
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题5分。

9.i 是虚数单位，则
5i 1i -+的值为 ．
10.设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ．
11.曲线cos 2
x y x =-在点()0,1处的切线方程为 ．
12.已知四棱锥的底面是边长为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．
13.设0x >，0y >，24x y +=，则()()121x y xy ++的最小值为 ．
14.在四边形ABCD 中，AD BC P ，AB =5AD =，30A ∠=o ，点E 在线段CB 的延长线上，
且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r ．
三、解答题：本题共80分。

15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“d ”表示享受，“⨯”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．
16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．
（1）求cos B 的值；
（2）求πsin 26B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 17.如图，在四棱锥P A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD V 为等边三角形，
P A C P C D ⊥平面平面，PA CD ⊥，2CD =，3AD =．
（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH PAD P 平面；
（2）求证：PA PCD ⊥平面；
（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．
18.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n c 满足21,,n n n c b n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数，求()
*112222n n a c a c a c n +++∈N L ． 19.设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B
．已知2OA OB =∣∣∣（O 为原点）．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点F 且斜率为
34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP P ，求椭圆的方程．
20.设函数()()ln 1e x f x x a x =--，其中a ∈R ．
（1）若0a ≤，讨论()f x 的单调性；
（2）若10e a <<
，
（ⅰ）证明()f x 恰有两个零点； （ⅱ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．
参考答案
第一部分
1.D
2.C 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示．
因为4z x y =-+可化为4y x z =+，
所以作直线0:4l y x =，并进行平移，
显然当0l 过点()1,1A -时，z 取得最大值，
()max 4115z =-⨯-+=．
3.B
4.B
5.A
6.D 【解析】由已知易得，抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线:1l x =-， 所以1OF =∣∣． 又双曲线的两条渐近线的方程为b y x a
=±， 不妨设点1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， 所以244b AB OF a =
==∣∣∣∣， 所以2b a
=，即2b a =， 所以224b a =．
又双曲线方程中222C a b ++，
所以225C a =，
所以e c a
=
7.C
8.D 第二部分
【解析】因为
()()
()()
5i1i
5i
23i
1i1i1i
--
-
==-
++-
，
所以5i
23i
1i
-
=-
+
∣∣．
10.
2 1,
3⎛⎫-
⎪⎝⎭
11.220
x y
+-=
12.π4
【解析】由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，
圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．
所以底面正方形对角线长为2，
所以圆柱的底面半径为1
2
．
，
2，所以圆柱的高为1，
所以圆柱的体积
2
1π
π1
24
V
⎛⎫
=⋅=
⎪
⎝⎭
．
13.9 2
14.1-
【解析】如图，因为E在线段CB的延长线上，
所以EB AD
P，
因为30
DAB
∠=o，
所以30
ABE
∠=o．
因为AE BE
=，
所以30
EAB
∠=o．
又因为AB=
所以2
BE=．
因为5
AD=，
所以25
EB AD =u u u r u u u r ． 所以25AE AB BE AB AD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 又因为BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，
所以
(
)(
222225225572cos30555
75101252122 1.BD AE AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭=⋅--+⋅=⋅⋅-⨯-=⨯⨯--=-=-o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∣∣∣∣
第三部分
15.（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
（2）（ⅰ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},C D ，{}CE ，{},C F ，{},D E ，{},D F ，{},E F ，共15种．
（ⅱ）由表格知，符合题意的所有可能结果为{},A B ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},C E ，{},C F ，{},D F ，{},E F ，共11种．
所以，事件M 发生的概率()1115P M =
． 16.（1）在ABC V 中， 由正弦定理sin sin b c B C
=， 得sin sin b C c B =．
由3sin 4sin c B a C =，
得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．
因为2b c a +=， 所以43b a =，23
c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423
a a a a c
b B a
c a a +-+-===-⋅⋅．
（2）由（1
）可得sin B ，
从而sin22sin cos B B B == 227cos2cos sin 8
B B B --=-， 故
πππsin 2sin2cos cos2sin 6667182
B B B ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭=-⨯= 17.（1）连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =．
又由BG PG =，故GH PD P ．
又因为GH PAD ⊄平面，PD PAD ⊂平面，
所以GH PAD P 平面．
（2）取棱PC 的中点N ，连接DN ．
依题意，得DN PC ⊥，
又因为PAC PCD ⊥平面平面，PAC PCD PC ⋂=平面平面， 所以DN PAC ⊥平面，
又PA PAC ⊂平面，故DN PA ⊥．
又已知PA CD ⊥，CD DN D ⋂=，
所以PA PCD ⊥平面．
（3）连接AN ，由（Ⅱ）中DN PAC ⊥平面，可知DNA ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角， 因为PCD V 为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，
所以DN =．
又DN AN ⊥，
在Rt AND V
中，sin DN DNA AD ∠==．
所以，直线AD 与平面PAC
． 18.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．
依题意，得2332,3154,
q d q d =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得3,3,
d q =⎧⎨=⎩故()3313n a n n =+-=，1333n n n b -=⨯=． 所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n n b =．
（2）()()
()()
()112222135212142632123212136631231836323613233.n n
n n n n n a c a c a c a a a a a b a b a b a b n n n n n n -+++=+++++++++⎡⎤-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦=+⨯+⨯++⨯L L L L L 记1213233,n n T n =⨯+⨯++⨯L L L ①
则231313233,n n T n +=⨯+⨯++⨯L L L ②
-②①得，()()231
112333333133132133.2n n n n
n n T n n n +++=-----+⨯-=-+⨯--+=
L 所以，
()()()1211222222*213333221369
.
2n n n n n a c a c a c n n n n ++-++++=+⨯-++=∈N L 19.（1）设椭圆的半焦距为c
2b =，
又由222a b c =+，消去b
得2
22a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭， 解得12
a c =． 所以，椭圆的离心率为
12． （2）由（Ⅰ）知，2a c =
，b =，故椭圆方程为22
22143x y c c +=． 由题意，(),0F c -，则直线l 的方程为()34
y x c =+，
点P 的坐标满足()22
221,433,4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=， 解得1x c =，2137
c x =-． 代入到l 的方程，解得132y c =，2914y c =-． 因为点P 在x 轴上方， 所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 由圆心C 在直线4x =上，可设()4,C t ． 因为OC AP P ，且由（Ⅰ）知()2,0A c -， 故3242c t c c
=+，解得2t =． 因为圆C 与x 轴相切，
所以圆的半径长为2，
又由圆C 与l
()3422c +-=，可得2c =． 所以，椭圆的方程为22
11612
x y +=． 20.（1）由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，
且()()211e e 1e x x x ax f x a a x x x
-⎡⎤'=-+-=⎣⎦． 因此当0a ≤时，221e 0ax ->，
从而()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞内单调递增．
（2）（ⅰ）由（Ⅰ）知()21e x
ax f x x -'=． 令()21e x g x ax =-，由10e
a <<，可知()g x 在()0,+∞内单调递减， 又()11e 0g a =->，且221111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 故()0g x =在()0,+∞内有唯一解， 从而()0f x '=在()0,+∞内有唯一解，
第11页（共11 页） 不妨设为0x ，则011ln
x a <<． 当()00,x x ∈时，()()
()
00g x g x f x x x '=>=， 所以()f x 在()00,x 内单调递增；
当()0,x x ∈+∞时，()()
()
00g x g x f x x x '=<=，
所以()f x 在()0,x +∞内单调递减，
因此0x 是()f x 的唯一极值点．
令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，()110h x x
'=
-<， 故()h x 在()1,+∞内单调递减，
从而当1x >时，()()10h x h <=，
所以ln 1x x <-． 从而1ln 111111ln lnln ln 1e lnln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为()()010f x f >=，
所以()f x 在()0,x +∞内有唯零点．
又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，
从而，()f x 在()0,+∞内恰有两个零点．
（ⅱ）由题意，()()010,0,f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩即()012011e 1,ln 1e ,
x x ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 从而1011201
ln e x x x x x --=，即102011ln e 1
x x x x x -=-． 因为当1x >时，ln 1x x <-，
又101x x >>，故()
102012011e 1x x x x x x --<=-，
两边取对数，得1020lne ln x x x -<，
于是()10002ln 21x x x x -<<-，
整理得0132x x ->．。